导数概念及基本函数的导数

1、2021/3/111 2021/3/112 一、复习目标一、复习目标 了解导数概念的某些实际背景了解导数概念的某些实际背景( (瞬时速度瞬时速度, 加速度加速度, 光滑曲线光滑曲线 切线的斜率等切线的斜率等) ), 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几 何意义何意义, 理解导数的概念理解导数的概念, 熟记常见函数的导数公式熟记常见函数的导数公式 c, xm( (m 为为 有理数有理数) ), sinx, cosx, ex, ax, lnx, logax 的导数的导数, 并能熟练应用它们并能熟练应用它们 求有关导数求有关导数. 二、重点解析二、重点解析 导

2、数概念比较抽象导数概念比较抽象, 其定义、方法一般不太熟悉其定义、方法一般不太熟悉, 因此对导因此对导 数概念的理解是学习中的一个难点数概念的理解是学习中的一个难点. 本节要重点掌握根据导数本节要重点掌握根据导数 定义求简单函数的导数的方法定义求简单函数的导数的方法. 一方面一方面, 根据导数定义求导可根据导数定义求导可 进一步理解导数的概念进一步理解导数的概念, 另一方面另一方面, 许多法则都是由导数定义许多法则都是由导数定义 导出的导出的. 导函数导函数( (导数导数) )是一个特殊的函数是一个特殊的函数, 它的引出和定义始终贯穿它的引出和定义始终贯穿 着函数思想着函数思想, 首先定义函数

3、首先定义函数 y=f(x) 在点在点 x0 处可导处可导, 且在且在 x0 处有处有 唯一的导数唯一的导数 f (x0), 然后定义函数然后定义函数 y=f(x) 在开区间在开区间 (a, b) 内可导内可导, 2021/3/113 因而对于开区间因而对于开区间 (a, b) 内每一个确定的值内每一个确定的值, 都对应着一个确定都对应着一个确定 的导数的导数 f (x0). 据函数定义据函数定义, 在开区间在开区间 (a, b) 内就构成了一个新内就构成了一个新 函数函数, 即导数即导数. 三、知识要点三、知识要点 1.导数的概念导数的概念 对于函数对于函数 y=f(x), 如果自变量如果自变

4、量 x 在在 x0 处有增量处有增量 D Dx, 那么函数那么函数 y 相应的有增量相应的有增量 D Dy=f(x0+D Dx)- -f(x0), 比值比值 叫做函数叫做函数 y=f(x) 在在 x0 到到 x0+D Dx 之间的平均变化率之间的平均变化率, 即即 = . D Dx D Dy D Dx D Dy D Dx f(x0+D Dx)- -f(x0) D Dx D Dy 如果当如果当 D Dx0 时时, 有极限有极限, 就说函数就说函数 y=f(x) 在在点点 x0 处可导处可导, 并把这个极限叫做并把这个极限叫做 f(x) 在点在点 x0 处的导数处的导数( (或变化率或变化率) )

5、, 记作记作: f (x0) 或或 y | x=x0, 即即: D Dx f(x0+D Dx)- -f(x0) f (x0)=lim =lim . D Dx0 D Dx D Dy D Dx0 2021/3/114 f (x)=y =lim =lim . D Dx f(x+D Dx)- -f(x) D Dx0 D Dx D Dy D Dx0 函数函数 y=f(x) 的导数的导数 f (x), 就是就是当当 D Dx0 时时, 函数的增量函数的增量 D Dy 与与 自变量的增量自变量的增量 D Dx 的比的比 的极限的极限, 即即: D Dx D Dy 求函数求函数 y=f(x) 在点在点 x0

6、处的导数的步骤处的导数的步骤: (2)求平均变化率求平均变化率: = ; D Dx f(x0+D Dx)- -f(x0) D Dx D Dy (1)求函数的增量求函数的增量: D Dy=f(x0+D Dx)- -f(x0); (3) 取极限取极限: 得导数得导数 f (x0)=lim . D Dx D Dy D Dx0 如果函数如果函数 f(x) 在开区间在开区间 (a, b) 内内每一点都可导每一点都可导, 就说就说 f(x) 在开在开 区间区间 (a, b) 内可导内可导. 这时这时, 对于开区间对于开区间 (a, b) 内每一个确定的值内每一个确定的值 x0, 都对应着一个确定的导数都对

