245三角形的内切圆

1、第24章 圆 义门中心校义门中心校 数学组数学组 24.5 三角形的内切圆 回顾反思回顾反思 O B P A 从圆外一点可以引圆的两条切线，从圆外一点可以引圆的两条切线， 它们的它们的切线长切线长相等，这一点和圆心相等，这一点和圆心 的连线的连线平分平分两条切线的两条切线的夹角夹角。 I D 三角形的内切圆：三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆 三角形的内心：三角形的内心： 三角形的内切圆的圆心叫三角形的内切圆的圆心叫 做三角形的做三角形的内心内心 三角形的三角形的内心内心是三角形三是三角形三 条条角平分线角平分线的交点，它到的交点

2、，它到 三角形三角形三边三边的距离相等。的距离相等。 概念介绍概念介绍 C O B A D E F 已知已知:如图如图, O是是RtABC的内的内 切圆切圆,C是直角是直角,三边长分别是三边长分别是 a,b,c.求求 O的半径的半径r. A BC O D E F 2 ).1 ( cba r RtRt的三边长与其内切圆半径间的关系的三边长与其内切圆半径间的关系 cba ab r )2( P43习题习题25、6 第第 5题题 解解（1）如图如图, O是是RtABC的内切圆的内切圆, A BC O D E F 2 cba r AD=AF，CE=CF，BD=BE a+b-c=AF+FC+CE+BE-A

3、D-BD=CE+CF =2CE = SAOB+SBOC+SAOC 1/2ab=1/2ra+1/2rb-1/2rc （2）连接连接OA、OB、OC，则，则SABC cba ab r 解解（1）如图如图, O是是RtABC的内切圆的内切圆, A BC O D E F 2 cba r AD=AF，CE=CF，BD=BE a+b-c=AF+FC+CE+BE-AD-BD=CE+CF =2CE = SAOB+SBOC+SAOC 1/2ab=1/2ra+1/2rb+1/2rc （2）连接连接OA、OB、OC，则，则SABC cba ab r 已知已知:如图如图,ABC的面积为的面积为 S,三边长分别为三边长

4、分别为a,b,c. 求内切圆求内切圆 O的半径的半径r. A BC O O D E F . 2 cba S r 已知已知:如图如图,ABC的面积为的面积为S,三边长分别三边长分别 为为a,b,c.求内切圆求内切圆 O的半径的半径r. A BC O O D E F . 2 cba S r 解：连接解：连接OA、OB、OC，则，则 SABC = SAOB+SBOC+SAOC S=1/2ra+1/2rb-1/2rc 例、如图，例、如图，ABC中中, ABC=43，ACB=61 ,点点I 是是ABC的内心，求的内心，求 BIC的度数。的度数。 A I CB 例题讲解例题讲解 变式：变式：ABC中中,

5、A=40，点，点I是是ABC的内心，求的内心，求 BIC的度数。的度数。 2 1 BIC= 90+ A ，因为，因为I 是是ABC的内心，的内心， 所以所以IB、IC平分平分 ABC、 ACB， 在在IBC中中 BIC=1800-（ IBC-ICB） =1800-（ ABC+ ACB）/2 =1800-（430+610）/2=1280 因而，因而， BIC为为1280 解：解：连接连接IB、IC 例例2 2、 已知：已知：ABCABC是是OO外切三角形，切点为外切三角形，切点为D D， E E，F F。若。若BCBC14 cm 14 cm ，ACAC9cm9cm，ABAB13cm13cm。求。

6、求 AFAF，BDBD，CECE。 A B C D EF xx y y O z z 解解: :设设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则则 AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm 依题意得方程组依题意得方程组 x+y=13 y+z=14 x+z=9 解得解得: : Z=5 。、的长分别是、cmcmcmCEBDAF594 X+y+z=18 x+y=13 1.1.边长为边长为3 3、4 4、5 5的三角形的内切圆的三角形的内切圆 的半径为的半径为 2.2. 边长为边长为5 5、5 5、6 6的三角形的内切圆的三角形的内切圆 的半径为的半径为 3.3. 已知已知:ABC的面积

