2025年人教版八年级数学寒假复习 专题02 全等三角形（4个知识点回顾+5大题型归纳+过关检测）

专题02全等三角形题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺提升专练：真题感知+精选专练，全面突破【题型1全等三角形的性质】【题型2全等三角形的判定】【题型3全等三角形的判定与性质综合】【题型4角平分线的性质】【题型5角平分线的判定与性质综合】知识点1：全等三角形（一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（二）全等三角形中的对应元素1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。2、对应元素的确定方法（1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。（2）图形位置确定法①公共边一定是对应边；②公共角一定是对应角；③对顶角一定是对应角;（3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。（三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。知识点2：全等三角形的性质（一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。（二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。∵△ABC≌△DEF∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。知识点3：全等三角形的判定1.判定全等三角形（边边边）三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。2.判定全等三角形（边角边）（1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B')①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D';④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。（2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。3.判定全等三角形（角边角）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。4.判定全等三角形（角角边）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。5.判定全等三角形（直角边、斜边）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。知识点4角的平分线的性质和判定（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。2、分别以M,N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠3、画射线OC，射线OC即为所求。（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。（三）角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。几何表示：∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上题型归纳【题型1全等三角形的性质】1．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是−3,0，0,6，若△AOB≌△CDA，则点C的坐标是（

）A．−9,3 B．−6,3 C．3,−9 D．−12,02．（24-25八年级上·广东东莞·期中）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（

）A．72° B．60° C．58° D．50°3．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，△ABN≌△ACM，点B，M，N，C在一条直线上，若BC=11，BM=3，则MN的长为（A．4 B．5 C．6 D．84．（24-25八年级上·北京·期中）如图，△ABC≌△ADE,∠B=110°,∠BAC=30°，那么∠AED=（

）A．30° B．40° C．50° D．60°5．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，AB=4cm，AC=BD=3cm，∠CAB=∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，设运动时间为ts，点Q的运动速度为cm/s时，【题型2全等三角形的判定】

6．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，∠C=∠D=90°，AC=AD，可以判定△ABC≌△ABD的依据是（

A．SAS B．ASA C．AAS D．HL7．（24-25八年级上·山东德州·期中）一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（

）A．（1）和（3） B．（3）和（4） C．（1）和（4） D．（1）和（2）8．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，过D作∠EDF=∠B，分别与AB，AC相交于点E和点F．(1)求证：∠BED=∠FDC；(2)若DE=DF，求证：BE=CD．9．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，已知AC⊥BD，AD=EC，∠D=∠C，AB=5cm，BC=6.5cm，且点B在线段(1)求DE的长；(2)猜想AD与CE的位置关系，并说明理由．10．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E、F分别为AB、AD的中点，连接EC、FC．(1)∠B与∠D相等吗？请说明理由；(2)求证：EC=FC．11．（23-24八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，点E，F在CD上，AC=BD且AC∥BD，CF=DE．求证：12．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，AB=AD，∠B=∠D，∠BAD=∠CAE．求证：△ABC≌△ADE．【题型3全等三角形的判定与性质综合】13．（24-25八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，点E，F在线段BC上，BF=CE，AB=DC，AE=(1)求证：△ABE≌(2)若∠AEB=40°，求∠AOF的度数．14．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=AC，点E是BD上一点，且∠ABD=∠ACD

(1)求证：AE=AD；(2)若BD=8，DC=5，求ED的长．15．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D是边BC上一点，CD=AB，点E在边AC上．(1)若∠ADE=∠B，求证：BD=CE；(2)若BD=CE，∠BAC=70°，求∠ADE的度数．16．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是________．A．SSSB．SAS

C．AASD．HL（2）求得AD的取值范围是________．A．6<AD<8

B．6≤AD≤8

C．1<AD<7

D．1≤AD≤7【方法感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，已知：CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE．17．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在△ABC中，过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BD⊥AC于点D，AE与BD交于点F，且AD=BD．(1)求证：△ADF≌(2)已知BF=6,AC=12，求BD的长．18．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在△ABC和△BDE中，∠ABC=∠DBE=90∘，∠CBE为锐角，AB=BC，BE=BD，连接AE、CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点(1)求证：△ABE≌△CBD(2)线段AE与CD有怎样的位置关系？请说明理由．19．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知Rt△ABC满足BC=AC，∠ACB=90°，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y(1)如图①若AD垂直于x轴，垂足为点D．点C坐标是a,0，点B的坐标是0,b，且满足a+1+b−32=0，请直接写出a、(2)如图②，直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，在滑动的过程中，当B的坐标为0,4，点C的坐标为5,0时，求A的坐标；(3)如图③，直角边BC在两坐标轴上滑动，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，若BD=2AE，试说明y轴恰好平分∠ABC．【题型4角平分线的性质】

20．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠BCD，若AD=4，则点D到BC的距离是（

A．2 B．4 C．6 D．821．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，点AB、BC、CA表示三条公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则仓库应建在

