高三数学《空间向量》复习课件

1、高三数学空间向量复习课件 空间向量复习空间向量复习 高三数学空间向量复习课件 例例3、如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质、如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质 量为量为500kg,在它的顶点处分别受力在它的顶点处分别受力F1，F2，F3， 每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都 是是60，且，且|F1|=|F2|=|F3|=200kg.这块钢板在这这块钢板在这 些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多 少时，才能提起这块钢板？少时，才能提起这块钢板？ o A B C F1 F2 F3 500kg 高三数学空

2、间向量复习课件 例例4，如图，在四棱锥，如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD 是正方形，侧棱是正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC， E是是PC的中点，作的中点，作EF PB交交PB于点于点F。 （1）求证：）求证：PA平面平面EDB； （2）求证：）求证：PB 平面平面EFD； （3）求二面角）求二面角C-PB-D的大小。的大小。 D A B C E P F 高三数学空间向量复习课件 a b OA B b a 结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。同一平面内的两条有向线段表示。 因

3、此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。关结论仍适用于它们。 3.1.13.1.1空间向量的运算空间向量的运算 高三数学空间向量复习课件 平面向量 概念 加法 减法 数乘 运算 运 算 律 定义 表示法 相等向量 减法:三角形法则 加法:三角形法则或 平行四边形法则 空间向量 具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零 bkakbak )( )()(cbacba abba 加法交换律 加法结合律 数乘分配律 abba 加法交换律 bkakbak )( 数乘分配律 )()(cbacba 加法结合律 类比思想 数形

4、结合思想 数乘:ka,k为正数,负数,零 高三数学空间向量复习课件 推广: （1 1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；向量的起点指向末尾向量的终点的向量； nnn AAAAAAAAAA 11433221 （2 2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。形，则它们的和为零向量。 0 1433221 AAAAAAAA n 高三数学空间向量复习课件 AB CD A1B1 C1D1 G M 始点相同的三个始点相同的三个 不共面向量之和，等不共面向量之和，等 于以这三个向

5、量为棱于以这三个向量为棱 的平行六面体的以公的平行六面体的以公 共始点为始点的对角共始点为始点的对角 线所示向量线所示向量 高三数学空间向量复习课件 一、共线向量一、共线向量: : 零向量与任意向量共线零向量与任意向量共线. . 1.1.共线向量共线向量: :空间两向量互相平行空间两向量互相平行 或重合或重合, ,则这些向量叫做共线向量则这些向量叫做共线向量( (或平行向或平行向 量量),),记作记作 ba/ 2. 2.共线向量定理共线向量定理: :对空间任意两个对空间任意两个 向量向量 的充要条件是存在实的充要条件是存在实 数数使使 baobba/),(, ba 3.1.2共线向量定理与共面

6、向量定理共线向量定理与共面向量定理 高三数学空间向量复习课件 推论推论: :如果如果 为经过已知点为经过已知点A A且平行且平行 已知非零向量已知非零向量 的直线的直线, ,那么对任一点那么对任一点O,O, 点点P P在直线在直线 上的充要条件是存在实数上的充要条件是存在实数t,t, 满足等式满足等式OP=OA+t OP=OA+t 其中向量其中向量a叫做直线的叫做直线的 方向向量方向向量. . l l a a O A B P a 若若P P为为A,BA,B中点中点, , 则则 1 2 OPOAOB 假如假如OP=OA+tABOP=OA+tAB，则点，则点P P、A A、B B三点共线。三点共线

7、。 可用于证明点共线可用于证明点共线 高三数学空间向量复习课件 二二. .共面向量共面向量: : 1.1.共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, , 叫做共面向量叫做共面向量. . OA a a 注意：空间任意两个向量是共面的，但空间注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量就不一定共面的了。任意三个向量就不一定共面的了。 高三数学空间向量复习课件 2.2.共面向量定理共面向量定理: :如果两个向量如果两个向量 不共线不共线, ,则向量则向量 与向量与向量 共面的充要共面的充要 条件是存在实数对条件是存在实数对 使使 , a b yx, Pxayb p ,

