20102013北约自主招生数学笔试试题及答案(精校版+完整版)

1、2010年“北约”自主招生数学试题1（仅文科做），求证：2为边长为的正五边形边上的点证明：最长为（25分）3为上在轴两侧的点，求过的切线与轴围成面积的最小值（25分）4向量与已知夹角，在时取得最小值，问当时，夹角的取值范围（25分）5（仅理科做）存不存在，使得为等差数列（25分）2011北约自主招生数学试题1、已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长。2求过抛物线2，交点的直线方程。3、等差数列满足=，这个数列的前n项和为，数列中哪一项最小，并求出这个最小值。4、ABC的三边a,b,c满足a+b2c，A,B,C为ABC的内角，求证：C。 5、是否存在四个正

2、实数，它们的两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？6、和是平面上两个不重合的固定圆，C是该平面上的一个动圆，C和都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由。7、求f(x)=的最小值。 2012年“北约”自主招生数学试题1、求的取值范围使得是增函数；2、求的实数根的个数；3、已知的4个根组成首项为的等差数列，求；4、如果锐角的外接圆的圆心为，求到三角形三边的距离之比；5、已知点，若点是圆上的动点，求面积的最小值。6、在中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？7、求使得在有唯一解的；8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；9、求证：对于任意的正整数，必可

3、表示成的形式，其中2013年北约自主招生数学试题1以和为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？A2 B3 C5 D6 2在的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法？3已知，求的值E4如图，ABC中，AD为BC边上的中线，DM、DN分别为ADB、ADC的角平分线，试比较BMCN与MN的大小关系，并说明理由5设数列满足，前项和为，求6模长为的复数满足，求7最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数8已知，为2013个实数，满足，且，求证9对于任意的，求的值10已知有个实数，排列成阶数阵，记作使得数阵的每一行从左到右都是递增的，即对任意的，

4、当时，有；现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作，即对任意的，当时，有，试判断中每一行的各数的大小关系，并加以证明2010年“北约”自主招生数学解析1（仅文科做），求证：【解析】 不妨设，则，且当时，于是在上单调增即有同理可证，当时，于是在上单调增。在上有。即。注记：也可用三角函数线的方法求解2为边长为的正五边形边上的点证明：最长为（25分）【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系当中有一点位于点时，知另一点位于或者时有最大值为；当有一点位于点时，；当均不在轴上时，知必在轴的异侧方可能取到最大值（否则取点关于

5、轴的对称点，有）不妨设位于线段上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使最大的点必位于线段上且当从向移动时，先减小后增大，于是；对于线段上任意一点，都有于是由，知不妨设为下面研究正五边形对角线的长如右图做的角平分线交于易知于是四边形为平行四边形由角平分线定理知解得3为上在轴两侧的点，求过的切线与轴围成面积的最小值（25分）【解析】 不妨设过点的切线交轴于点，过点的切线交轴于点，直线与直线相交于点如图设，且有由于，于是的方程为；的方程为 联立的方程，解得对于，令，得；对于，令，得于是不妨设，则 不妨设，则有 6个 9个 又由当时，处的等号均可取到注记：不妨设，事实上，其最小值也可用

6、导函数的方法求解由知当时；当时则在上单调减，在上单调增于是当时取得最小值4向量与已知夹角，在时取得最小值，问当时，夹角的取值范围（25分）【解析】 不妨设，夹角为，则，令其对称轴为而在上单调增，故当时，解得当时，在上单调增，于是不合题意于是夹角的范围为5（仅理科做）存不存在，使得为等差数列（25分）【解析】 不存在；否则有，则或者若，有而此时不成等差数列；若，有解得有而，矛盾！2011北约自主招生数学试题解析1、已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长。解：由对角线的平方和等于四边的平方和：所以36+=2(9+25)，=32，x=4。2求过抛物线2，交点的

7、直线方程。解：，7y=6x+1，6x+7y1=0为所求。3、等差数列满足=，这个数列的前n项和为，数列中哪一项最小，并求出这个最小值。解：d=，当n=，即n=6时最小，最小为。4、ABC的三边a,b,c满足a+b2c，A,B,C为ABC的内角，求证：C。解：ab，cosC=，所以C。 5、是否存在四个正实数，它们的两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？解：设存在四个正实数分别为abcd，依题意：ab=2，ac=3，ad=5，bc=6，bd=10，cd=16，=1，b=2，c=3，d=5，而cd=1516，故不存在。或解：abcd=32，而，不满足，故不存在。6、和是平面上两个不重合的固定圆