A．三边中线的交点上 B．三内角平分线的交点上C．三条边高的交点上 D．三边垂直平分线的交点上22．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（A．3 B．4 C．5 D．623．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC于B，DC⊥BC于C，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90°；②∠ADE=∠AEB；③AD=2DE；④S梯形ABCD=AD·CEA．1个 B．2个 C．3个 D．4个24．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠BAC的角平分线交于点O，AB=6cm，BC=9cm，△ABO的面积为9cm2，则A．13.5cm2 B．18cm2 C．24cm2 25．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，已知△ABC的周长是30，BO，CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积为（

）A．30 B．35 C．40 D．4526．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于点P，PE⊥AC于点E．若S△BPC=7，PE=4，S△ABC=10，则A．9 B．10 C．11 D．1227．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路l1、l2、l3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型5角平分线的判定与性质综合】28．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF(1)求证：BE=FC；(2)若AB=15，AF=9，求FC的长．29．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）（1）【问题】如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，根据教材中一个重要性质直接可得DB=DC，这个性质是________________________；（2）【探究】如图2，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B<90°，求证：DB=DC；（3）【应用】如图3，四边形ABDC中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC，DE⊥AB，若BE=3，求AB−AC的值．30．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，△ABC的外角∠CBD，∠BCH的平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AD于点E，PF⊥AC于点F．(1)求证：PE=PF；(2)连接AP，若∠ABC=40°，求∠APC的度数．31．（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=4，点G为BC的中点，DG⊥BC交∠BAC的平分线AD于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．(1)求证：BE=CF；(2)求AE的长．过关检测一、单选题1．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（

）A． B．C． D．2．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图所示的两个三角形全等，则x的值是（

）A．45 B．40 C．35 D．253．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线OC，这一做法用到三角形全等的判定定方法是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS4．（24-25八年级上·山东临沂·期中）一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（

）A．1<x<6 B．1<x<7 C．2<x<12 D．x>55．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，在△ABC中，CP平分∠ACB，AP⊥CP于点P，已知△ABC的面积为5，则阴影部分的面积为（）A．3.5 B．3 C．2.5 D．26．（24-25八年级上·重庆云阳·期中）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若AB=4，BC=5，S△ABC=9，则DE的长为（A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题7．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=8cm，CF=5cm，则BD=8．（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个△MBN，已知∠MBN=90°，MB=NB，M(3,0)，N(1,−4)，则点B的坐标为．9．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，DC=5，则点D到AB的距离为．10．（24-25八年级上·山西大同·期中）如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB=8cm,AC=4cm，动点E从A点出发以2cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=CB．若点E的运动时间为t秒t>0，则当t=秒时，三、解答题11．（23-24八年级上·广东肇庆·期中）如图，点D，点F在△ABC外，连接AF，AD，BD，且AF∥BC，∠ABD=∠CAF，BD=AC．(1)尺规作图：作∠ABC的角平分线并与AF相交于点E（保留作图痕迹，不写作法）(2)求证：AD=CE．12．（24-25八年级上·全国·期末）在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上一动点（不与点B、C重合），以AD为边在其右侧作△ADE，使得AD=AE、∠DAE=∠BAC，连接CE．(1)如图①，点D在线段CB上，求证：△ABD≌△ACE．(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．当点D在射线CB上移动时，探究α与β之间的数量关系，并说明理由．13．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点A,B分别在坐标轴上．(1)如图①，若点C的横坐标为−3，点B的坐标为______；(2)如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过点C作CD垂直x轴于D点，试猜想线段CD与AM的数量关系，并说明理由；(3)如图③，点A在x轴上，且A6,0，OB=BF，∠OBF=90°，连接CF交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP

专题02全等三角形题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺提升专练：真题感知+精选专练，全面突破【题型1全等三角形的性质】【题型2全等三角形的判定】【题型3全等三角形的判定与性质综合】【题型4角平分线的性质】【题型5角平分线的判定与性质综合】知识点1：全等三角形（一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（二）全等三角形中的对应元素1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。2、对应元素的确定方法（1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。（2）图形位置确定法①公共边一定是对应边；②公共角一定是对应角；③对顶角一定是对应角;（3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。（三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。知识点2：全等三角形的性质（一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。（二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。∵△ABC≌△DEF∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。知识点3：全等三角形的判定1.判定全等三角形（边边边）三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。2.判定全等三角形（边角边）（1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B')①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D';④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。（2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。3.判定全等三角形（角边角）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。4.判定全等三角形（角角边）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。5.判定全等三角形（直角边、斜边）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。知识点4角的平分线的性质和判定（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。2、分别以M,N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。3、画射线OC，射线OC即为所求。（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。（三）角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。几何表示：∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上题型归纳【题型1全等三角形的性质】1．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是−3,0，0,6，若△AOB≌△CDA，则点C的坐标是（