7、应着一个确定的导数 f (x0), 这样就在开区间这样就在开区间 (a, b) 内构内构 成一个新的函数成一个新的函数, 我们把这一新函数叫做我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间在开区间 (a, b)内内 的的导函数导函数, 记作记作 f (x) 或或 y ( (需指明自变量需指明自变量 x 时记作时记作 y x), 即即: 2021/3/115 函数函数 y=f(x) 在点在点 x0 处的导数处的导数 f (x0), 就是曲线就是曲线 y=f(x) 在点在点 P(x0, f(x0) 处的切线的斜率处的切线的斜率 k, 即即: k=tan =f (x0). 相相 应的切线方程为应的切线方程

8、为 y- -y0=f (x0)(x- -x0). 2.导数的意义导数的意义 (1)几何意义几何意义: (2)物理意义物理意义: 函数函数 S=s(t) 在点在点 t0 处的导数处的导数 s (t0), 就是当物体就是当物体 的运动方程为的运动方程为 S=s(t) 时时, 物体运动在物体运动在时刻时刻 t0 时的瞬时速度时的瞬时速度 v, 即即: v=s (t0). 设设 v=v(t) 是速度函数是速度函数, 则则 v (t0)表示物体在表示物体在时刻时刻 t=t0 时的时的 加速度加速度. f (x)=y =lim =lim . D Dx f(x+D Dx)- -f(x) D Dx0 D Dx

9、 D Dy D Dx0 导函数也简称导数导函数也简称导数. 当当 x0 (a, b) 时时, 函数函数 f(x) 在点在点 x0 处的导数处的导数 f (x0) 等于函数 等于函数 f(x) 在在开区间开区间 (a, b)内的导数内的导数 f (x) 在点在点 x0 处的函处的函 数值数值. 如果函数如果函数 y=f(x) 在点在点 x0 处可导处可导, 那么函数那么函数 y=f(x) 在点在点 x0 处连处连 续续, 但要注意连续不一定可导但要注意连续不一定可导. 2021/3/116 3.几种常见函数的导数几种常见函数的导数 (1)c =0( (c 为常数为常数) ), (xn) =nxn

10、- -1(n Q); (2)(sinx) =cosx, (cosx) =- -sinx; (4)(ex) =ex, (ax) =axlna. (3)(lnx) = , (logax) = logae; 1 x 1 x 典型例题典型例题 1 已知函数已知函数 f(x)= (1)确定确定 a, b 的值的值, 使使 f(x) 在在 x=0 处连续、可导处连续、可导; (2)求曲线求曲线 y=f(x) 在点在点 P(0, f(0) 处的切线方程处的切线方程. x2+x+1, x0, ax+b, x0. 解解: (1)要使要使 f(x) 在在 x=0 处连续处连续, 则需则需 lim f(x) =li

11、m f(x)=f(0). x0 - -x0 + 而而 lim f(x) =lim(x2+x+1)=1, f(0)=1, x0 - -x0 - - lim f(x) =lim(ax+b)=b, x0 +x0 + 故当故当 b=1 时时, 可使可使 f(x) 在在 x=0 处连续处连续. 2021/3/117 又又 lim =lim D Dx D Dy(0+D Dx)2+(0+D Dx)+1- -(02+0+1) D Dx0 - -D Dx0 - - D Dx =lim (D Dx+1)=1, D Dx0 - - D Dx0 + lim =lim D Dx D Dya(0+D Dx)+b- -(0

12、2+0+1) D Dx D Dx0 + =lim aD Dx+b- -1 D Dx D Dx0 + =a+lim b- -1 D Dx D Dx0 + 故当故当 b- -1=0 且且 a=1 即即 a=b=1 时时, f(x) 在在 x=0 处可导处可导. 综上所述综上所述, 当当 b=1, a R 时时, f(x) 在在 x=0 处连续处连续, 当当 a=b=1 时时, f(x) 在在 x=0 处可导处可导. (2)由由(1)知知, f (0)=1, 又又 f(0)=1, 故曲线故曲线 y=f(x) 在点在点 P(0, f(0) 处的切线方程为处的切线方程为 y- -1=x- -0, 即即

