第一章信号与系统

1、信号与系统信号与系统 教材：信号与线性系统分析（第教材：信号与线性系统分析（第4版）版） 吴大正吴大正 主编主编 高等教育出版社高等教育出版社 主讲：黄鑫主讲：黄鑫 邮箱：邮箱： 考核方式：平时成绩考核方式：平时成绩+期中成绩期中成绩+期末成绩期末成绩 课程特点：课程特点： 电子信息学科的专业基础课电子信息学科的专业基础课 数学应用多数学应用多 基本概念、基本分析方法重要基本概念、基本分析方法重要 学习目的：学习目的： 掌握基本概念、基本分析方法掌握基本概念、基本分析方法 培养逻辑分析能力培养逻辑分析能力 后续课程后续课程 l 数字信号处理数字信号处理 l 自动控制原理自动控制原理 l 数字图

2、像处理数字图像处理 l 通信原理通信原理 三个重要问题：三个重要问题： 基本信号及其响应基本信号及其响应(冲激函数、单位序列、冲激函数、单位序列、 正弦函数、虚指数函数、复指数函数等正弦函数、虚指数函数、复指数函数等) 信号的分解信号的分解 LTI系统分析方法系统分析方法 学习目的：学习目的： 掌握基本概念、基本分析方法掌握基本概念、基本分析方法 培养逻辑分析能力培养逻辑分析能力 选用教材选用教材 主要内容：主要内容： 1. 信号与系统（信号与系统（6学时）学时） 2. 连续系统的时域分析（连续系统的时域分析（8） 3. 离散系统的时域分析（离散系统的时域分析（6） 4. 傅里叶变换和系统的频

3、域分析（傅里叶变换和系统的频域分析（16） 5. 连续系统的连续系统的s域分析（域分析（10） 6. 离散系统的离散系统的z域分析（域分析（8） 7. 系统函数（系统函数（4） 8. 系统的状态变量分析系统的状态变量分析 主要参考书目主要参考书目 信号与系统信号与系统(第第2版版) ，奥本海姆著，刘，奥本海姆著，刘 树棠译，西安交通大学出版社树棠译，西安交通大学出版社 信号与系统例题分析及习题乐正友、信号与系统例题分析及习题乐正友、 杨为理、应启珩著，清华大学出版社杨为理、应启珩著，清华大学出版社 信号与系统习题及精解王保祥信号与系统习题及精解王保祥 胡航胡航 编编 哈尔滨工业大学出版社哈尔滨

4、工业大学出版社 掌握和精通掌握和精通MATLAB张志涌、刘瑞桢、张志涌、刘瑞桢、 杨祖樱著，北京航空航天大学出版社杨祖樱著，北京航空航天大学出版社 对学好本课程的要求对学好本课程的要求 l切实掌握和熟练运用基本概念切实掌握和熟练运用基本概念 l利用好数学工具分析和解决问题利用好数学工具分析和解决问题 l认真完成作业认真完成作业 l重视自学能力培养重视自学能力培养(包括本课程和包括本课程和 先导课程先导课程) 理解冲激信号的特性理解冲激信号的特性 第一章第一章 信号与系统信号与系统 认识本课程领域的一些名词、术语认识本课程领域的一些名词、术语 学习信号运算规律、熟悉表达式与波形的对应关系学习信号

5、运算规律、熟悉表达式与波形的对应关系 了解本课程研究范围、学习目标了解本课程研究范围、学习目标 初步了解本课程用到的主要方法和手段初步了解本课程用到的主要方法和手段 学习的主要内容：学习的主要内容： 1.3 1.3 信号的基本运算信号的基本运算 第一章第一章 提纲提纲 1.1 1.1 绪言绪言 1.2 1.2 信号信号 1.4 1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数 1.5 1.5 系统的描述系统的描述 1.6 1.6 系统的特性和分析方法系统的特性和分析方法 什么是信号？什么是系统？为什么把这两什么是信号？什么是系统？为什么把这两 个概念连在一起？个概念连在一起？ 系统的概念系统的概念

6、 1.1 1.1 绪言绪言 第一章第一章 信号与系统信号与系统 信号的概念信号的概念 l 消息消息 (message): (message): l 信息信息 (information): (information): l 信号信号 (signal): (signal): 人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。 通常把消息中有意义的内容称为信息。通常把消息中有意义的内容称为信息。 本课程中对本课程中对“信息信息”和和“消息消息”两词不加严格区分。两词不加严格区分。 信号是信息的载体，通过信号传递信息。信号是信息的载体，通过信号传递信息。 一、信号的概念一