）A．−9,3 B．−6,3 C．3,−9 D．−12,0【答案】A【分析】本题考查全等三角形的判定和性质及坐标与图形，根据全等三角形的性质得出AD=OB=6，确定OD=9，结合图象求解即可．【详解】解：∵点A，B的坐标分别是(−3,0)，(0,6)，∴OA=3，∵△AOB≌△CDA，∴AD=OB=6，CD=OA=3，∠CDA=∠AOB=90°∴OD=9，CD⊥AD∴C−9,3故选：A．2．（24-25八年级上·广东东莞·期中）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（

）A．72° B．60° C．58° D．50°【答案】A【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而得出答案．【详解】解：由全等三角形的性质得：∠α是边a和c的夹角，∴∠α=50°，故选：D．3．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，△ABN≌△ACM，点B，M，N，C在一条直线上，若BC=11，BM=3，则MN的长为（A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等，是解题关键．利用△ABN≌△ACM得到BN=CM，从而得到BM=CN，然后利用MN=BC−BM−CN即可求解．【详解】解：∵△ABN≌△ACM，∴BN=CM，∴BM=CN=3，∵BC=11，∴MN=BC−BM−CN=11−3−3=5；故选：B．4．（24-25八年级上·北京·期中）如图，△ABC≌△ADE,∠B=110°,∠BAC=30°，那么∠AED=（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理，求出∠C的度数，全等三角形的对应角相等，得到∠AED的度数即可．【详解】解：∵∠B=110°,∠BAC=30°，∴∠C=180°−110°−30°=40°，∵△ABC≌△ADE，∴∠AED=∠C=40°；故选B．5．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，AB=4cm，AC=BD=3cm，∠CAB=∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，设运动时间为ts，点Q的运动速度为cm/s时，【答案】1或1.5【分析】本题考查了全等三角形的性质，设点Q的运动速度是xcm/s，则有AP=tcm，BP=4−tcm，BQ=xtcm，分两种情况：当AP=BP，AC=BQ【详解】解：设点Q的运动速度是xcm/s，则有AP=tcm，BP=4−t∵∠CAB=∠DBA，∴△ACP与△BPQ全等有两种情况：当AP=BP，AC=BQ时，t=4−t，解得：t=2，∴3=2x，解得：x=1.5，即点Q的运动速度是1.5cm/s当AP=BQ，AC=BP时，t=tx，4−t=3，解得：t=1，x=1，即点Q的运动速度是1cm/s综上所述，点Q的运动速度为1或1.5cm/s时，△ACP与△BPQ全等，故答案为：1或1.5．【题型2全等三角形的判定】

6．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，∠C=∠D=90°，AC=AD，可以判定△ABC≌△ABD的依据是（

A．SAS B．ASA C．AAS D．HL【答案】D【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟悉直角三角形全等证明方法．根据直角三角形全等的判定定理求解即可．．【详解】解：在Rt△ABC和Rt△ABD中∴故选：D．7．（24-25八年级上·山东德州·期中）一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（