13、x- -y+1=0. 2021/3/118 典型例题典型例题 2 若若 f(x) 在在 R 上可导上可导, (1)求求 f(- -x) 在在 x=a 处的导数与处的导数与 f(x) 在在 x=- -a 处的导数的关系处的导数的关系; (2)证明证明: 若若 f(x) 为偶函数为偶函数, 则则 f (x) 为奇函数为奇函数. (1)解解: 设设f(- -x)=g(x), 则则 =- -f (- -a). f(- -x) 在在 x=a 处的导数与处的导数与 f(x) 在在 x=- -a 处的导数互为相反数处的导数互为相反数. (2)证证: f(x) 为偶函数为偶函数, f (x) 为奇函数为奇函数

14、. g (a)=lim D Dx0 g(a+D Dx)- -g(a) D Dx =lim D Dx0 f(- -a- -D Dx)- -f(- -a) D Dx =- -lim - -D Dx0 f(- -a- -D Dx)- -f(- -a) - -D Dx =lim D Dx0 f(x- -D Dx)- -f(x) D Dx =- -lim - -D Dx0 f(x- -D Dx)- -f(x) - -D Dx =- -f (x), D Dx0 f(- -x+D Dx)- -f(- -x) D Dx f (- -x)=lim 注注: 本题亦可利用复合函数的求导法则解决本题亦可利用复合函数的

15、求导法则解决. . 2021/3/119 典型例题典型例题 3 已知曲线已知曲线 C: y=x3- -3x2+2x, 直线直线 l: y=kx, 且直线且直线 l 与曲线与曲线 C 相相 切于点切于点 (x0, y0)(x0 0), 求直线求直线 l 的方程及切点坐标的方程及切点坐标. 解解: 由已知直线由已知直线 l 过原点且其斜率过原点且其斜率 k= , x0 y0 点点 (x0, y0) 在曲线在曲线 C 上上, y0=x03- -3x02+2x0. =x02- -3x0+2. x0 y0 又又 y =3x2- -6x+2, 在在点点 (x0, y0) 处曲线处曲线 C 的切线斜率的切线

16、斜率 k=y |x=x0. x02- -3x0+2=3x02- -6x0+2. 整理得整理得 2x02- -3x0=0.解得解得 x0= (x0 0) ). 3 2 这时这时 y0=- - , k=- - . 3 8 1 4 直线直线 l 的方程为的方程为 y=- - x, 1 4 切点坐标是切点坐标是 ( , - - ). 3 8 3 2 注注 有关曲线的切线问题有关曲线的切线问题, 可考虑利用导数的几何意义可考虑利用导数的几何意义. 曲线曲线 C 在某一定点处的切线是唯一的在某一定点处的切线是唯一的, 因此斜率也是唯一的因此斜率也是唯一的( (若存在若存在 的话的话) ), 采用斜率相等这

17、一重要关系采用斜率相等这一重要关系, 往往都可解决这类问题往往都可解决这类问题. 2021/3/1110 典型例题典型例题 4 求曲线求曲线 y=2- - x2 与与 y= x3- -2 的交点处切线的夹角的交点处切线的夹角( (用弧度数用弧度数 作答作答) ). 1 2 1 4 解解: 由由 y=2- - x2 与与 y= x3- -2联立方程组解得交点坐标为联立方程组解得交点坐标为 P(2, 0). 1 2 1 4 y=2- - x2 的导函数为的导函数为 y=- -x, 1 2 它在它在 P 处的切线斜率处的切线斜率 k1=- -2, 同理同理, 曲线曲线 y= x3- -2 在在 P

18、处的切线斜率处的切线斜率 k2=3, 1 4 由夹角公式由夹角公式 tan =| |=1 得得 k2- -k1 1+k2k1 4 = . 故两曲线的交点处切线的夹角为故两曲线的交点处切线的夹角为 . 4 2021/3/1111 课后练习课后练习 1 已知函数已知函数 f(x)= 判断判断 f(x) 在在 x=1 处是否可导处是否可导. (x2+1), x1, (x+1), x1. 1 2 1 2 D Dx D Dy lim lim , D Dx D Dy D Dx0 - -D Dx0 + 解解: lim =lim D Dx D Dy D Dx0 - - (1+D Dx)2+1- - (12+1