7、、信号的概念 信号实例 信号我们并不陌生。如：信号我们并不陌生。如： 刚才铃声刚才铃声声信号，表示该上课了；声信号，表示该上课了； 十字路口的红绿灯十字路口的红绿灯光信号，指挥交通；光信号，指挥交通； 电视机天线接受的电视信息电视机天线接受的电视信息电信号；电信号； 广告牌上的文字、图象信号等等。广告牌上的文字、图象信号等等。 信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置， 这样的物理装置常称为系统。这样的物理装置常称为系统。 l 一般而言，系统一般而言，系统(system)(system)是指若干相互关联的是指若干相互关联的 事物组合而成具有特定功能的整

8、体。事物组合而成具有特定功能的整体。 如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以 看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字 等都可以看成信号。等都可以看成信号。 l 系统的基本作用是对信号进行传输和处理。系统的基本作用是对信号进行传输和处理。 系统系统 输入信号输入信号 激励激励 输出信号输出信号 响应响应 二、系统的概念二、系统的概念 ？ 信号传输 通信的目的是为了实现消息的传输。通信的目的是为了实现消息的传输。 l原始的光通信系统原始的光通信系统古代利用烽火传送边疆警报；古代利用烽火传送边疆警报； l声音

9、信号的传输声音信号的传输击鼓鸣金。击鼓鸣金。 l利用电信号传送消息。利用电信号传送消息。 l1837年，莫尔斯年，莫尔斯(F.B.Morse)发明电报；发明电报； l1876年，贝尔年，贝尔(A.G.Bell)发明电话。发明电话。 l利用电磁波传送无线电信号。利用电磁波传送无线电信号。 l1901年，马可尼年，马可尼(G.Marconi)成功地实现了横渡大西洋成功地实现了横渡大西洋 的无线电通信；全球定位系统的无线电通信；全球定位系统GPS(Global Positioning System)；个人通信具有美好的发展前景。；个人通信具有美好的发展前景。 信号处理 对信号进行某种加工或变换。对信

10、号进行某种加工或变换。 目的：目的： 消除信号中的多余内容；消除信号中的多余内容； 滤除混杂的噪声和干扰；滤除混杂的噪声和干扰； 将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计和选择将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计和选择 它的特征参量。它的特征参量。 信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。 通信系统 为传送消息而装设的全套技术设备为传送消息而装设的全套技术设备 信号的描述信号的描述 1.2 1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类 几种典型确定性信号几种典型确定性信号 信号的分类信号的分类 一、信号的描述一、信号的描述 信号：是信息的一种物理体现，它

11、一般是随时间位信号：是信息的一种物理体现，它一般是随时间位 信号：按物理属性分：电信号和非电信号，它们可信号：按物理属性分：电信号和非电信号，它们可 电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。 描述信号的常用方法：描述信号的常用方法： 本课程讨论电信号本课程讨论电信号-简称简称“信号信号”。 （2 2）信号的图形表示）信号的图形表示-波形波形 （1 1）表示为时间的函数）表示为时间的函数 “信号信号”与与“函数函数”两词两词 常相互通用。常相互通用。 置变化的物理量。置变化的物理量。 以相互转换。以相互转换。 二、信号的分类二、信号的分类 l 按实际用

12、途划分：按实际用途划分： l电视信号、雷达信号、控制信号、通信信号电视信号、雷达信号、控制信号、通信信号 信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信 号进行分类。号进行分类。 l 按所具有的时间特性划分： l确定信号和随机信号；连续信号和离散信 号； l周期信号和非周其信号； 能量信号和功率信号； l一维信号和多维信号； 因果信号与反因果信号； l实信号与复信号； 左边信号与右边信号。 1. 确定信号和随机信号确定信号和随机信号 可以确定用时间函数表示的信号：可以确定用时间函数表示的信号：f(t) 随机信号：随机信号： 确定性信号：确定性信号： 伪随机信号

