相似三角形的应用

1、相似三角形相似三角形 的应用的应用 太阳光线可以看太阳光线可以看 成是平行光线。成是平行光线。 在阳光下，在同一时刻，物体的高度与在阳光下，在同一时刻，物体的高度与 物体的影长存在某种关系：物体的高度越高，物体的影长存在某种关系：物体的高度越高， 物体的影长就越长物体的影长就越长 在平行光线的照射下，不同物体的物高在平行光线的照射下，不同物体的物高 与影长成比例与影长成比例 1.一根一根1.51.5米长的标杆直立在水平地面上米长的标杆直立在水平地面上, ,它它 在阳光下的影长为在阳光下的影长为2.12.1米；此时一棵水杉树的影米；此时一棵水杉树的影 长为长为10.510.5米米, ,这棵水杉树

2、高为这棵水杉树高为 ( ) ( ) A.7.5A.7.5米米 B.8 B.8米米 C.14.7 C.14.7米米 D.15.75 D.15.75米米 2.在某一刻在某一刻, ,有人测得一高为有人测得一高为1.81.8米的米的 竹竿的影长为竹竿的影长为3 3米米, ,某一高楼的影长为某一高楼的影长为6060 米米, ,那么高楼的高度是多少米那么高楼的高度是多少米? ? (1)利用影长测量物体的高度利用影长测量物体的高度 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为 “世界古代七大奇观之一世界古代七大奇观之一”。塔的个斜面正对东南西。塔的个斜面正对东南西

3、 北四个方向，塔基呈正方形，每边长约多米北四个方向，塔基呈正方形，每边长约多米。据据 考证，为建成大金字塔，共动用了万人花了年考证，为建成大金字塔，共动用了万人花了年 时间时间. .原高米，但由于经过几千年的风吹原高米，但由于经过几千年的风吹 雨打雨打, ,顶端被风化吹蚀顶端被风化吹蚀. .所以高度有所降低所以高度有所降低 。 埃及著名的考古专家穆罕穆德决埃及著名的考古专家穆罕穆德决 定重新测量胡夫金字塔的高度定重新测量胡夫金字塔的高度. .在一个在一个 烈日高照烈日高照的上午的上午. .他和儿子小穆罕穆德他和儿子小穆罕穆德 来到了金字塔脚下来到了金字塔脚下, ,他想考一考年仅他想考一考年仅1

4、414 岁的小穆罕穆德岁的小穆罕穆德. . 给你一条给你一条1 1米高的米高的 木杆木杆, ,一把皮尺一把皮尺, , 你能利用所学知你能利用所学知 识来测出塔高吗识来测出塔高吗? ? 1米木杆米木杆 皮尺皮尺 例例1 据史料记者，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用据史料记者，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用 相似三角形的原理，在金字塔影子顶部立一根木杆，集中相似三角形的原理，在金字塔影子顶部立一根木杆，集中 大院光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度大院光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度 如图，如果木杆如图，如果木杆EF长长2m，它的影长，它的影长FD为为3m，测得，测得OA 为

5、为201m，求金字塔的高度，求金字塔的高度BO 解：太阳光是平行光线，由此解：太阳光是平行光线，由此BAOEDF，又，又 AOBDFE90 ABODEF FD OA EF BO 134 3 2201 FD EFOA BO 因此金字塔的高为因此金字塔的高为134m B E A(F) D O 现在小穆罕穆德测得金字塔的的阴影现在小穆罕穆德测得金字塔的的阴影ACAC的的 长为长为3232米，他还同时测得小木棒米，他还同时测得小木棒0 0 B B的影长是 的影长是1 1 米，在父亲的帮助下，他还测得了金字塔底边米，在父亲的帮助下，他还测得了金字塔底边 CDCD的长度大约是的长度大约是230230米。米