8、a b O Ma b A B A P p 注：可用于证明三个向量共面注：可用于证明三个向量共面 高三数学空间向量复习课件 推论推论: :空间一点空间一点P P位于平面位于平面MABMAB内的充内的充 要条件是存在有序实数对要条件是存在有序实数对x,yx,y使使 或对空间任一点或对空间任一点O,O,有有 MPxMAyMB OPOMxMAyMB 注意：注意： 证明空间四点证明空间四点P、M、A、B共面的两个依据共面的两个依据 存存在在唯唯一一实数对 实数对 ,xyMPxMAyMB （） 使得 (1)OPxOMyOAzOBxyz 其其中中， 高三数学空间向量复习课件 1 1、已知、已知a=(2,4,

9、5),b=(3,x,y),a=(2,4,5),b=(3,x,y),若若ab,ab, 求求x,yx,y的值。的值。 2 2、证明：三向量、证明：三向量a=ea=e1 1+e+e2 2,b=3e,b=3e1 1-2e-2e2 2,c=2e,c=2e1 1+3e+3e2 2 共面；若共面；若a=mb+nca=mb+nc，试求实数，试求实数m m、n n之值。之值。 高三数学空间向量复习课件 1 1） 两个向量的夹角两个向量的夹角 abba ba , ,0 被唯一确定了，并且 量的夹角就在这个规定下，两个向范围： bababa互相垂直，并记作：与则称如果, 2 , O O A A B B a a b

10、b 3.1.33.1.3空间向量的数量积空间向量的数量积 向量向量a a与与b b的夹角记作：的夹角记作： 高三数学空间向量复习课件 2 2）两个向量的数量积）两个向量的数量积 注意：注意： 两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量. 零向量与任意向量的数量积等于零。零向量与任意向量的数量积等于零。 cos,a ba ba b 高三数学空间向量复习课件 3 3）射影）射影 eaeaABBA e lABBABlBAl AllelaAB ,cos , 11 1111 射影。方向上的正射影，简称或在 上的在轴叫做向量，则上的射影在作点上的射影 在点同方向的单位向量。作上与

11、是，和轴已知向量 B A l e A1 B1 注意：是轴注意：是轴l l上的正射影上的正射影,A,A1 1B B1 1是一个可正可负的实数，是一个可正可负的实数， 它的符号代表向量与它的符号代表向量与l l的方向的相对关系，大小代的方向的相对关系，大小代 表在表在l l上射影的长度。上射影的长度。 AB AB 高三数学空间向量复习课件 4)4)空间向量的数量积性质空间向量的数量积性质 aaa baba eaaea 2 ) 3 0)2 ,cos) 1 注意：注意： 性质性质2 2）是证明两向量垂直的依据；）是证明两向量垂直的依据； 性质性质3 3）是求向量的长度（模）的依据；）是求向量的长度（模

12、）的依据； 对于非零向量对于非零向量 ，有：，有： ,ab 高三数学空间向量复习课件 5)5)空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律 注意：注意： 分配律） 交换律） ()(3 ()2 )()() 1 cabacba abba baba 数量积不满足结合律数量积不满足结合律 )()cbacba（ 高三数学空间向量复习课件 1 1、应用、应用 可证明两直线垂直，可证明两直线垂直， 2 2、利用、利用 可求线段的长度。可求线段的长度。 0baba 2 2 aa 向量数量积的应用向量数量积的应用 高三数学空间向量复习课件 3.1.43.1.4空间向量正交分解及其坐标表示空间向量正交

13、分解及其坐标表示 空间向量基本定理：如果三个向量空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量不共面，那么对空间任一向量p,存在有序存在有序 实数组实数组x,y,z,使得使得p=xa+yb+zc. 空间所有向量的集合空间所有向量的集合p|p=xa+yb+zc,x,y,zR a,b,c叫做空间的一个基底，叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量。都叫做基向量。 高三数学空间向量复习课件 二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个，则这个 基底