）A．（1）和（3） B．（3）和（4） C．（1）和（4） D．（1）和（2）【答案】D【分析】本题考查全等三角形的判定，根据ASA，可以确定唯一三角形，进行判断即可．【详解】解：由图可知：（1）和（2）或（2）和（4）可以组成两个完整的角和两个角的夹边，根据ASA，可以确定唯一三角形，符合题意；其他组合均不能得到唯一三角形，故选D．8．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，过D作∠EDF=∠B，分别与AB，AC相交于点E和点F．(1)求证：∠BED=∠FDC；(2)若DE=DF，求证：BE=CD．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．（1）根据三角形的内角和定理和平角的定义即可得到结论；（2）根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】（1）证明：∵∠BED=180°−∠B−∠BDE，∠FDC=180°−∠EDF−∠BDE，∠EDF=∠B，∴∠BED=∠FDC；（2）解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BDE与△CFD中，∠B=∠C∠BED=∠CDF∴△DBE≌△FCDAAS∴BE=CD．9．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，已知AC⊥BD，AD=EC，∠D=∠C，AB=5cm，BC=6.5cm，且点B在线段(1)求DE的长；(2)猜想AD与CE的位置关系，并说明理由．【答案】(1)1.5(2)AD⊥CE，理由见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理：（1）证明△ABD≌△EBC求出BD，BE的长，进而求出（2）根据三角形内角和定理证明∠C+∠A=90°，进而证明∠AHC=90°，据此可得结论．【详解】（1）解：∵AC⊥BD，∴∠ABD=∠EBC=90°，在△ABD和△EBC中，∠ABD=∠EBC∠D=∠C∴△ABD≌△EBCAAS∴BD=BC=6.5cm，∴DE=BD−BE=1.5cm（2）解：AD⊥CE，理由如下：如图所示，延长CE交AD于H，∵∠D=∠C，∴∠C+∠A=90°，∴∠AHC=90°，∴AD⊥CE．10．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E、F分别为AB、AD的中点，连接EC、FC．(1)∠B与∠D相等吗？请说明理由；(2)求证：EC=FC．【答案】(1)∠B与∠D相等，理由见解析；(2)证明见解析．【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，以及线段中点定义，（1）在△ABC和△ADC中，利用SSS即可证明△ABC≌△ADC，则∠B=∠D；（2）根据题意得AE=12AB，AF=12AD，则AE=AF，结合（1）得∠EAC=∠FAC，即可证明△AEC≌△AFC，有【详解】（1）解：∠B与∠D相等，理由如下：连接AC，在△ABC和△ADC中，AB=ADBC=DC∴△ABC≌△ADCSSS∴∠B=∠D；（2）证明：∵点E与F分别是AB、AD的中点，∴AE=12AB，AF=12∵AB=AD，∴AE=AF，∵△ABC≌△ADC，∴∠EAC=∠FAC，在△AEC和△AFC中，AE=AF∠EAC=∠FAC∴△AEC≌△AFCSAS∴EC=FC．11．（23-24八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，点E，F在CD上，AC=BD且AC∥BD，CF=DE．求证：【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．先根据平行线的性质得到∠C=∠D，再证明CE=DF，然后根据“SAS”可判断△AEC≌△BFD．【详解】解：∵AC∥BD，∴∠C=∠D，∵CF=DE，∴CF+EF=DE+EF，即CE=DF，在△AEC和△BFD中，AC=BD∠C=∠D∴△AEC≌△BFD(SAS12．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，AB=AD，∠B=∠D，∠BAD=∠CAE．求证：△ABC≌△ADE．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由∠BAD=∠CAE可得∠BAC=∠DAE，即可证明．【详解】解：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE，∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∠B=∠DAB=AD∴△ABC≌△ADEASA【题型3全等三角形的判定与性质综合】13．（24-25八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，点E，F在线段BC上，BF=CE，AB=DC，AE=(1)求证：△ABE≌(2)若∠AEB=40°，求∠AOF的度数．【答案】(1)证明见解析(2)80°【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解全等三角形的判定和性质是解答关键．（1）由BF=CE，利用线段的和差得到BE=CF，由SSS证明两个三角形全等即可；（2）由（1）可知△ABE≌△DCF，由全等三角形的性质得到【详解】（1）证明：∵BF=∴BE=CF．在△ABE和△DCF中BE=CF∴△ABE≌（2）解：∵△ABE≌∴∠AEB=∠DFC=40°，∴∠AOF=14．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=AC，点E是BD上一点，且∠ABD=∠ACD

(1)求证：AE=AD；(2)若BD=8，DC=5，求ED的长．【答案】(1)见解析；(2)3．【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定和性质是解题的关键．（1）证明△ABE≌△ACDASA（2）根据全等三角形的性质求出答案．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠EAD，∴∠BAC−∠EAC=∠EAD−∠EAC，即：∠BAE=∠CAD，在△ABE和△ACD中，∠ABD=∠ACDAB=AC∴△ABE≌△ACDASA∴AE=AD；（2）解：由（1）得△ABE≌△ACDASA∴BE=CD，∵BD=8，DC=5，∴ED=BD−BE=BD−CD=8−5=3．15．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D是边BC上一点，CD=AB，点E在边AC上．(1)若∠ADE=∠B，求证：BD=CE；(2)若BD=CE，∠BAC=70°，求∠ADE的度数．【答案】(1)证明见解析(2)55°【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．（1）由∠ADE=∠B可得∠BAD=∠CDE，再证明△ABD≅△DCE即可解答；（2）先证明△ABD≅△DCE，得出∠CDE=∠BAD，即可求出∠ADB+∠CDE的值，进而可求出∠ADE的度数．【详解】（1）证明：∵∠BAD=180°−∠B−∠ADB．∠CDE=180°−∠ADE−∠ADB，又∵∠ADE=∠B，∴∠BAD=∠CDE，在△BAD和△CDE中，∠B=∠CAB=DC∴△BAD≌△CDEASA∴BD=CE．（2）解：∵∠BAC=70°，∴∠B=∠C=180°−70°在△BAD和△CDE中，AB=DC∠B=∠C∴△BAD≌△CDESAS∴∠BAD=∠CDE，∴∠ADE=180°−∠CDE−∠ADB=180°−∠BAD−∠ADB=∠B=55°．16．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是________．A．SSSB．SAS