6、。 你能不能帮助小穆罕穆德求出这你能不能帮助小穆罕穆德求出这 座金字塔的高度？座金字塔的高度？ C D (方法1)利用影长测量物体的高度 测量原理：测量原理：测量不能到达顶部的物体高度，测量不能到达顶部的物体高度， 通常利用通常利用“相似三角形的对应边的比相等相似三角形的对应边的比相等” 和和“在同一时刻物高与影长的比相等在同一时刻物高与影长的比相等”的的 原理来解决原理来解决。 测量方法测量方法：如图，在同一时刻测量出参照：如图，在同一时刻测量出参照 物和被测量物体的影长物和被测量物体的影长CO,BO，再测量出，再测量出 参照物的高度参照物的高度DO,然后计算出被测量物体的然后计算出被测量物

7、体的 高度高度AB. A B D O C 物物1高高 ：物：物2高高 = 影影1长长 ：影：影2长长 知识要点知识要点 测高的方法测高的方法 测量不能到达顶部的物体的高度，测量不能到达顶部的物体的高度， 通常用通常用“在同一时刻物高与影长成正比在同一时刻物高与影长成正比 例例”的原理解决。的原理解决。 变式变式1 1. .某同学想利用树影测量树高某同学想利用树影测量树高. .他在某一时刻他在某一时刻 测得小树高为测得小树高为1.51.5米时，其影长为米时，其影长为1.21.2米，当他测量米，当他测量 教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼， 有一

8、部分影子在墙上有一部分影子在墙上. .经测量，地面部分影长为经测量，地面部分影长为6.46.4 米，墙上影长为米，墙上影长为1.41.4米，那么这棵大树高多少米米，那么这棵大树高多少米? ? E D 6.4 1.2 ？ 1.5 1.4 A B c 解：作解：作DEAB于于E 得得 AE=8 AB=8+1.4=9.4米米 4 .62 .1 5 .1x 物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分 1.2 1.5 甲 拓展拓展: : 已知教学楼高为已知教学楼高为1212米，在距教学楼米，在距教学楼9 9米的北米的北 面有一建筑物乙，此时教学楼会影响乙的采光吗？面

9、有一建筑物乙，此时教学楼会影响乙的采光吗？ 乙 9 12 12 9.6 D E 0.6 变式变式2 2：小明在某一时刻测得：小明在某一时刻测得1m1m的杆子在阳的杆子在阳 光下的影子长为光下的影子长为2m,2m,他想测量电线杆他想测量电线杆ABAB的高的高 度度, ,但其影子恰好落在土坡的坡面但其影子恰好落在土坡的坡面CDCD和地面和地面 BCBC上上, ,量得量得CD=2m,BC=10m,CDCD=2m,BC=10m,CD与地面成与地面成4545, , 求电线杆的高度求电线杆的高度. . A A B B D D C C E EF F 例例2 2. .小明要测量一座古塔的高度小明要测量一座古塔

10、的高度, ,从距他从距他2 2米的一米的一 小块积水处小块积水处C C看到塔顶的倒影看到塔顶的倒影, ,已知小明的眼部离已知小明的眼部离 地面的高度地面的高度DEDE是是1.51.5米米, ,塔底中心塔底中心B B到积水处到积水处C C的距的距 离是离是4040米米. .求塔高求塔高AB? AB? B D C A E CE BC DE AB 2 40 5 . 1 AB 30AB 答答: :塔高塔高3030米米. . 解:DEC=ABC=90 DCE=ACB DECABC 这里运用了物理中哪个原理？这里运用了物理中哪个原理？ AF E B O 还可以有其他方法测量吗？还可以有其他方法测量吗？ 一

11、题多解一题多解 OB EF = OA AF ABOAEF OB = OA EF AF 平面镜平面镜 把一小镜子放在离树（AB）8米的点E处， 然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子 里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.8m，观 察者目高CD=1.6m。这时树高多少？你能解决 这个问题吗？ A B E D C 例例3：如图如图: :为了估算河的宽度为了估算河的宽度, ,我们可以我们可以 在河对岸选定一个目标作为点在河对岸选定一个目标作为点A,A,再在河的这一再在河的这一 边选点边选点B B和和C,C,使使ABBC,ABBC,然后然后, ,再选点再选点E,E,使使 ECBC,ECBC,用视