19、) D Dx0 - - D Dx 1 2 1 2 lim =lim D Dx D Dy D Dx0 +D Dx0 + (1+D Dx+1)- - (12+1) D Dx 1 2 1 2 =1, = , 1 2 f(x) 在在 x=1 处不可导处不可导. 注注 判定分段函数在判定分段函数在“分界点处分界点处”的导数是否存在的导数是否存在, 要验证要验证 其左、右极限是否存在且相等其左、右极限是否存在且相等, 如果存在且相等如果存在且相等, 那么这点的那么这点的 导数存在导数存在, 否则不存在否则不存在. =lim (1+ D Dx) 1 2 D Dx0 - - =lim 1 2 D Dx0 +

20、D Dx D Dx D Dx0 D Dx D Dy 从而从而 lim 不存在不存在. 2021/3/1112 课后练习课后练习 2 若函数若函数 f(x)=|x|, (1)试判断试判断 f(x) 在在 x=0 处是否可导处是否可导; (2)当当 x 0 时时, 求求 f(x) 的导数的导数. 解解: (1)D Dy=f(0+D Dx)- -f(0)=|D Dx|, D Dx D Dy D Dx0 - - D Dx0 + lim lim , D Dx D Dy D Dx0 D Dx D Dy 从而从而 lim 不存在不存在. 故函数故函数 f(x)=|x| 在点在点 x=0 处不可导处不可导.

21、(2)当当 x0 时时, 可使可使 x+D Dx0. f (x)=lim =lim D Dx f(x+D Dx)- -f(x) D Dx0 D Dx |x+D Dx|- -|x| D Dx0 =lim D Dx (x+D Dx)- -x D Dx0 =1. 同理可得同理可得, 当当 x0 时时, f (x)=- -1. = . D Dx |D Dx| D Dx D Dy 当当 D Dx0 时时, =1, lim =1, D Dx0 D Dx D Dy D Dx D Dy 注注 函数在一点连续函数在一点连续, 但不一定可导但不一定可导; 函数在一点可导函数在一点可导, 直观直观 反映是函数的图象

22、在这一点是平滑的反映是函数的图象在这一点是平滑的. 2021/3/1113 课后练习课后练习 3 一质点作直线运动一质点作直线运动, 它所经过的路程它所经过的路程 S( (单位单位: m) )和时间和时间 t( (单单 位位: s) )的关系是的关系是 S=3t2+t+1. (1)求求 2, 2.01 这段时间内质点的平这段时间内质点的平 均速度均速度; (2)当当 t=2 时的瞬时速度时的瞬时速度. 解解: (1)D DS=3 2.012+2.01+1- -(3 22+2+1) =0.1303. = 0.1303 0.01 v= D Dt D DS =13.03(m/s). (2)D DS=

23、3(t+D Dt)2+(t+D Dt)+1- -(3t2+t+1) =3D Dt2+(1+6t)D Dt, D Dt D DS = 3D Dt2+(1+6t)D Dt D Dt =3D Dt+1+6t. v=lim D Dt D DS D Dt0 =lim(3D Dt+1+6t) D Dt0 =6t+1. v | t=2=13. 即当即当 t=2 时时, 质点运动的瞬时速度为质点运动的瞬时速度为 13m/s. 注注 (2)亦可直接对函数求导后解决亦可直接对函数求导后解决. 2021/3/1114 课后练习课后练习 4 如果曲线如果曲线 y=x3+x- -10 的某一切线与直线的某一切线与直线

24、y=4x+3 平行平行, 求切点求切点 坐标与切线方程坐标与切线方程. 解解: 切线与直线切线与直线 y=4x+3 平行平行, 切线斜率为切线斜率为 4. 又又切线在切线在 x0 处斜率为处斜率为 y | x=x0 3x02+1=4. x0= 1. 当当 x0=1 时时, y0=- -8; 当当 x0=- -1 时时, y0=- -12. 切点坐标为切点坐标为 (1, - -8) 或或 (- -1, - -12). 切线方程为切线方程为 y=4x- -12 或或 y=4x- -8. =(x3+x- -10) | x=x0 =3x02+1. 2021/3/1115 课后练习课后练习 5 已知曲线已知曲线 S: y=x3- -6x2- -x+6. (1)求求 S 上斜率最