7、的面积S=4cm,周长等周长等 于于10cm.求内切圆求内切圆 O的半径的半径r. 1、如图，如图， ABC的内切圆的内切圆 O与与BC、CA、AB 分别相切于点分别相切于点D、E、F，且，且AB=9cm，BC=14cm， CA=13cm，求，求AF、BD、CE的长。的长。 x 13x x 13x 9x 9x 例题分析例题分析 A D C B O F E 2、ABC的内切圆半径为的内切圆半径为 r , ABC的周长为的周长为 l ,求求ABC的面积。（提示：设内心为的面积。（提示：设内心为O，连，连 接接OA、OB、OC。）。） O A C B r r r 若若ABC的内切圆半径为的内切圆半径

8、为 r , , 周长为周长为 l , 则则S ABC= lr = lr 2 1 例题分析例题分析 知识拓展知识拓展 一、直角三角形的外接圆与内切圆一、直角三角形的外接圆与内切圆 C B A C O B A 1.直角三角形外接圆的圆心直角三角形外接圆的圆心(外心外心)在在_， 半径为半径为_. a b c 斜边中点斜边中点 斜边的一半斜边的一半 知识拓展知识拓展 2.直角三角形内切圆的圆心直角三角形内切圆的圆心(内心内心)在在_， 半径半径r=_. 三角形内部三角形内部 a+b-c 2 回顾反思回顾反思 1.切线长定理切线长定理O B P A 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的从圆外一点可以引

9、圆的两条切线，它们的切线长切线长 相等，这一点和圆心的连线相等，这一点和圆心的连线平分平分两条切线的两条切线的夹角夹角。 回顾反思回顾反思 2.三角形的内切圆、内心、内心的性质三角形的内切圆、内心、内心的性质 C O B A D E F 1、如图，一圆内切于四边形、如图，一圆内切于四边形ABCD，且，且 AB=16，CD=10，则四边形的周长为，则四边形的周长为( ) （A）50 （B） 52 （C）54 （D） 56 D A B C 课堂练习：课堂练习： B 2、已知，如图，、已知，如图，PA、PB是是 O的两条切线，的两条切线，A、B为切为切 点点.直线直线 OP 交交 O 于点于点 D、

10、E，交，交 AB 于于 C. （1）写出图中所有的垂直关系；）写出图中所有的垂直关系； （2）如果）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径求半径 OA的长的长. A OCD P B E 课堂练习课堂练习 解解：（：（1）OAPA， OBPB，PEAB （2）设半径为）设半径为r,则则 PA2=PDXPE =PD（PD+2r) 解得，解得，OA=r=3 3、试一试：、试一试：如图如图ABC中，中，C90 ，AC 6，BC8，三角形三边与，三角形三边与 O均相切，切点分均相切，切点分 别是别是D、E、F，求，求 O的半径。的半径。 C F O E D B A 课堂练习课堂练习

11、 AB2=AC2+BC2=62+82=100，AB=10 2 2 1086 2 cba r 证明：等边三角形的内心 与外心重合，并且外接圆 半径是内切圆半径的2倍 如图：等边如图：等边ABC中，中，I为圆心，为圆心， 内切圆半径为内切圆半径为r，外接圆半径为，外接圆半径为R 求证：求证：I为外心为外心 R=2r 证明证明：连接：连接AI、BI、CI，并延长；分别交对边于，并延长；分别交对边于D、E、F I是内心是内心 AD、CF、BF分别是分别是ABC的角平分线，的角平分线， 又又ABC是等边三角形，由等边三角形是等边三角形，由等边三角形“三线合一三线合一”知知 AD、BE、CF是是ABC的三