12、线确定用视线确定BCBC和和AEAE的交点的交点D.D.此时如果此时如果 测得测得BD=120BD=120米米,DC=60,DC=60米米,EC=50,EC=50米米, ,求两岸间的求两岸间的 大致距离大致距离AB.AB. A B C D E 方法一：方法一： 如图如图: :为了估算河的宽度为了估算河的宽度, ,我们可以在我们可以在 河对岸选定一个目标作为点河对岸选定一个目标作为点A A, ,再在河的这一边选点再在河的这一边选点 B B和和C C, ,使使ABABBCBC, ,然后然后, ,再选点再选点E E, ,使使ECECBCBC, ,用视线确用视线确 定定BCBC和和AEAE的交点的交点

13、D D. .此时如果测得此时如果测得BDBD=120=120米米, ,DCDC=60=60 米米, ,ECEC=50=50米米, ,求两岸间的大致距离求两岸间的大致距离ABAB. . A B C D E 解解: ADB = EDC ABC =ECD =900. ABD ECD ABEC=BDCD AB =BDEC/CD =12050/60 =100（米）（米） 答：答：两岸间的大致距离为两岸间的大致距离为100米。米。 方法二：方法二：我们还可以在河对岸选定一目标点我们还可以在河对岸选定一目标点A， 再在河的一边选点再在河的一边选点D和和 E，使，使DEAD，然后，再，然后，再 选点选点B，作

14、，作BCDE，与视线，与视线EA相交于点相交于点C。此时，。此时， 测得测得DE , BC, BD, 就可以求两岸间的大致距离就可以求两岸间的大致距离AB 了。了。A D E B C 此时如果测得此时如果测得DE120米，米， BC60米，米，BD50米，求米，求 两岸间的大致距离两岸间的大致距离AB （方法2）测量河的宽度 测量原理测量原理：测量不能直接到达的两点间的：测量不能直接到达的两点间的 距离，常构造相似三角形求解。距离，常构造相似三角形求解。 测量方法测量方法： 为了估算河的宽度为了估算河的宽度, ,我们可以在河对岸选定我们可以在河对岸选定 一个目标作为点一个目标作为点A A, ,

15、再在河的这一边选点再在河的这一边选点B B和和C C, , 使使ABABBCBC, ,然后然后, ,再选点再选点E E, ,使使ECECBCBC, ,用视线用视线 确定确定BCBC和和AEAE的交点的交点D D. .此时如果测得此时如果测得BDBD，DCDC， ECEC的长，根据相似三角形对应边的比求出河的长，根据相似三角形对应边的比求出河 宽宽ABAB. . 知识要点知识要点 测距的方法测距的方法 测量不能到达两点间的距离测量不能到达两点间的距离,常常构造构造 相似三角形相似三角形求解。求解。 如图如图, ,小东设计两个直角来测量河宽小东设计两个直角来测量河宽DE,DE,他量他量 得得AD=

16、2m,BD=3m,CE=9m,AD=2m,BD=3m,CE=9m,则河宽则河宽DEDE为为 ( )( ) (A).5m (B).4m (c).6m (D).8m 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且 落在离网落在离网5 5米的位置上，求球拍击球的高度米的位置上，求球拍击球的高度h h. E B C D A 练习练习 A B C D E F H G 如图 27217(2)利用“标杆和视角”构建三角形，其数 学模型为： 图 27217(2) 例例3：已知左，右并排的两棵大树的高分：已知左，右并排的两棵大树的高分 别是别是AB=8m和和CD=12m

