2020高考数学考点突破——三角函数与解三角形：任意角、弧度制及任意角的三角函数Word版含解析

1、任意角、弧度制及任意角的三角函数【考点梳理】1. 角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点丛一个位置旋转到另一个位置 所成的图形.(2)分类丿按旋转方向不同分为正角、负角、零角 按终边位置不同分为象限個轴线角终边相同的角：所有与角 a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集 合 S= a+ k360, k Z.2. 弧度制的定义和公式定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角度与弧度的换算:a.0 n1 二面rad;b.1 rad=冗 弧长公式：1 = r| o|.1 1 2 扇形面积公式：S= 2lr = 久有向线段MP为正有向线

2、段AT为正切线弦线余弦线【考点突破】考点一、角的有关概念【例1】(1)若a是第二象限角，则3一定不是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角已知角a= 45在区间一 720 0内与角a有相同终边的角答案 C (2) 675 或315 解析(1) *2+ 2k n a n+ 2k n k,6+ 3 兀33 + 3 兀,k.若 k= 3n(n), 3是第一象限角；若k= 3n+ 1(n), 3是第二象限角；若k= 3n+ 2(n),彳是第四 象限角.故选C.(2)由终边相同的角的关系知 A k360+ 45 k，二取k= 2, 1,得片 675或匸315.【类题通法】1 与角a终边相同

3、的角可以表示为2kn+o(k)的形式，a是任意角；相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等；角度制与弧度制不能混用.aa2 .由a所在象限，判定所在象限，应先确定2的范围，并对整数k的奇、偶 情况进行讨论.【对点训练】1. 若角a是第二象限角，则扌是()A .第一象限角C.第一或第三象限角答案CB .第二象限角D.第二或第四象限角nnan解析ta是第二象限角，空+ 2k nVaVn+ 2kn, k ,4+ k n2+ kn,k.当k为偶数时，2是第一象限角；当k为奇数时，2是第三象限角综上，2是第一或第三象限角.2. 与2 019的终边相同，且在0360内的角是.答案219解析2 019

4、= 219 + 5X 360，二在0 360 内终边与 2 019 的终 边相同的角是219 .n3，R= 10 cm，考点二、扇形的弧长、面积公式【例2】已知一扇形的圆心角为a，半径为R，弧长为I.若求扇形的面积.解析由已知得G121-S 扇形2 a R 2 3na= 3， R 10，n 250 n 2q 10 -(cm ).【变式1】若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积31-2n 10 n 解析I aR 3X0- (cm)，1 _ -S弓形S扇形一 S三角形2 l R2 R sin1 10n 123- 10 102 2 310 2 10 250 n 75 ； 32=(cm).【

5、变式2】若本例条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角a为多 少弧度时，这个扇形的面积最大？解析由已知得，l + 2R 20.所以 S 1lR 1(20 2R)R 10R R2 (R 5)2 + 25，所以当R 5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时I 10 cm, a 2 rad.【类题通法】应用弧度制解决问题的方法:(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度;求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法 使问题得到解决；在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形【对点训练】nni 已知扇形的圆心角为6,面积为3,则

6、扇形的弧长等于.答案31 _n- nr_6，I _ 3，解析设扇形半径为r，弧长为I，则彳解得 32|r_ 3，、r _ 2.2若一扇形的圆心角为72,半径为20 cm，则扇形的面积为()2 2 2 2A . 40 n cmB . 80 n cmC. 40 cmD . 80 cm答案B2 n1212 n 22解析172 _5，/S 扇形 _ 2况 _ 25 x 20 _ 80 n (cm).3. 已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？解析设圆心角是9,半径是r，则2r + r _ 40.1 2 1 2又 S_2 92_2(40 2r)_ r(20-r)_ (r-

7、10)2 + 100E00.当且仅当 r _ 10 时，Smax_ 100,此时 2X10+ 10 9_ 40, 9_ 2.所以当r_ 10, 9_2时，扇形的面积最大.考点三、三角函数的定义【例3】已知角a的终边上一点P(.3, m)(m0),且sin a_ 匀,求cos a,4tan a的值.解析由题设知x_ .3, y_ m, r2二 OPf= ( - .3)2 + m2(O 为原点)，r= .3+ ml sin o=半=命，二 r =73+ m = 2即 3+ m2= 8，解得 m= . 5.当 m= 5时，r = 2 2，x= 3， y= 5, V3 V6x= ,3，y= ,5,V1

8、5tan a= 3 .-COS = 2 2 = 4，当 m= ,5时，r = 2 2,-V3V6 I COS a= 2 2 = 4 ,【类题通法】用定义法求三角函数值的三种情况.(1)已知角a终边上一点P的坐标，则可先求出点 P到原点的距离r，然后用 三角函数的定义求解；已知角a的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题.若角a终边上的点的坐标中含参数，要讨论参数的各种情况，以确定角a终边所在的象限，进一步正确得出各个三角函数值此时注意不要漏解或多解.【对点训练】已知角B的终边过点P(- 12，5),则COS =.12答案-后解析角 B 的终边过点 P(- 12, 5),二 x= 12, y= 5, r = 13, a cos 9= x=12r= 13.【例4】若sin aan o0,且严弋0,则角a是()tan aA第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角答案C解析由sin aan a 0可知sin a, tan a异号，贝U a为第二或第三象限角.由QC otn V 0可知cos a, tan a异号，则a为第三或第四象限角.综上可知，a为第三 tan a象限角.【类题通法】根据三角函数定义中X