C．AASD．HL（2）求得AD的取值范围是________．A．6<AD<8

B．6≤AD≤8

C．1<AD<7

D．1≤AD≤7【方法感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，已知：CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE．【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析【分析】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，解题的关键是正确做出作辅助线，构造全等三角形．（1）根据三角形全等的判定定理即可进行解答；（2）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答；（3）延长AE到F，使EF=AE，连接DF，证明△ABE≌△FDE得∠BAE=∠EFD，∠B=∠EDF，再由外角的性质得出∠ADF=∠ADC，再证明△ADF≌△ADC得∠AFD=∠C，从而得出∠C=∠BAE．【详解】（1）解：∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，BD=CD∠ADC=∠EDB∴△ADC≌△EDBSAS故选B．（2）解：由（1）可知，△ADC≌∴BE=AC=6，∵AB=8，∴8−6<AE<8+6，即2<AE<14，∵DE=AD，∴AD=1∴1<AD<7．故选C．（3）证明：延长AE到F，使EF=AE，连接DF，∵AE是△ABD的中线，∴BE=ED，在△ABE与△FDE中，BE=DE∠AEB=∠DEF∴△ABE≌△FDESAS∴AB=DF,∠BAE=∠EFD，∵∠ADB是△ADC的外角，∴∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD，∵∠BAE+∠EAD=∠BAD,∠BAE=∠EFD，∴∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD，∴∠ADF=∠ADC，∵AB=DC，∴DF=DC，在△ADF与△ADC中，AD=AD∠ADF=∠ADC∴△ADF≌△ADC∴∠C=∠AFD=∠BAE．17．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在△ABC中，过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BD⊥AC于点D，AE与BD交于点F，且AD=BD．(1)求证：△ADF≌(2)已知BF=6,AC=12，求BD的长．【答案】(1)见解析(2)9【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定；（1）根据同角的余角相等可得∠DAF=∠DBC，根据ASA证明全等即可；（2）根据全等三角形的性质求解即可．【详解】（1）证明：∵BD⊥AC，∴∠ADF=∠BDC=90°，∴∠DBC+∠C=90°，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴∠C+∠DAF=90°，∴∠DAF=∠DBC，∵AD=BD，∴△ADF≌△BDC(ASA（2）解：∵△ADF≌△BDC，∴DF=CD，∵AD=BD,AC=AD+CD=12，∴BD+DF=12，∵BF=6,BD=DF+BF，∴DF+6+DF=12，∴DF=3，∴BD=BF+DF=6+3=9．18．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在△ABC和△BDE中，∠ABC=∠DBE=90∘，∠CBE为锐角，AB=BC，BE=BD，连接AE、CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点(1)求证：△ABE≌△CBD(2)线段AE与CD有怎样的位置关系？请说明理由．【答案】(1)见解析(2)AE⊥CD，理由见解析【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形内角和定理，熟悉以上定理是解题的关键．（1）利用“SAS”可判断△ABE≌△CBD；（2）利用△ABE≌△CBD得到∠BAE=∠BCD，再根据三角形内角和得到∠NMC=∠ABN=90°，即可判断AE⊥CD．【详解】（1）证明：∵∠ABC=∠DBE=90°，∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，即∠ABE=∠CBD，在△ABE和△CBD中，BA=∴△（2）解：AE⊥CD理由如下：∵△∴∠BAE=∵∠NCM+∠NMC=∴∠NMC=∴AE⊥CD．19．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知Rt△ABC满足BC=AC，∠ACB=90°，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y(1)如图①若AD垂直于x轴，垂足为点D．点C坐标是a,0，点B的坐标是0,b，且满足a+1+b−32=0，请直接写出a、(2)如图②，直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，在滑动的过程中，当B的坐标为0,4，点C的坐标为5,0时，求A的坐标；(3)如图③，直角边BC在两坐标轴上滑动，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，若BD=2AE，试说明y轴恰好平分∠ABC．【答案】(1)a=−1，b=3，A(2)A(3)见解析【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，可求出a、b的值，由△ACD≌△CBO，可求出AD、DO的长，得出点A的坐标，（2）过点A作AG⊥x轴于G，由△BOC≌△CGA，可求出AG、GO的长，得出点A的坐标，（3）延长AE、BC交于点F，由△BCD≌△ACF，得出AF=2BD，结合BD=2AE，可证△BEA≌△BEF，即可求解，本题考查了全等三角形的性质和判定，直角坐标系内点的坐标，解题的关键是：作垂直辅助线，找到全等三角形．【详解】（1）解：∵a+1+b−32=0∴a=−1，b=3，∴C−1,0，B∴OC=1，OB=3，∵AD⊥OD，∴∠ADC=∠ACB=∠BOC=90°，∴∠ACD+∠BOC=90°，∠BOC+∠COB=90°，∴∠ACD=∠CBO，在△ACD和△CBO中，∠ADC=∠CBO∴△ACD≌△CBOAAS∴AD=OC=1，CD=OB=3，∴OD=4，∴点A的坐标为−4,1，（2）过点A作AG⊥x轴于G，∵∠ACB=90°，∴∠BCO+∠ACG=90°，∵∠BCO+∠OBC=90°，∴∠OBC=∠ACG，在△BOC和△CGA中，∠OBC=∠GCA∴△BOC≌△CGAASA∴OB=CG，OC=AG，∵B的坐标为0,4，点C的坐标为5,0，∴OG=CG=4，OC=AG=5，∴OG=1，∴点A的坐标为1,−5，（3）延长AE、BC交于点F，∵AE⊥x轴，∴∠EAD+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDC，∴∠EAD+∠BDC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BDC+∠CBD=90°，∴∠DAE=∠CBD，在△BCD和△ACF中，∠ACB=∠ACF∴△BCD≌△ACFASA∴BD=AF，∵BD=2AE，∴AF=2AE，∴AE=EF，在△ABE和△FBE中，AE=EF∴△ABE≌△FBESAS∴∠ABE=∠FBE，故y轴恰好平分∠ABC．【题型4角平分线的性质】