17、，两树的根部的距，两树的根部的距 离离BD=5m。一个身高。一个身高1.6m的人沿着正对的人沿着正对 着两棵树的一条水平直路从左向右前进，着两棵树的一条水平直路从左向右前进， 当他与左边较低的树的距离小于多少时，当他与左边较低的树的距离小于多少时， 就不能看见右边较高的树的顶端点就不能看见右边较高的树的顶端点C？ K 盲区盲区 观察者观察者 看不到看不到 的区的区 域。域。 仰角仰角 ：视线在水平：视线在水平 线以线以 上的夹角。上的夹角。 水平线水平线 视线视线 视点视点 观察者眼睛的位置。观察者眼睛的位置。 (1) F B C D H G l A K (1) F B C D H G l A

18、 K F A B C D H G K l (2) 分析：分析： 假设观察者从左向右走到点假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的位时，他的眼睛的位 置点置点F与两颗树的顶端点与两颗树的顶端点A、C恰在一条直线上恰在一条直线上,如如 果观察者继续前进，由于这棵树的遮挡，右边树果观察者继续前进，由于这棵树的遮挡，右边树 的顶端点的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到在观察者的盲区之内，观察者看不到 它。它。 E 由题意可知，由题意可知，ABL，CDL， ABCD，AFH CFK FH FK = AH CK 即即 FH FH+5 = 8-1.6 12-1.6 解得解得FH=8 当他与左边的树的距

19、离小于当他与左边的树的距离小于8m时，由时，由 于这棵树的遮挡，右边树的顶端点于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观在观 察者的盲区之内，就不能看见右边较高的察者的盲区之内，就不能看见右边较高的 树的顶端点树的顶端点C 如图：直立在点B处的标杆AB长为2.5米，观察者站在点F 处，人眼E，标杆顶A，树顶C在同一条直线上，点F,B,D 也在同一条直线上，已知BD=10米，FB=3米，EF=1.7米， 求树高DC？ E F A B C D 1. 相似三角形的应用主要有两个方面：相似三角形的应用主要有两个方面： （1） 测高测高 测量不能到达两点间的距离测量不能到达两点间的距离,常构造相似三常构造相似

20、三 角形求解。角形求解。 （不能直接使用皮尺或刻度尺量的）（不能直接使用皮尺或刻度尺量的） （不能直接测量的两点间的距离）（不能直接测量的两点间的距离） 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用测量不能到达顶部的物体的高度，通常用 “在同一时刻物高与影长成比例在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决。的原理解决。 （2） 测距测距 2. 解相似三角形实际问题的一般步骤：解相似三角形实际问题的一般步骤： （1）审题。）审题。 （2）构建图形。）构建图形。 （3）利用相似解决问题。）利用相似解决问题。 3.为了测量路灯（为了测量路灯（OS）的高度）的高度,把一根长把一根长1.5 米的竹竿（米的竹竿（AB

21、）竖直立在水平地面上）竖直立在水平地面上,测得测得 竹竿的影子（竹竿的影子（BC）长为）长为1米米,然后拿竹竿向远然后拿竹竿向远 离路灯方向走了离路灯方向走了4米（米（BB）,再把竹竿竖立再把竹竿竖立 在地面上在地面上, 测得竹竿的影长（测得竹竿的影长（BC）为）为1.8米米, 求路灯离地面的高度求路灯离地面的高度. h S A C B B O C A 4、如图，有一路灯杆、如图，有一路灯杆AB(底部底部B不能直接到不能直接到 达达)，在灯光下，小明在点，在灯光下，小明在点D处测得自己的影处测得自己的影 长长DF3m，沿，沿BD方向到达点方向到达点F处再测得自处再测得自 己得影长己得影长FG4

22、m，如果小明得身高为，如果小明得身高为1.6m， 求路灯杆求路灯杆AB的高度。的高度。 DF B CE G A P D Q B C A 课堂小结课堂小结: 一一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面、相似三角形的应用主要有如下两个方面 1 1 测高测高( (不能直接使用皮尺或刻度尺量的不能直接使用皮尺或刻度尺量的) ) 2 2 测距测距( (不能直接测量的两点间的距离不能直接测量的两点间的距离) ) 二、测高的方法二、测高的方法 测量不能到达顶部的物体的高度测量不能到达顶部的物体的高度, ,通常用通常用“在同在同 一时刻物高与影长的比例一时刻物高与影长的比例”的原理解决的原理解决 三、测距的方