14、叫做单位正交基底，常用基底叫做单位正交基底，常用 i , j , k 表表 示。示。 则空间中任意一个向量则空间中任意一个向量p可表示为可表示为 p=xi+yj+zk (x,y,z)就是向量就是向量p的坐标。的坐标。 高三数学空间向量复习课件 3.1.5 向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算 则设),(),( 321321 bbbbaaaa ;ab ;ab ;a ;a b /; . ab ;ab 112233 (,)ab ab ab 112233 (,)ab ab ab 123 (,),()aaaR 1 12233 a ba ba b 112233 ,()ab ab abR 112222 /a

15、babab 1 12233 0a ba ba b 高三数学空间向量复习课件 二、距离与夹角二、距离与夹角 2222 123 | aa aaaa 2222 123 | bb bbbb 1.1.距离公式距离公式 （1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式 注意：此公式的几何意义是表示长方体的对注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。角线的长度。 高三数学空间向量复习课件 | AB ABAB AB 212121 (,)xxyyzz 222 212121 ()()()xxyyzz 222 ,212121 ()()() A B dxxyyzz 在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐

16、标系中，已知、 ，则，则 111 (,)A xyz 222 (,)B xyz （2 2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式 终点坐标减终点坐标减 起点坐标起点坐标 高三数学空间向量复习课件 cos, | | a b a b ab 1 1223 3 222222 123123 ; a ba ba b aaabbb 2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式 注意：注意： （1）当）当 时，同向；时，同向； （2）当）当 时，反向；时，反向； （3）当）当 时，。时，。 cos,1 a b 与 ab cos,1 a b 与 ab cos,0 a b ab 思考：当思考：当 及及 时，的夹角在

17、什么范围内？时，的夹角在什么范围内？ 1cos,0 a b,10cos a b 高三数学空间向量复习课件 立体几何中的向立体几何中的向 量方法量方法 高三数学空间向量复习课件 1 1、用空间向量解决立体几何问题的、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间）建立立体图形与空间向量的联系，用空间 向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几 何问题转化为向量问题；何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问

18、题；位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。 （化为向量问题）（化为向量问题） （进行向量运算）（进行向量运算） （回到图形问题）（回到图形问题） 高三数学空间向量复习课件 l a 二、怎样求平面法向量？二、怎样求平面法向量？ 高三数学空间向量复习课件 1 1、已知正方体、已知正方体ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为2 2，E E、F F 分别是分别是BB1BB1、DD1DD1的中点，求证：的中点，求证： （1 1）FC1/FC1/平面平面ADEADE （2 2）平面）平面

19、ADE/ADE/平面平面B1C1FB1C1F 证明：如图证明：如图1 1所示建立空间直角所示建立空间直角 坐标系坐标系D-D-xyzxyz，则有，则有D D（0 0，0 0，0 0）、）、 A A（2 2，0 0，0 0）、）、C C（0 0，2 2，0 0）、）、 C1C1（0 0，2 2，2 2）、）、E E（2 2，2 2，1 1）、）、 F F（0 0，0 0，1 1），所以），所以 ) 1 , 2 , 0( 1 FC)0 , 0 , 2(DA ) 1 , 2 , 0(AE 设设 ， 分别是分别是 平面平面ADEADE、平面、平面B1C1FB1C1F的法向量，则，的法向量，则， ， )

20、,( 1111 zyxn ),( 2222 zyxn nDAn AE 高三数学空间向量复习课件 2、已知向量 则 上的单位向量为： 2 , 2, 1 aa 3 2 , 3 2 , 3 1 3 2 , 3 2 , 3 1 或 同理可求 ) 2, 1 , 0( 2 n 0) 1 , 2 , 0()2, 1 , 0(n 11 FC 11 nFC / 1 FC 21 /nn （1） ，又FC1平面ADE， 平面ADE 平面ADE/平面B1C1F （2 2） yz x zyAE xDA 2 0 02n 02n 1 1 取取y=1y=1，则，则 )2, 1 , 0( 1 n 高三数学空间向量复习课件 设直