13、：伪随机信号： 貌似随机而遵循严格规律产生的信号：貌似随机而遵循严格规律产生的信号： 电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号。电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号。 但实际传输的信号是不确定的，常受但实际传输的信号是不确定的，常受 到各种干扰及噪声的影响。到各种干扰及噪声的影响。 取值具有不确定性的信号：取值具有不确定性的信号： 伪随机码。伪随机码。 2. 连续信号和离散信号连续信号和离散信号 l连续时间信号：在一定的连续的时间范围内，对于连续时间信号：在一定的连续的时间范围内，对于 值域值域 连续连续 值域值域 不连不连 续续 任意的时间值，都有对应的函数值任意的时间值，都有对应的函数值 “连

14、续连续”指函数的定义域指函数的定义域时间连续，但可含间断点时间连续，但可含间断点 简称连续信号。简称连续信号。 ，至于值域可连续也可不连续。，至于值域可连续也可不连续。 间间 断断 点点 l离散时间信号：离散时间信号： 仅在一些离散的瞬间才有定义的信号，简称离散信号。仅在一些离散的瞬间才有定义的信号，简称离散信号。 定义域定义域时间是离散的时间是离散的 离散点间隔离散点间隔 离散时刻离散时刻tk (k = 0,1,2,)有定有定 义义 Tk= tk+1-tk 可以是常数，也可随可以是常数，也可随k变化；变化； 其余时间无定义。其余时间无定义。 通常取等间隔通常取等间隔T，表示为，表示为f(kT

15、)，简写为，简写为f(k)； 等间隔的离散信号称为序列，其中等间隔的离散信号称为序列，其中k称为序号。称为序号。 上述离散信号可简画为：上述离散信号可简画为： 用表达式可写为：用表达式可写为： k， k， k, k, k,. k, k, kf 其他0 41 30 22 151 02 11 )( 或写为：或写为： f(k)= 0，1，2，-1.5，2，0，1，0 k=0k=0 对应某序号对应某序号m m的序列值称为第的序列值称为第m m个样点的个样点的“样值样值”。 模拟信号、抽样信号、数字信号 数字信号：数字信号： 模拟信号：模拟信号： 抽样信号：抽样信号： 量化量化 O t tf 抽样抽样

16、连续信号连续信号 幅值幅值 时间时间 均连续均连续 时间时间 幅值幅值 离散离散 连续连续 时间时间 幅值幅值 均离散均离散 离散信号离散信号 模拟信号模拟信号 数字信号数字信号 3. 周期信号和非周期信号周期信号和非周期信号 定义在定义在(-，)区间，每隔一定时间区间，每隔一定时间T (或整数或整数N），）， 按相同规律重复变化的信号。按相同规律重复变化的信号。 连续周期信号连续周期信号f(t)f(t)满足满足 f(t) = f(t + mT) f(t) = f(t + mT)，m = 0,m = 0,1,1,2,2, 离散周期信号离散周期信号f(k)f(k)满足满足 f(k) = f(k

17、+ mN) f(k) = f(k + mN)，m = 0,m = 0,1,1,2,2, 满足上述关系的最小满足上述关系的最小T(T(或整数或整数N)N)称为该信号的周期。称为该信号的周期。 不具有周期性的信号称为非周期信号。不具有周期性的信号称为非周期信号。 连续周期信号举例 例例 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1 1）f1(t) = sin2t + cos3t f1(t) = sin2t + cos3t （2 2）f2(t) = cos2t + sintf2(t) = cos2t + sint 分析分析 两个周期信号两个周期信

18、号x(t)，y(t)的周期分别为的周期分别为T1和和T2，若，若 其周期之比其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然仍然 是周期信号，其周期为是周期信号，其周期为T1和和T2的最小公倍数。的最小公倍数。 解答解答 解答 （1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为是周期信号，其角频率和周期分别为 1= 2 rad/s ， T1= 2/ 1= s cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为是周期信号，其角频率和周期分别为 2= 3 rad/s ， T2= 2/ 2= (2/3) s 由于由于T1/T2= 3/2为有理数，故为有理数，故f1(t)为周期

19、信号，其周期为周期信号，其周期 为为T1和和T2的最小公倍数的最小公倍数2。 （2） cos2t 和和sint的周期分别为的周期分别为T1= s， T2= 2 s，由，由 于于T1/T2为无理数，故为无理数，故f2(t)为非周期信号。为非周期信号。 离散周期信号举例1 例例 判断正弦序列判断正弦序列f(k) = sin(k)f(k) = sin(k)是否为周期信号，是否为周期信号， 若是，确定其周期。若是，确定其周期。 解解 f (k) = sin(k) = sin(k + 2m) ， m = 0,1,2, 2 sinsinkmkmN 式中式中称为数字角频率，单位：称为数字角频率，单位：rad