20．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠BCD，若AD=4，则点D到BC的距离是（

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键；过D作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质可得DE=AD=4，即可得解．【详解】解：过D作DE⊥BC于E，∵∠A=90°，∴DA⊥AC，∵∠ACD=∠BCD，DE⊥BC，∴DE=AD=4，∴点D到BC的距离是4，故选：B．21．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，点AB、BC、CA表示三条公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则仓库应建在

A．三边中线的交点上 B．三内角平分线的交点上C．三条边高的交点上 D．三边垂直平分线的交点上【答案】B【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边距离相等成为解题的关键．由它到三条公路的距离相等，即其在三条角平分线的交点上，据此即可解答．【详解】解：A．三角形中线的交点为三角形的重心，到顶点的距离是到对边中点的2倍，不符合题意；B．三角形角平分线的交点为三角形的内心，到各边距离相等，符合题意；C．三角形高的交点为垂心，不符合题意；D．三角形三边垂直平分线的交点到三角形的各顶点距离相等，不符合题意．故选B．22．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本题考查了角的平分线性质，三角形面积公式的应用，过D作DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DF=DE=2，根据S△ADB【详解】解：如图，过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE=2，∴DE=DF=2，∵S△ABC∴S△ADB∴12∴12解得：AC=3．故选：A．23．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC于B，DC⊥BC于C，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90°；②∠ADE=∠AEB；③AD=2DE；④S梯形ABCD=AD·CEA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、直角三角形的性质；过E作EF⊥AD于F，由AAS证明△AEF≌△AEB，得出BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；证出EC=EF=BE，由HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，得出DC=DF，∠FED=∠CED，由平角定义得出∠AED=90°，①正确；由等角的余角相等得出∠ADE=∠AEB，②正确；只有∠ADE=60°时，AD=2DE，③不正确；证出AD=AF+FD=AB+DC，得出S【详解】解：①过E作EF⊥AD于F，如图，∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠C=∠AFE=∠DFE=∠B=90°，在△AEF和△AEB中，∠AFE=∠B∠FAE=∠BAE∴△AEF≌△AEBAAS∴BE=EF，∵点E是BC的中点，∴EC=EF=BE，在Rt△EFD和RtDE=DEEF=EC∴Rt△EFD≌∴DC=DF，∵∠AEB+∠AEF+∠FED+∠CED=180°，∴∠AED=12×180°=90°②∵EF⊥AD，∴∠AEF+∠DEF=∠ADE+∠DEF∴∠AEF=∠ADE，∴∠ADE=∠AEB，②正确；③只有∠ADE=60°时，AD=2DE，∴③不正确；④∵AD=AF+FD=AB+DC，S梯形∴④正确；综上，正确的结论是①②④，共3个，故选：C．24．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠BAC的角平分线交于点O，AB=6cm，BC=9cm，△ABO的面积为9cm2，则A．13.5cm2 B．18cm2 C．24cm2 【答案】A【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥BC于E点，根据角平分线的性质得出OD=OE，根据三角形面积得出S△BOC【详解】解：过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥BC于E点，如图，∵OB平分∠ABC，∴OD=OE，∴S△BOC∵AB=6cm，BC=9cm，△ABO的面积为∴S△BOC故选：A．25．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，已知△ABC的周长是30，BO，CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积为（