12、条高，也是三角形的中线，的三条高，也是三角形的中线， I是外心是外心 ：由：由知，知，BI=R，ID=r。在。在RtBID中中IBD=1/2ABC=30 ID=1/2IB，即，即R=2r P43习题习题25、6 第第 2题题 解：设等边三角形解：设等边三角形ABC， 过点过点A作作AD 垂直于垂直于BC 垂点为垂点为D，过，过B点做点做BE垂直于垂直于 AC 垂点为垂点为EAD与与BE相交于点相交于点I ， 连接连接CI，并延长，并延长CI交交AB于于GF AD和和BE为高，而为高，而ABC是等边三角形是等边三角形 BD=AE=1/2AC，CBE=DAC=30 BEA=BDA=90BDI AE

13、I BI=AFI，又，又BC=AC，CI=CI BIC AIC BCFACF，所以，所以CFAB ID，IE，IF分别垂直于分别垂直于AB，BC，AC ，I就是就是ABC的内心的内心 BI=IC， BD=CD， DI=DI。 BDI CDI ， BF=CF。同理。同理 可得可得 BI=CI。F 为为ABC的外心，且的外心，且DI为内切圆半径，为内切圆半径， BI为外接圆半径，又为外接圆半径，又ADBC，所以三角形，所以三角形BDI为直角三角形。为直角三角形。 又又FBI=1/2ABC=30， ID=1/2BI 用全等三角形详解用全等三角形详解 如图，圆如图，圆O为为ABC的内切圆，切点为的内切

14、圆，切点为E、F、G,C=90， AO的延长线交的延长线交BC于点于点D，AC=4,CD=1.求圆求圆O的半径的半径r 解：连接解：连接OF，OE，则，则OFCE为边长为为边长为r的的 正方形正方形 OED ACD 故故OE：ACDE：DC r：4（1r）：）：1 解得：解得：r45 P43习题习题25、6 第第 4题题 解：连接BE， 点E为ABC的内心， BAD=DAC， ABE=EBC BD=DC DAC与DBC都是 弧DC所对的圆周角， DAC=DBC=BAD， EBD=CBD+CBE， BED=ABE+BAD， EBD=BED BD=ED BD=ED=DC 4.已知，如图，在已知，如

15、图，在ABC中，点中，点E是内心，延长是内心，延长 AE交交ABC 的外接圆于点的外接圆于点D，连接，连接BD、DC、EC， 求证：求证：DB=DC=DE P43习题习题25、6 第第 6题题 2、已知：在、已知：在ABC中，中，BC14cm，AC 9cm，AB13cm，BC，AC，AB分别与分别与 O 切于点切于点D、E、F，求，求AF，BD和和CE的长。的长。 E F O DCB A P43习题习题25、6 第第 8题题 分析：利用切线长定理可 以得到AE=AF，BF=BD， CD=CE，因而可以设 AF=xcm，BD=ycm， CE=zcm，根据 BC=14cm，AC=9cm， AB=1

16、3cm即可得到一个 关于x，y，z的方程组， 即可求解 解：设解：设AF=xcm，BD=ycm，CE=zcm AF、AE是圆的切线是圆的切线AE=AF=xcm， 同理：同理：BF=BD=ycm，CD=CE=zcm根据题意得根据题意得 解得，解得， 即：即：AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm 如图，在如图，在ABC中中 BC=14cm，AC=9cm， AB=13cm，内切圆，内切圆 O 分别和分别和BC、AC、AB切切 于点于点D、E、F，求，求AF、 BD、CE的长的长 E F O DCB A x+y=13 x+z=9 y+z=14 x=4， y=9， z=5 1.已知：两个同心圆已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线，是大圆的两条切线， PC、PD是小圆的两条切线，是小圆的两条切线，A、B、C、D为为 切点。求证：切点。求证：AC=BD P A B O C D 布置作业布置作业 3、以正方形、以正方形ABCD的一边的一边BC为直径的半圆上有为直径的半圆上有 一个动点一个动点K，过点，过点K作半圆的切线作半圆的切线EF，EF分别分别 交交AB、CD于点于点E、F，试问：四边形，试问：四边形AEFD的周的周 长是否会因长是否会因K点的变动而变化？为什么？点的变动而变化？为什么？ A B D C K