20、rad。由上式可见：。由上式可见： 仅当仅当2/ 2/ 为整数时，正弦序列才具有周期为整数时，正弦序列才具有周期N = 2/ N = 2/ 。 当当2/ 2/ 为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其 周期为周期为N= M(2/ )N= M(2/ )，M M取使取使N N为整数的最小整数。为整数的最小整数。 当当2/ 2/ 为无理数时，正弦序列为非周期序列。为无理数时，正弦序列为非周期序列。 离散周期信号举例2 例例 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1 1）f1(k) = sin(3k/4)

21、 + cos(0.5k) f1(k) = sin(3k/4) + cos(0.5k) （2 2）f2(k) = sin(2k)f2(k) = sin(2k) 解解 （1 1）sin(3k/4) sin(3k/4) 和和cos(0.5k)cos(0.5k)的数字角频率分的数字角频率分 别为别为 1 = 3/4 rad 1 = 3/4 rad， 2 = 0.5 rad 2 = 0.5 rad 由于由于2/ 1 = 8/32/ 1 = 8/3， 2/ 2 = 4 2/ 2 = 4为有理数，故为有理数，故 它们的周期分别为它们的周期分别为N1 = 8 N1 = 8 ， N2 = 4 N2 = 4，故，

22、故f1(k) f1(k) 为周为周 期序列，其周期为期序列，其周期为N1N1和和N2N2的最小公倍数的最小公倍数8 8。 （2 2）sin(2k) sin(2k) 的数字角频率为的数字角频率为 1 = 2 rad 1 = 2 rad；由于；由于 2/ 1 = 2/ 1 = 为无理数，故为无理数，故f2(k) = sin(2k)f2(k) = sin(2k)为非周为非周 期序列期序列 。 举例 由上面几例可看出：由上面几例可看出： 连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定 是周期序列。是周期序列。 两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期两连续

23、周期信号之和不一定是周期信号，而两周期 序列之和一定是周期序列。序列之和一定是周期序列。 例例1 1 例例2 2 例例3 3 连续周期信号示例连续周期信号示例 离散周期信号示例离散周期信号示例1 离散周期信号示例离散周期信号示例2 4能量信号与功率信号能量信号与功率信号 将信号将信号f (t)施加于施加于1电阻上，它所消耗的瞬时功率电阻上，它所消耗的瞬时功率 为为| f (t) |2，在区间，在区间( , )的能量和平均功率定义为的能量和平均功率定义为 （1）信号的能量）信号的能量E def 2 lim( ) d a a a Ef tt （2）信号的功率）信号的功率P def 21 lim(

24、)d 2 a a a Pf tt a 若信号若信号f (t)的能量有界，即的能量有界，即 E ,则称其为能量有则称其为能量有 限信号，简称能量信号。此时限信号，简称能量信号。此时 P = 0 若信号若信号f (t)的功率有界，即的功率有界，即 P ,则称其为功率有则称其为功率有 限信号，简称功率信号。此时限信号，简称功率信号。此时 E = 离散信号的功率和能量 离散信号，也有能量信号、功率信号之分。离散信号，也有能量信号、功率信号之分。 若满足若满足 的离散信号，称为的离散信号，称为 能量信号。能量信号。 若满足若满足 的离散信的离散信 号，称为功率信号。号，称为功率信号。 2 lim|( )

25、| N def N kN Ef k 2 1 lim|( )| 21 N def N kN Pf k N 一般规律 一般周期信号为功率信号。一般周期信号为功率信号。 时限信号时限信号( (仅在有限时间区间不为零的非周期信号仅在有限时间区间不为零的非周期信号) ) 为能量信号。为能量信号。 还有一些非周期信号，也是非能量信号。还有一些非周期信号，也是非能量信号。 如：如：(t)(t)是功率信号；是功率信号； t(t)、 e t为非功率非能量信号为非功率非能量信号; (t)是无定义的非功率非能量信号。是无定义的非功率非能量信号。 5一维信号和多维信号 从数学表达式来看，信号可以表示为一个或从数学表达