）A．30 B．35 C．40 D．45【答案】D【分析】本题考查了角平分线性质，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质得出OE=OD=OF=3，求出△ABC的面积S=S【详解】解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，OD=3，∴OE=OD=3，OF=OD=3，∵△ABC的周长为30，∴AB+BC+AC=30，∴S=====45，故选：D．26．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于点P，PE⊥AC于点E．若S△BPC=7，PE=4，S△ABC=10，则A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【分析】本题考查的是角平分线的性质、连接AP，过点P作PF⊥BC于F，PG⊥AB，交AB的延长线于G，根据角平分线的性质得到PG=PF=PE=4，根据三角形面积公式分别求出BC、AB+AC，再根据三角形周长公式计算即可．【详解】解：如图，连接AP，过点P作PF⊥BC于F，PG⊥AB，交AB的延长线于G，∵∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于点P，PE⊥AC，PF⊥BC于F，PG⊥AB，∴PG=PF=PE=4，∵S△BPC∴1解得：BC=7∵S△ABC∴1∴AB+AC=17∴△ABC的周长=AB+AC+BC=17故选：DD．27．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路l1、l2、l3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】本题考查了角平分线的性质，加油站要到三条公路的距离都相等，可知加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有3个交点，内角平分线的交点有1个，据此即可求解，掌握叫佛系的性质是解题的关键．【详解】解：∵加油站要到三条公路的距离都相等，∴加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有3个交点，内角平分线的交点有1个，∴加油站可供选址的地方有4个，故选：D．【题型5角平分线的判定与性质综合】28．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF(1)求证：BE=FC；(2)若AB=15，AF=9，求FC的长．【答案】(1)详见解析(2)FC=3【分析】（1）证明Rt△DBE≌（2）证明Rt△ACD≌Rt△AED本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，熟练掌握直角三角形的全等判定和性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=DC∵∠DCF=∠DEB=90°，BD=FD，DC=DE，∴Rt△DBE≌∴BE=FC．（2）解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=DC，∵∠ACD=∠AED=90°，AD=AD，DC=DE，∴Rt△ACD≌∴AE=AC，∴AF+FC=AB−BE，∵BE=FC．∴AF+FC=AB−FC，∵AB=15，AF=9，∴FC=AB−AF29．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）（1）【问题】如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，根据教材中一个重要性质直接可得DB=DC，这个性质是________________________；（2）【探究】如图2，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B<90°，求证：DB=DC；（3）【应用】如图3，四边形ABDC中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC，DE⊥AB，若BE=3，求AB−AC的值．【答案】（1）角平分线上的点到角两边的距离相等；（2）见解析；（3）6【分析】（1）根据角平分线的性质即可求解；（2）过点D作DE⊥AB，交AB于E，DF⊥AC，交AC延长线于F，先证明∠B=∠FCD，即可证明△EBD≌△FCDAAS（3）过点D作DF⊥AC，交AC延长线于F，连接AD，证明△EBD≌△FCDAAS，进而证明Rt△ADE≌Rt【详解】（1）角平分线上的点到角两边的距离相等；（2）证明：过点D作DE⊥AB，交AB于E，DF⊥AC，交AC延长线于F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°∵∠B+∠ACD=180°，∠FCD+∠ACD=180°，∴∠B=∠FCD，在△EBD和△FCD中，∠B=∠FCD∴△EBD≌△FCDAAS∴DB=DC，（3）解：过点D作DF⊥AC，交AC延长线于F，连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，∵∠ACD=135°，∴∠FCD=∠B=45°，在△EBD和△FCD中，∠BED=∠CFD∴△EBD≌△FCDAAS∴DE=DF，BE=CF=3，在Rt△ADE和RtAD=AD∴∴AE=AF，∴AB−AC=AE+BE−30．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，△ABC的外角∠CBD，∠BCH的平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AD于点E，PF⊥AC于点F．(1)求证：PE=PF；(2)连接AP，若∠ABC=40°，求∠APC的度数．【答案】(1)见解析(2)20°【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．（1）过P作PG⊥BC于G，根据角平分线性质得出PE=PG，PF=PG，得出答案即可；（2）根据角平分线的判定得出AP平分∠BAC，根据角平分线定义得出∠CAP=12∠BAC，根据三角形外角性质得出∠PCH=∠CAP+∠APC，根据∠BCH=∠BAC+∠ABC【详解】（1）证明：过P作PG⊥BC于G，如图所示：∵PB平分∠CBD，PE⊥BD，∴PE=PG，同理：PF=PG，∴PE=PF；（2）解：∵PE⊥AD，PF⊥AC，PE=PF，∴AP平分∠BAC，∴∠CAP=1∵CP平分∠BCH，∴∠PCH=1∵∠PCH=∠CAP+∠APC，∴12∵∠BCH=∠BAC+∠ABC，∴12∴∠APC=131．（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=4，点G为BC的中点，DG⊥BC交∠BAC的平分线AD于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．(1)求证：BE=CF；(2)求AE的长．【答案】(1)证明见解析；(2)6．【分析】（1）如图所示，连接BD，CD，先利用SAS证明△BGD≌△CGD得到BD=CD，再由角平分线的性质得到DE=DF，即可利用HL证明Rt△DEB≌Rt△DFC（2）证明Rt△ADE≌Rt△ADFHL，得到AF=AE，由（1）得BE=CF，则AE=AF=AC+CF，据此求出本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）证明：如图所示，连接BD，CD，∵G是BC的中点，DG⊥BC，∴BG=CG，∠BGD=∠CGD=90°，又∵DG=DG，∴△BGD≌△CGDSAS∴BD=CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，又∵DB=DC，∴Rt△DEB≌∴BF=CF；（2）解：在Rt△ADE和RtAD=AD∴Rt△ADE≌∴AF=AE，由（1）得BE=CF，∴AE=AF=AC+CF，∴AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，∵AB=8，AC=4，∴BE=2，∴AE=AB−BE=6．过关检测一、单选题1．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查的是全等形的识别，利用全等图形的概念“两个图形能够完全重合，就是全等图形”是解答本题的关键．本题观察四个选项，根据“两个图形能够完全重合，就是全等图形”的定理即可得到答案．【详解】解：A选项两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；B选项两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；C选项两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；D选项两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；故选：A2．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图所示的两个三角形全等，则x的值是（

