【教案】5.4.3正切函数的性质与图象 教学设计-高中数学人教版（2019）必修一

1、单元教学设计：543正切函数的性质与图象一、内容和内容解析1内容正切函数的性质与图象2内容解析本节是在学生学习了正弦函数、余弦函数图象及基本性质的基础上对又一个具体三角函数的学习，其研究方法与前面研究正弦函数、余弦函数图象与性质的方法类似本节内容要求学生对所学知识能融会贯通和运用，以及对学习函数规律进行总结和探索本节的主要内容是由正弦函数、余弦函数的图象与性质学习的经验，通过运用数形结合的思想方法和类比思想，对正切函数的图象与性质进行研究，并应用函数性质解决问题因此注意对学生研究函数方法的启发，本节的学习有着极其重要的地位发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养基于以上分析，本

2、单元的教学重点：正切函数的图象与性质二、目标和目标解析1目标（1）理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性并能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题；（2）会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象，借助图象理解正切函数在上的性质；（3）通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法2目标解析达成上述目标的标志是：（1）通过类比如何用正弦和余弦的三角函数线得出它们的函数图象，进而知道如何在单位圆中表示角的正切（2）通过探究正切函数性质的过程，提升学生的逻辑推理素养（3）经历绘制正切函数的图象的过程，学会通过图象提炼相关的性质的方法，提升学生的直观想象素养三、教

3、学问题诊断分析通过前面的学习，学生对研究三角函数的性质有了一定的经验积累，教学过程中一开始设置“思考”，用两个问题引导学生对函数性质的研究经验进行概括总结，并尝试用不同的方法进行创造性的实践归纳起来可以有两种思路：一是先根据三角函数的定义，借助单位圆直接画出函数的图象，再利用图象直观研究函数的性质；二是以定义为出发点，先研究函数的部分性质，再结合定义和这些性质研究函数的图象，然后借助图象的观察进一步获得函数的其他性质，了解这些思路可以更有效地研究函数的图象与性质，全面深入地理解数形结合的思想由于一个角的正切值是这个角的终边与单位圆交点的坐标比值，难以直接利用正切值的几何意义对正切函数进行几何作

4、图，对正切函数图象与正切定义之间的内在联系在理解上有一定的难度为突破这一难点，采取了第二种思路根据以上分析，确定本节课的教学难点：能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题四、教学过程设计543正切函数的性质与图象 (一) 复习回顾问题1：角的正切是如何定义的？在单位圆中该如何来表示？设是一个任意角, ，它的终边与单位圆相交于点把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即 （二）问题探究问题2：(1)根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？师生活动：正弦函数、余弦函数是一类基本初等函数，作为函数的下位知识，对于它们的研究

5、基本遵从函数图象与性质的研究思路：绘制函数图象观察函数图象发现函数性质证明函数性质有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象思路如下：证明函数性质函数部分图象函数整体图象观察函数图象发现函数性质证明函数性质1周期性由诱导公式，且，可知，正切函数是周期函数，周期是2奇偶性由诱导公式，且，可知，正切函数是奇函数设计意图：通过对函数学习的回顾，提出研究正切函数图象与性质的方法，从“数”的角度先得到简单结论，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养问题3：你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？可以先考察函数，的图象

6、与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展问题4：能否模仿利用正弦线和余弦线得到正弦函数和余弦函数图象的方法，画出函数，的图象？师生活动：设，在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点过点B作轴的垂线，垂足为M；过点作轴的垂线与角的终边交于点T，则由此可见，当时，线段AT的长度就是相应角的正切值我们可以利用线段AT画出函数，的图象，如图2所示 图1 图2观察图2可知，当时，随着的增大，线段AT的长度也在增大，而且当趋向于时，AT的长度趋向于无穷大相应地，函数，的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线问题5：你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？根据正切函数是奇函

7、数，只要画，的图象关于原点的对称图形，就可得到，的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数,的图象向左、右平移，每次平移个单位，就可得到正切函数，的图象，我们把它叫做正切曲线函数图象如下：追问：正切函数的图象有怎样的特征？从图可以看出，正切曲线是被与轴平行的一系列直线，所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的设计意图：通过对正切函数图像的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养（三）概念深化问题6：请同学们结合学习正弦函数、余弦函数图象的方法，研究正切函数的图象，我们能从中得到正切函数的哪些性质？3单调性观察正切曲线可知，正切函数在区间上单调递增由

8、正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间，上都单调递增（但是不能说在整个定义域上是增函数）4值域当时，在内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值因此，正切函数的值域是实数集设计意图：通过对正切函数图像与性质的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，使学生理解正切函数的性质，突破难点发展学生直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养（四）例题精析例1求函数的定义域、周期及单调区间分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论解：自变量的取值应满足，即，所以，函数的定义域是设，又，所以，即因为，都有，所以，函数的周期为2由，解得，因此，函数在区间，上单调递增例2(教材第213页练习第5

9、题)不通过求值，比较下列各组中两个正切值的大小：（1）与； （2）与解：（1）因为在上单调递增，且，所以（2），因为，且函数在区间在上单调递增，所以，即例3写出使下列等式成立的的集合：（1）；（2）分析：对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解.画图象求界点求范围定义域画出在上的正切函数图象求在上使成立的值求在上使成立的范围根据正切函数的周期性，写出不等式成立的范围解：（1）由得如右图所示，在内，满足上述不等式的取值范围是又的周期为，所以不等式成立的的取值范围为（2）由得如右图所示，在内，满足上述不等式的取值范围是又的周期为，所以不等式成立的的取值范围为设计意图：通过对典型问题的分析解决，提高学生对函数性质的理解。发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养（五）概念的巩固应用练习1：求函数的定义域、周期和单调区间解：要使函数有意义，自变量应满足，kZ，即，kZ所以，函数定义域为设，又，所以，即因为，都有，所以，函数的周期为由，得，kZ因此，函数在区间，上单调递增练习2：不通过求值，比较下列各组中两个正切值的大小：_解：因为，又，且在内单调递增，所以，故，即练习3：函数的所有对称中心可表示为（ ）（A） ； （B）；（C）； （D）解：通过观察图象，正切函数图象的对称中心为设计意图：通过练习巩固本节所学知识，巩固对正切函数图