26、式来看，信号可以表示为一个或 多个变量的函数，称为一维或多维函数。多个变量的函数，称为一维或多维函数。 语音信号可以表示为声压随时间变化的函数，语音信号可以表示为声压随时间变化的函数， 属于一维信号；而一张黑白图像每个点（像素）属于一维信号；而一张黑白图像每个点（像素） 具有不同的光强度，任一点又是二维平面坐标中具有不同的光强度，任一点又是二维平面坐标中 两个变量的函数，属于二维信号；还有更多维变两个变量的函数，属于二维信号；还有更多维变 量的函数的信号。量的函数的信号。 本课程只研究一维信号，且自变量多为时间。本课程只研究一维信号，且自变量多为时间。 6因果信号和反因果信号 还有其他分类，如

27、：实信号与复信号；左边信还有其他分类，如：实信号与复信号；左边信 号与右边信号等等。号与右边信号等等。 常将常将t=0时接入系统的信号时接入系统的信号f(t)即在即在t0，则将，则将f ()右移；否则左移。右移；否则左移。 如：如： 3. 尺度变换尺度变换(横坐标展缩）横坐标展缩） 将将 f (t) f (a t) ， 称为对信号称为对信号f (t)的尺度变换。的尺度变换。 t 2t 压缩压缩 t 0.5t 扩展扩展 离散信号：由于离散信号：由于 f (a k) 仅在仅在a k 为整数时才有意义，为整数时才有意义， 进行尺度进行尺度 如：如： 若若a 1 ，则波形沿横坐标压缩；若，则波形沿横坐

28、标压缩；若0 a 1 ，则扩展，则扩展 。 变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。 4. 混合运算举例 例例1 1 例例3 3 平移与反转相结合平移与反转相结合 平移、反转、尺度变换相结合，正逆运算。平移、反转、尺度变换相结合，正逆运算。 abtafbatftf 例例2 2平移与尺度变换相结合平移与尺度变换相结合 注意：注意： l 对正向运算，先平移，后反转和尺度变换不易出对正向运算，先平移，后反转和尺度变换不易出 错；对逆运算，反之。错；对逆运算，反之。 意一切变换都是相对意一切变换都是相对t t而言；而言； l 混合

29、运算时，三种运算的次序可任意。但一定要注混合运算时，三种运算的次序可任意。但一定要注 平移与反转相结合举例平移与反转相结合举例 例例1 1 已知已知f (t)f (t)如图所示，画出如图所示，画出 f (2 t) f (2 t)。 解答解答 法一：先平移法一：先平移f (t) f (t +2) 再反转再反转 f (t +2) f ( t +2) 法二：先反转法二：先反转 f (t) f ( t) 再右移再右移 f ( t) f ( t +2) 左移左移 右移右移 = f (t 2) 平移与尺度变换相结合举例平移与尺度变换相结合举例 例例2 2 已知已知f (t)f (t)如图所示，画出如图所示

30、，画出 f (3t + 5) f (3t + 5) 解答解答 平移 尺度尺度 变换变换 尺度尺度 变换变换 平移平移 平移、反转、尺度变换相结合平移、反转、尺度变换相结合 举例举例 例例3 3 已知已知f (t)f (t)如图所示，画出如图所示，画出 f (- 2t - 4) f (- 2t - 4)。 解答解答 压缩，得压缩，得f (2t 4) 反转，得反转，得f ( 2t 4) 右移右移4，得，得f (t 4) 也可以先压缩、再平移、最后反转。也可以先压缩、再平移、最后反转。 压缩，得压缩，得f (2t) 右移右移2，得，得f (2t 4) 反转，得反转，得f ( 2t 4) 三微分和积分

31、 O t tf 2 2 O t 1 2 t f 1 2 2 O t tf 2 2 O t 1 t f d 2 2 d d d t f t tf tf积积分分：，微微分分： 冲激信号冲激信号 l 系统的分类系统的分类 l 系统的数学模型系统的数学模型 l 系统的框图描述系统的框图描述 1.5 1.5 系统的描述系统的描述 一、系统的分类一、系统的分类 1.1.广义定义：是一个由若干个有相互关联的单元组合广义定义：是一个由若干个有相互关联的单元组合 而成的具有特定功能的整体。而成的具有特定功能的整体。 如：通信系统、控制系统、计算机系统，但要注意如：通信系统、控制系统、计算机系统，但要注意 其概念

