HPM视角下相似三角形的应用教学设计

1、HPM视角下“相似三角形的应用”教学设计10111510203 关嘉欣“图形的相似”是初中数学的内容之一，相似三角形的判定、性质和应用是其中最重要 的内容从历史上看，相似三角形很早就已经被人们所认识在古巴比伦泥版文献中已经出现相似三角形的应用问题；公元前6世纪，古希腊萨摩斯岛上的工程师欧帕里诺斯在设计隧道 挖掘工程时可能已经运用了相似三角形的性质；泰勒斯、公元1世纪的海伦在有关著作中都曾利用相似三角形的性质来解决有关测量问题我国汉代的远距离测量技术也正是建立在相似三角形性质之上的而在我们实际教学中， 如果能把古人们关于相似三角形的运用融入到教学课堂中，就既可以让学生领悟到数学在生活中的应用，也

2、能在课堂内容更加丰富， 从而增强学生对相似三角形的应用的认识以下是相似三角形的应用的教学设计 一、设置情景，提出问题1、先带领着学生回忆一下相似三角形的判定定理、性质定理然后向他们提出了一个问题：同学们，我们都知道这些定理都不可能无端产生那么古代的科学家们为什么要研究相似三角形的判定定理和性质定理呢？难道是因为闲来无事凭空猜想吗？下面，我们一起来重温一下相似三角形的历史发展历程，看看同学们能不能从中找到问题的答案2、向同学们展示公元 1世纪以前有关相似三角形的史料时间作者或著作工作相似三角形的性质前2000年巴比伦祭司分割直角三角形面积之比等于对应边平方比前6世纪泰勒斯测量金字塔高度及轮船与海

3、岸距离对应边成比例前6世纪毕达哥拉斯证明勾股定理面积之比等于对应边平方比前6世纪欧帕里诺斯开掘直线穿山隧道对应角相等前3世纪欧几里得光学测量塔高对应边成比例前2世纪周髀算经测量太阳直径对应边成比例公元1世纪九章算术远距离测量对应边成比例公元1世纪海伦远距离测量对应边成比例表格1公元1世纪以前有关相似三角形的史料3、向同学们提问：同学们，从这张表格你们发现在古代相似三角形的性质都被用来干 什么呢？（测量）那么，数学家们又是怎样利用相似三角形的性质用于测量的呢？现在,让我们走进古人的心灵之中，当一个小小测量工程师，灵活地运用相似三角形的性质来测量 出所需要的长度或高度吧！、小试牛刀，解决问题让同学

4、们把自己想象成唐代的测量工程师，并被唐僧聘请，跟随师徒四人一起到西方取西经而任务就是要协助四人完成一路上的勘测问题第一关测量火焰山有一天师徒四人经过火焰山，他们不知道山有多高，只知道它的影长为11.3米然后孙悟空拿出金刚棒立于地面， 使其影子的末端与塔影的末端重合 已知金刚棒长为0.8米，其影 长为0.2米而你的任务就是要根据上述条件算出火焰山的高度弓I导学生利用 小根据对应边成比例即可算出线段的长度这个例子是根据古希腊哲学家泰勒斯测量金字塔高度的传说以及欧几里得光学中测量物体高度问题改编而成，并融入神话故事，调动同学们的兴趣而这道题目的原型为杭州西湖北岸宝石山上的保叔塔.讲完这个例子后，跟同

5、学们介绍以下泰勒斯测量金字塔高度的故事，让同学们明白到早在两千五百多年前相似三角形就已经被古人们所用了、层层递进，巩固知识经过第一题的简单尝试，不少同学都有了兴趣想蠢蠢欲试，借势给出第二道题目.第二关隔河测距有一天晚上，师徒四人住在河的左岸的帐篷里，而孙悟空用火眼金睛发现了河的右岸住了一只妖精孙悟空想让你测量出帐篷到妖精的房子的距离假定帐篷处为点，妖精家为点，孙悟空在的延长线上取了一点F；i,作 的垂线 和 ，点 位于慎坷上然后他测得|米，比 ;米，牡=三米.剩下的任务就交给你了 .引导学生设边为，并利用U，根据对应边成比例 列出方程解出 即可算出线段 的长度。这个问题是根据海伦曲氏阴h制中的

6、间接测量问题改编而成的.引导学生解决两个量未知 这种情形的相似三角形应用问题第三关挑战盘丝洞师徒四人在路经盘丝洞时， 唐僧意外被蜘蛛精给抓走了 孙悟空带领着你走进了盘丝洞,要你为他算出盘丝洞的面积 已知盘丝洞地形为正方形，有两扇门西门和北门各开在西、北面围墙的正中间在北门的正北方30米处有一棵大树.当你从西门出来，朝正西方走750米,恰好看到盘丝洞北面的大树，那么你是否能根据上述条件顺利完成任务呢？有邑方不知大小，各开中门引导学生设正方形边长一半 为，并利用-匚匸丄心，根据 对应边成比例列出方程解出乘以2后平方即可算出盘丝洞的面 积。的“邑方”问题改编而成的，原题为：“今出北门三十步有木出西门

7、七百五十步见木问：邑方几何.这个问题比前两个问题要难而且在计算过程中，问一下同学是不是涉及到了开方求解了而这与测量术的发达有着密而让同学们感悟到在汉代，数学家们已经可以处理开方问题了 切的联系四、分组讨论、合作探究先问同学们一个问题：还记得直角三角形的勾股定理吗？然后给出图1，问同学们两直角边上的正方形面积之和与斜边上的正方形面积有什么关系？如果现在是在直角三角形三边上任作两两相似的三个三角形，如图2所示，关于这三个三角形的面积，你能得到什么结论？结成4人小组，讨论一下，并给出你们的证明图1这个问题要用到相似三角形的另一个性质：面积之比为相似比的平方。 故有：AH1AC2加饰AC2HC1 +

8、AH2由此可得：AC2 |结合勾股定理：眈+肋2=AC2，故得： 尬仞+ Lahf - 血占五、课后作业请同学们在课外查阅相关资料，研究公元前6世纪古希腊的一个隧道工程问题，并于下次课上交流各自的方案附：隧道工程问题资料古希腊历史学家希罗多德Go j：二，前5世纪）描述了毕达哥拉斯的故乡、萨菲斯岛上的一条约建于公元前530年、用于从爱琴海引水的穿山隧道，设计者为工程师欧帕里诺斯（卜飞亍卫匕尬:事）这个隧道后来被人遗忘直到19世纪末，它才被考古工作者重新发现.20世纪70年代，考古工作者对隧道进行了全面的发掘隧道全长1036米，宽1.8米，高1.8米.两个工程队从山的南北两侧同时往里挖掘，最后在山底某处会合考古发现，会合处误差极小.当时人们挖