）A．45 B．40 C．35 D．25【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，理解全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质可得∠A=∠D=85°，由三角形内角和定理即可求解．【详解】解：如图所示，∠B=∠E=60°,AB=DE=2，∵两个三角形全等，∴∠A=∠D=85°，∵∠D+∠E+x°=180°，∴x°=180°−60°−85°=35°，∴x=35，故选：C．3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线OC，这一做法用到三角形全等的判定定方法是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】A【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据作图过程得出CM=CN，利用三边相等证明△OCM≌△OCN即可得答案．【详解】解：∵角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，∴CM=CN，在△OCM和△OCN中，OM=ONCM=CN∴△OCM≌△OCN，∴∠AOC=∠BON，∴这一做法用到三角形全等的判定定方法是SSS．故选：A．4．（24-25八年级上·山东临沂·期中）一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（

）A．1<x<6 B．1<x<7 C．2<x<12 D．x>5【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中线、三角形的三边关系等知识，构造全等三角形是解题的关键．如图所示，AB=5，AC=7，AD是BC边上的中线，设AD=x，延长AD至E，使AD=DE，则AE=AD+DE=2x，证明△BDE≌△CDASAS，则BE=AC=7，根据三角形的三边关系得到7−5<2x<7+5，即可得到x【详解】解：如图所示：AB=5，AC=7，AD是BC边上的中线，则AD=x，

延长AD至E，使AD=DE，则AE=AD+DE=2x，在△BDE与△CDA中，∵AD=DE，∴△BDE≌△CDASAS∴BE=AC=7，在△ABE中，BE−AB<AE<AB+BE，即7−5<2x<7+5，∴1<x<6．故选：A．5．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，在△ABC中，CP平分∠ACB，AP⊥CP于点P，已知△ABC的面积为5，则阴影部分的面积为（）A．3.5 B．3 C．2.5 D．2【答案】C【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．延长AP交BC于D，证明△ACP≌△DCP，利用三角形的中线的性质即可得解．【详解】解：延长AP交BC于D，∵CP平分∠ACB，∴∠ACP=∠DCP，∵AP⊥CP，∴∠APC=∠DPC=90°，在△ACP与△DCP中，∠ACP=∠DCPCP=CP∴△ACP≌△DCPASA∴AP=DP，∴S△ABP=1∴阴影部分的面积=1故选：C．6．（24-25八年级上·重庆云阳·期中）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若AB=4，BC=5，S△ABC=9，则DE的长为（A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质得到DE=DF是解题的关键．过点D作DF⊥AB于点F，由角平分线的性质可得DE=DF，根据三角形的面积计算方法S△ABC【详解】解：如图所示，过点D作DF⊥AB于点F，∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥BC,DF⊥AB，∴DE=DF，∵S△ABC∴DE=18故选：A．二、填空题7．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=8cm，CF=5cm，则BD=【答案】3【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，由“AAS”可证△ADE≌△CFE，可得CF=AD=5cm【详解】解：∵AB∥CF，∴∠A=∠ACF，∠F=∠ADE，∵E为DF的中点，∴DE=EF，在△ADE和△CFE中，∠A=∠ECF∠ADE=∠F∴△ADE≌△CFE(AAS)∴CF=AD=5(cm)∴BD=AB−AD=8−5=3(cm)故答案为：3．8．（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个△MBN，已知∠MBN=90°，MB=NB，M(3,0)，N(1,−4)，则点B的坐标为．【答案】0,−1【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形．过点N作NA⊥y轴于点A，证明△BOM≌△NAB，根据全等三角形的性质，即可求解．【详解】解：如图所示，过点N作NA⊥y轴于点A，

∵∠MBN=90°，NA⊥y轴，∴∠OBM=90−∠ABM=∠ANB，又∠BOM=∠NAB，MB=NB，∴△BOM≌△NABAAS∵M3,0，N∴AB=OM=3,AN=OB=1，∴B点的坐标为0,−1．故答案为：0,−1．9．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，DC=5，则点D到AB的距离为．【答案】5【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．过点D作DE⊥AB于E，结合题目中的条件∠C=90°，BD平分∠ABC，利用角平分线的性质定理可得DE=DC，再根据距离的定义即可解答．【详解