32、很宽泛，不仅仅限于电路、通信等方面其概念很宽泛，不仅仅限于电路、通信等方面 课程：电路、网络、系统通用课程：电路、网络、系统通用 2.2.系统的分类：系统的分类： 可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征，可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征， 提出对系统进行分类的方法。提出对系统进行分类的方法。 系统的分类 连续系统与离散系统连续系统与离散系统 动态系统与即时系统动态系统与即时系统 单输入单输出与多输入多输出系统单输入单输出与多输入多输出系统 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统 时不变与时变系统时不变与时变系统 因果系统与非因果系统因果系统与非因果系统 稳定系统与不稳定系统稳定系统

33、与不稳定系统 常用分类方法：常用分类方法： 系统的分类系统的分类 连续连续(时间时间)系统：系统的激励和响应均为连续信号；系统：系统的激励和响应均为连续信号； 离散离散(时间时间)系统：系统的激励和响应均为离散信号；系统：系统的激励和响应均为离散信号； 混合系统：连续系统与离散系统的组合；混合系统：连续系统与离散系统的组合； 连续信号，一个为离散信号。连续信号，一个为离散信号。 如如A/D，D/A变换器，系统的激励和响应一个是变换器，系统的激励和响应一个是 . .连续系统与离散系统连续系统与离散系统 系统的分类系统的分类 若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励若系统在任一时刻的响应不仅与该时

34、刻的激励 有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态 系统或记忆系统。系统或记忆系统。 如：含有记忆元件如：含有记忆元件( (电容、电感等电容、电感等) )的电路是动态系统的电路是动态系统 否则称：即时系统或无记忆系统（电阻串并联）。否则称：即时系统或无记忆系统（电阻串并联）。 . .动态系统与即时系统动态系统与即时系统 课程：动态系统课程：动态系统 二、系统的数学模型二、系统的数学模型 连续系统解析描述：微分方程连续系统解析描述：微分方程 离散系统解析描述：差分方程离散系统解析描述：差分方程 1. 连续系统的解析描述连续系统的解析描述 图示图示R

35、LC电路，以电路，以uS(t)作激励，以作激励，以uC(t)作为作为 响应，由响应，由KVL和和VAR列方程，并整理得列方程，并整理得 2 2 dd dd (0 )(0 ) CC CS CC uu LCRCuu tt uu ， 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 )()( d )(d d )(d 01 2 2 2 tftya t ty a t ty a 抽去具有的物理含义，微分方程写成抽去具有的物理含义，微分方程写成 这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统 机械减振系统机械减振系统 其中，其中，k为弹簧常数，为弹簧常数，M为物体质为物

36、体质 量，量，C为减振液体的阻尼系数，为减振液体的阻尼系数，x 为物体偏离其平衡位置的位移，为物体偏离其平衡位置的位移，f(t) 为初始外力。其运动方程为为初始外力。其运动方程为 )()( d )(d d )(d 2 2 tftkx t tx C t tx M 能用相同方程描述的系统能用相同方程描述的系统 称为：称为： 相似系统相似系统 物理系统不同：物理系统不同： 数学模型相同数学模型相同 2. 离散系统的解析描述离散系统的解析描述 例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为元元/ 月，求第月，求第k个月初存折上的款数。个月初存折上的款数。 设第

37、设第k个月初的款数为个月初的款数为y(k),这个月初的存款为这个月初的存款为f(k),上上 个月初的款数为个月初的款数为y(k-1)，利息为，利息为y(k-1),则则 y(k)= y(k-1)+y(k-1)+f(k) 即：即： y(k)-(1+)y(k-1) = f(k) 若设开始存款月为若设开始存款月为k=0，则有，则有y(0)= f(0)。 上述方程就称为上述方程就称为y(k)与与f(k)之间所满足的差分方程。之间所满足的差分方程。 所谓差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成所谓差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成 的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，的方程。未知

38、序列项变量最高序号与最低序号的差数， 称为差分方程的阶数。上述为一阶差分方程。称为差分方程的阶数。上述为一阶差分方程。 由由n阶差分方程描述的系统称为阶差分方程描述的系统称为n阶系统。阶系统。 三系统的框图描述三系统的框图描述 l 连续系统的基本单元 l 离散系统的基本单元 l 系统模拟 系统的模型（微分方程、差分方程）：系统的模型（微分方程、差分方程）： 微分微分 差分差分 运算运算 包含包含表示表示 单元符号并连接成系统单元符号并连接成系统 加法加法 乘法乘法 1. 连续系统的基本单元连续系统的基本单元 延延 时时 器器 加加 法法 器器 积积 分分 器器 数数 乘乘 器器 乘乘 法法 器