8、，C是该平面上的一个动圆，C和都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由。解：设两定圆的半径分别为，动圆C的半径为R。当相交时a).C与它两都外切，轨迹是线段的垂直平分线去掉两圆的公共弦；b).C与它两都内切，轨迹是线段的垂直平分线；c).C与两圆一个内切，一个外切时，|=R，|=+R，|+|=，轨迹是以为焦点的椭圆。时a).C与它两都外切，轨迹是线段的垂直平分线去掉两圆的切点；b).C与它两都内切，轨迹是线段的垂直平分线；c).C与两圆一个内切，一个外切时，轨迹是直线，去掉和两圆的切点。相离时a).C与它两都外切，轨迹是线段的垂直平分线；b).C与它两都内切，轨迹是线段的垂直平分线；c).

9、C与两圆一个内切，一个外切时，|=|+，|=，轨迹是以为焦点的双曲线。当，不妨设相交时a).C与它两都外切，|=|，轨迹是以为焦点的双曲线中(对应焦点)的一支，去掉两圆公共区域的部分；b).C与它两都内切，|=|，或|=|轨迹是以为焦点的双曲线中(对应焦点)的一支； c).C与两圆一个内切，一个外切时，|=|，轨迹是以为焦点的椭圆。 时a).C与它两都外切，|=|，轨迹是以为焦点的双曲线中(对应焦点)的一支，去掉两圆的切点；b).C与它两都内切|=|，轨迹是以为焦点的双曲线中(对应焦点)的一支；c).C与两圆一个内切，一个外切时，|=|，轨迹是直线，去掉和两圆切点。相离时a).C与它两都外切，

10、|=|，轨迹是以为焦点的双曲线中(对应焦点)的一支；b).C与它两都内切，|=|，轨迹是以为焦点的双曲线中(对应焦点)的一支；c).C与两圆一个内切，一个外切时，|=|，轨迹是以为焦点的双曲线。内切时a).C与它两都外切，轨迹是射线在两圆切点以外部分；b).C与它两都内切，轨迹是以两圆切点为端点，方向是，去掉和两圆切点的射线。c).C与两圆一个内切，一个外切时，轨迹是以为焦点的椭圆，去掉两圆的切点。内含时a).C与它两都内切，轨迹是以为焦点的椭圆；b).C与两圆一个内切，一个外切时，轨迹是以为焦点的椭圆。7、求f(x)=的最小值。 解：f(x)=|+|+|+|+|+|+|，一共有1+2+320

11、11=10062011个绝对值，则是偶数个，故中间第5032011个和第5032011+1个之间取得最小值；设第5032011个绝对值是|，1+2+3，n(n+1)10062011=2023066，14221423=2023506，取n=1421。第5032011个和第5032011+1个绝对值是|，|+|+|+|=(|+|21422|+|31422|+|20111422|)=(1421+1420+1419+1+0+1+2+3+589)=()=(1010331+173755)=。920431+173755+17171717171717171717171717171717171717171717

12、171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717172012年“北约”自主招生数学试题解析2013年北约自主招生数学试题解析1 解析 显然为满足要求的多项式，其次数为5若存在次有理系数多项式以和为两根，则必含有因式，即最小次数为5故选C2解析 先排3个红色車，从6行中任取3行，有种取法；

13、在选定的3行中第一行有6种停法，第一行选定后第二行有5种停法，第二行选定后第三行有4种停法；红車放定后，黑車只有6种停法故停放方法共种故选D3解析 ，又由，有或当时，有，； 当时，E4如图，ABC中，AD为BC边上的中线，DM、DN分别为ADB、ADC的角平分线，试比较BMCN与MN的大小关系，并说明理由解析 延长ND至E，使NDED，连结BE、ME，则BEDCND，MEDMND，MEMN，由BMBEEM，得BMCNMN5解析 ，；由 ，有时，于是，特征方程有重根2，可设，将，代入上式，得，于是，6解析 取，便能得到1下面给出证明，于是 17解析 设满足条件的正整数为个考虑模3的同余类，共三类，记为， 则这个正整数需同时满足不能三类都有；同一类中不能有3个和超过3个否则都会出现三数之和为3的倍数故 当时，取1，3，7，9，其任意三数之和为11，13，17，19均为素数，满足题意， 所