23、法三、测距的方法 测量不能到达两点间的距离测量不能到达两点间的距离, ,常构造相似三常构造相似三 角形求解角形求解 课堂小结课堂小结: 四、相似三角形的应用的主要图形四、相似三角形的应用的主要图形 挑战自我挑战自我 1、如图，如图，ABCABC是一块锐角三角形余料，边是一块锐角三角形余料，边 BC=120BC=120毫米，高毫米，高AD=80AD=80毫米，要把它加工成正方形毫米，要把它加工成正方形 零件，使正方形的一边在零件，使正方形的一边在BCBC上，其余两个顶点分上，其余两个顶点分 别在别在ABAB、ACAC上，这个正方形零件的边长是多少？上，这个正方形零件的边长是多少？ N MQ P

24、E D C B A解：解：设正方形设正方形PQMNPQMN是符合要求的是符合要求的ABCABC的高的高 ADAD与与PNPN相交于点相交于点E E。设正方形。设正方形PQMNPQMN的边长为的边长为x x 毫米。毫米。 因为因为PNBCPNBC，所以，所以APN APN ABCABC 所以所以 AE AD = PN BC 因此因此 ，得，得 x=48（毫米）。答：（毫米）。答：-。 80 x 80 = x 120 作业：作业： 课堂作业：课堂作业： 课本课本p56 10 P57 11 P8 8 家庭作业：家庭作业： 基础训练基础训练p64p67 探索与思考选作探索与思考选作 练习：练习：1.1

25、.小军想出了一个测量建筑物高度的小军想出了一个测量建筑物高度的 方法方法: :在地面上在地面上C C处平放一面镜子处平放一面镜子, ,并在镜子上并在镜子上 做一个标记做一个标记, ,然后向后退去然后向后退去, ,直至看到建筑物直至看到建筑物 的顶端的顶端A A在镜子中的象与镜子上在镜子中的象与镜子上 的标记重合的标记重合. . 如果小军的眼睛距地面如果小军的眼睛距地面1.65m,BC1.65m,BC、CDCD的长分的长分 别为别为60m60m、3m,3m,求这座建筑物的高度求这座建筑物的高度. . A BCD E 巩固巩固 3、如图，为了测量一栋大楼的高度，王、如图，为了测量一栋大楼的高度，王

26、 青同学在她脚下放了一面镜子，然后向青同学在她脚下放了一面镜子，然后向 后退，直到她刚好在镜子中看到大楼顶后退，直到她刚好在镜子中看到大楼顶 部。这时部。这时LMK等于等于 SMT吗？如果王青的身吗？如果王青的身 高高1.55m，她估计自己眼睛，她估计自己眼睛 离地面离地面1.50m，同时量得，同时量得 LM=30cm，MS=25m，这，这 栋大楼有多高？栋大楼有多高？ 变式变式1 1：小丽利用影长测量学校旗杆的高度：小丽利用影长测量学校旗杆的高度. . 由于旗杆靠近一个建筑物由于旗杆靠近一个建筑物, ,在某一时刻旗杆影在某一时刻旗杆影 子中的一部分映在建筑物的墙上子中的一部分映在建筑物的墙上. .小丽测得旗小丽测得旗 杆杆ABAB在地面上的影长在地面上的影长BCBC为为20m,20m,在墙上的影长在墙上的影长 CDCD为为4m,4m,同时又测得竖立于地面的同时又测得竖立于地面的1m1m长的标杆长的标杆 影长为影长为0.8m,0.8m,请帮助小丽求出旗杆的高度请帮助小丽求出旗杆的高度. . CB D1m 0.8m E 2.2.教学楼旁边有一棵树，数学兴趣小组