39、器 注意：没有微分器？注意：没有微分器？ 实际：用积分单元代替实际：用积分单元代替 2. 离散系统的基本单元离散系统的基本单元 加法器加法器 迟延单元迟延单元 数乘器数乘器 3. 系统模拟系统模拟 实际系统实际系统方程方程模拟框图模拟框图 实验室实现（模拟系统）实验室实现（模拟系统）指导实际系统设计指导实际系统设计 例例1 1 例例2 2例例3 3 例例4 4 方程方程框图用变换域方法和梅森公式简单，后面讨论。框图用变换域方法和梅森公式简单，后面讨论。 由微分方程画框图例1 例例1：已知：已知y”(t) + ay(t)+ by(t) = f(t)，画框图。，画框图。 解：将方程写为解：将方程写

40、为 y”(t) = f(t) ay(t) by(t) 由微分方程画框图例2 例2 请画出如下微分方程所代表的系统的系统框图。 )( d )(d )(2 d )(d 3 d )(d 2 2 tf t tf ty t ty t ty )( d )(d )(2 d )(d 3 d )(d 2 2 tf t tf ty t ty t ty 解：解： ttfttfttyttytyd)(d)(d)(2d)(3)( 3 2 解法二 解解2：该方程含：该方程含f(t)的导数，可引入辅助函数画出框图。的导数，可引入辅助函数画出框图。 设辅助函数设辅助函数x(t)满足满足 x”(t) + 3x(t)+ 2x(t)

41、 = f(t) 可推导出可推导出 y(t) = x(t) + x(t)，它满足原方程。，它满足原方程。 例3由框图写微分方程 例例3：已知框图，写出系统的微分方程。：已知框图，写出系统的微分方程。 设辅助变量设辅助变量x(t)如图如图 x(t) x(t)x”(t) x”(t) = f(t) 2x(t) 3x(t) ,即即x”(t) + 2x(t) + 3x(t) = f(t) y(t) = 4x(t)+ 3x(t) 根据前面，逆过程，得根据前面，逆过程，得 y”(t) + 2y(t) + 3y(t) = 4f(t)+ 3f(t) 例4由框图写差分方程 例例4：已知框图，写出系统的差分方程。：已

42、知框图，写出系统的差分方程。 解：设辅助变量解：设辅助变量x(k)如图如图 x(k) x(k-1) x(k-2) 即即 x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k) y(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2) 消去消去x(k) ，得，得 y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1) + 5f(k-2) x(k)= f(k) 2x(k-1) 3x(k-2) l 系统的特性 l 系统的分析方法 1.6 1.6 系统的特性与分析方法系统的特性与分析方法 一、系统的特性 连续系统与离散系统连续系统与离散系统 动态系统与即时系统动态系统与即时系统 单输入单输出与多

43、输入多输出系统单输入单输出与多输入多输出系统 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统 时不变与时变系统时不变与时变系统 因果系统与非因果系统因果系统与非因果系统 稳定系统与不稳定系统稳定系统与不稳定系统 常用分类方法：常用分类方法： 系统的特性系统的特性 线性性质线性性质 时不变性时不变性 因果性因果性 稳定性稳定性 1. 1. 线性线性 y(t): y(t):系统的响应、系统的响应、f(t):f(t):系统的激励系统的激励 线性性质：齐次性和可加性线性性质：齐次性和可加性 可加性：可加性： 齐次性：齐次性： f() y() y() = T f () f () y() a f() a y()

44、 f1() y1() f2() y2() f1() +f2() y1()+y2() af1() +bf2() ay1()+by2() 综合，线性性质：综合，线性性质： 算算 子子 线性系统的条件线性系统的条件 动态系统响应不仅与激励动态系统响应不仅与激励 f () f () 有关，而且有关，而且 与与 可分解性可分解性 零状态线性零状态线性 y () = T f () , x(0) yzi()=T0，x(0)， yzs() = T f () , 0 零输入线性零输入线性 动态系统是线性系统，要满足下面动态系统是线性系统，要满足下面3 3个条件：个条件： 系统的初始状态系统的初始状态x(0)x(