21、线设直线l,m的方向向量分别为的方向向量分别为a,b，平面，平面， 的法向量分别为的法向量分别为u,v,则则 线线平行：线线平行：lm a b a=kb; 线面平行：线面平行：l au au=0; 面面平行：面面平行： u v u=kv. 线线垂直：线线垂直：l m a b ab=0; 面面垂直：面面垂直： u v uv=0. 线面垂直：线面垂直：l a u a=ku; 三、有关结论三、有关结论 高三数学空间向量复习课件 异面直线所成角的范围： 0, 2 A B CD 1 D 结论：结论： cos cos,CD AB | 题型一：线线角题型一：线线角 3.2.3利用空间向量求空间角利用空间向量

22、求空间角 高三数学空间向量复习课件 题型二：线面角题型二：线面角 直线与平面所成角的范围：直线与平面所成角的范围： 0, 2 A B O n 题型二：线面角题型二：线面角 直线直线AB与平面与平面所成所成 的角的角可看成是向量与可看成是向量与 平面平面的法向量所成的的法向量所成的 锐角的余角，所以有锐角的余角，所以有 nAB nAB nAB ,cossin 高三数学空间向量复习课件 题型三：二面角题型三：二面角 二面角的范围： 0, 1 n 2 n 2 n 1 n cos 12 |cos,|n n cos 12 |cos,|n n A BO 关键：观察二面角的范围关键：观察二面角的范围 高三数

23、学空间向量复习课件 B A M N n a b 一、求异面直线的距离一、求异面直线的距离 n nAB nABABd ,cos 方法指导方法指导: :作直线作直线a、b的的 方向向量方向向量a、b，求，求a、b的法的法 向量向量n，即此异面直线，即此异面直线a、b 的公垂线的方向向量；的公垂线的方向向量； 在直线在直线a、b上各取一点上各取一点 A、B，作向量，作向量AB； 求向量求向量AB在在n上的射影上的射影 d，则异面直线，则异面直线a、b间的距间的距 离为离为 方法指导方法指导: :作直线作直线a、b的的 方向向量方向向量a、b，求，求a、b的法的法 向量向量n，即此异面直线，即此异面直

24、线a、b 的公垂线的方向向量；的公垂线的方向向量； 在直线在直线a、b上各取一点上各取一点 A、B，作向量，作向量AB； 求向量求向量AB在在n上的射影上的射影 d，则异面直线，则异面直线a、b间的距间的距 离为离为 3.2.4 高三数学空间向量复习课件 | | | | | sin| | n PAn PAn PAn PA PA POd 如图点如图点P为平面外一点，点为平面外一点，点A为平面内的任为平面内的任 一点，平面的法向量为一点，平面的法向量为n,过点过点P作平面作平面 的垂的垂 线线PO，记，记PA和平面和平面 所成的角为所成的角为 ，则点，则点P 到平面的距离到平面的距离 n A P

25、O 二、求点到平面的距离二、求点到平面的距离 高三数学空间向量复习课件 例例4、已知正方形、已知正方形ABCD的边长为的边长为4，CG平面平面ABCDABCD， CG=2,ECG=2,E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的中点，求直线的中点，求直线BDBD到平面到平面 GEFGEF的距离。的距离。 D AB C G F E x y z n nPA d 三、求直线与平面间距离三、求直线与平面间距离 高三数学空间向量复习课件 例例5、在边长为、在边长为1的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，M、N、 E、F分别是棱分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求平的中点，求

26、平 面面AMN与平面与平面EFDB的距离。的距离。 AB C D A1 B1 C1 D1 M N E F x y z n nPA d 四、求平行平面与平面间距离四、求平行平面与平面间距离 高三数学空间向量复习课件 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法坐标法坐标法 问题问题1：已知：已知：ABC为正三角形，为正三角形，EC平面平面ABC, 且且EC,DB在平面在平面ABC同侧，同侧，CE=CA=2BD.求证：求证： 平面平面ADE平面平面ACE. 怎样建立适当的空间直角坐标系？怎样建立适当的空间直角坐标系？ 怎样证明平面怎样证明平面ADE平面平面ACE？ 如何求平面如何求平面ADE、平面平面ACE的法向量？的法向量？ 一个平面的法向量有多少个？一个平