45、0)有关有关, , 初始状态也称初始状态也称“内部激内部激 励励”。 线性系统的条件线性系统的条件 可分解性：可分解性： y () = yzi()+ yzs() 零状态线性：零状态线性： Taf1(t) +bf2(t) , 0 = aT f1 () , 0 +bT f2 () , 0 y () = T f () , x(0) yzi()=T0，x(0)， yzs() = T f () , 0 零输入线性：零输入线性： T0,ax1(0) +bx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0) 举举 例例1 1 举举 例例2 2 线性系统（连续、离散）线性系统（连续、离散） 线性微分（差分

46、）方程线性微分（差分）方程 判断线性系统举例 例例1：判断下列系统是否为线性系统？：判断下列系统是否为线性系统？ （1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1 （2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)| （3） y (t) = x2(0) + 2 f (t) 解：解： （1） yzs(t) = 2 f (t) +1， yzi(t) = 3 x(0) + 1 显然，显然， y (t) yzs(t) yzi(t) 不满足可分解性，故为非线不满足可分解性，故为非线 性性 （2） yzs(t) = | f (t)|， yzi(t) = 2

47、x(0) y (t) = yzs(t) + yzi(t) 满足可分解性；满足可分解性； 由于由于 Ta f (t) , 0 = | af (t)| a yzs(t) 不满足零状态线性。不满足零状态线性。 故为非线性系统。故为非线性系统。 （3） yzi(t) = x2(0)，T 0,a x(0) =a x(0)2 a yzi(t)不不 满足零输入线性。故为非线性系统。满足零输入线性。故为非线性系统。 例例2：判断下列系统是否为线性系统？：判断下列系统是否为线性系统？ xxfxxty t t d)()sin()0(e)( 0 解：解：xxfxtyxty t zs t zi d)()sin()()

48、,0(e)( 0 y (t) = yzs(t) + yzi(t) ， 满足可分解性；满足可分解性； Ta f1(t)+ b f2(t) , 0 xxfxxxfxxxfxfx ttt d)()sin(bd)()sin(ad)(b)()asin( 0 2 0 1 0 21 = aTf1(t), 0 +bT f2(t) , 0，满足零状态线性；，满足零状态线性； T0,ax1(0) + bx2(0) = e-tax1(0) +bx2(0) = ae-tx1(0)+ be-tx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0), 满足零输入线性；满足零输入线性； 所以，该系统为线性系统。所以，该系

49、统为线性系统。 2. 时不变性时不变性 时不变系统：系统参数不随时间变化时不变系统：系统参数不随时间变化 线性系统线性系统 时不变时不变常系数微分方程常系数微分方程 时变时变 变系数微分方程变系数微分方程 线性时不变系统：线性时不变系统： yzs() = T f () , 0 yzs( t-td) = T f (t-td) , 0 yzs(k-kd) = T f (k-kd) , 0 时不变性时不变性 f(t - td) yzs(t - td) f(t ) yzs(t ) 举举 例例 判断时不变系统举例 例：判断下列系统是否为时不变系统？例：判断下列系统是否为时不变系统？ （1） yzs(k)

50、 = f (k) f (k 1) （2） yzs (t) = t f (t) （3） y zs(t) = f ( t) 解解 (1) 令令g (k) = f(k kd) T0， g (k) = g(k) g (k 1) = f (k kd) f (kkd 1 ) 而而 yzs (k kd) = f (k kd) f (kkd 1) 显然显然 T0，f(k kd) = yzs (k kd) 故该系统是时不变的。故该系统是时不变的。 (2) 令令g (t) = f(t td) T0， g (t) = t g (t) = t f (t td) 而而 yzs (t td)= (t td) f (t t

51、d) 显然显然T0，f(t td) yzs (t td) 故该系统为时变系统故该系统为时变系统 (3) yzs(t) = f ( t) 令令g (t) = f(t td) , T0，g (t) = g ( t) = f( t td) 而而 yzs (t td) = f ( t td) 显然显然 T0，f(t td) yzs (t td) 故该系统为时变系统故该系统为时变系统 直观判断方法：直观判断方法： 若若f ()前出现变系数，或有反转、展缩变换，则前出现变系数，或有反转、展缩变换，则 系统为时变系统。系统为时变系统。 LTI系统的微分特性和积分特性系统的微分特性和积分特性 本课程重点：讨论线性时不变系统。本课程重点：讨论线性时不变系统。 （2 2）微分特性：）微分特性： 证证 明明 (Linear Time-Invariant)，简称，简称LTI系统。系统。 （1