海洋可控源电磁法一维正演公式推导

1、如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!电偶极子激励下的1D正演1、 麦克斯韦方程和谢昆诺夫势函数麦克斯韦方程为：E=-Bt 1H=J+Dt 2E= 3H=0 4存在如下关系：D=E, B=H, J=E。其中，E表示电场强度，单位V/m；B电磁感应强度，单位Wb/m2或特斯拉；D电位移，单位C/m2；H磁场强度，单位A/m；J电流密度，单位A/m2；电荷密度，单位C/m3。1和2取旋度可得：吗E=E-2E=-Bt= -Ht H=H-2H=J+Dt=E+Et在均匀空间中有（电流源频率105Hz）：E=0 ，H=0 所以：2E-Ht=0 2H+E+Et=0即：2E-Ht=2E-Ht=2E-J+D

2、t t=2E-E+Et t=2E-2Et2 -Et=02H+E+Et=2H+E+Et=2H+-Bt+-Btt=2H-2Bt-Bt2=2H-2Ht2-Ht=0可得：1 / 10 1 / 10如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!2E-2Et2 -Et=0 52H-2Ht2-Ht=0 6以上两式就是时间域中电磁场的波动方程。 由1256做傅里叶变换可得到频率域中的麦克斯韦和波动方程E=-iH H=E+iE 2E+2E -iE=0 2H+2H-iH=0 令z=i, y=+i,k2= 2-i=-z y，可得E+zH=0 7H-yE =0 82E+k2E=0 2H+k2H=0 因为矢量场的旋度的散度

3、为零，而电磁场理论中，在无源的区域 E=0，H=0，所以可令E=A，因此可以将电磁场表示为矢量场的旋度。电磁理论中矢量场并非一个实际物理量，引入只是为了方便理解和简化计算，可以根据自己实际的研究需要定义不同的矢量函数，例如谢昆诺夫势、赫兹势等。由于复电阻率法中电磁响应利用谢昆诺夫势来解比较方便，下面对该势函数做简要介绍。7，8式所示为麦克斯韦方程的齐次形式，适用于无源区。在有源区变为非齐次:E+zH=-Jms=-i Ms 9H-yE =Jes =iPs 10Ms为磁极化矢量，Ps为电极化矢量。引入谢昆诺夫势为多个均匀区段组成的空间中求解波动方程提供了便利，每一个均匀区段内都可以把电场和磁场看成

4、是电源和磁源行成的场的叠加，E=Em+EeH=Hm+He这样电磁场就可以由两对矢量函数确定Em,Hm, Ee,He确定。对于前者，我们假定Jes为零;对于后者，我们假定Jms为零。而Em,Hm对应的方程为:Em=-Jms-zHm 11Hm=yEm 12对于Ee,He，Ee=-zHe 13He=yEe-Jes 142 / 10 2 / 10如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!对1213式取散度得：Em=0，He=0，这样我们就可以定义两个矢量势函数用来表示Em和HeEm=-FHe=-A将以上两式带入1213后可得Hm=yF -U 15Ee=-zA-V 16U和V是新引进的任意标量函数。将以

5、上两式带入1114，并引用洛伦兹条件F=-zU, A=-yV可得：2F+k2F=-Jms 2A+k2A=-Jes 这就是含源区的非齐次亥姆霍兹方程。将电源和磁源引起的电磁场相加后得到总的电磁场为（用到洛伦兹条件）:E=-zA+1yA-FH=-yF+1zF-A假如某一时刻只存在一个源，则电磁场可分别表示为:电源 Ee=-zA+1yA ， He=-A 17 磁源 Hm=-yF+1zF， Em=-F 18在很多电磁理论中常常只含有F或A的一个分量;假如只含有z分量，则A=Az , F=Fz，代入1718式可得电磁场各分量可表示为:TM：Ex=1y2Azxz，Ey=1y2Azyz ，Ez=1y2z2+

6、k2Az ，Hx=Azy，Hy=-Azx，Hz=0TE：Ex=-Fzy，Ey=Fzx ，Ez=0，Hx=1z2Fzxz，Hy=1z2Fzyz，Hz=1z2z2+k2Fz 192、层状半空间上的水平电偶极子解的构成:地电结构如图示，假定海水层（第0层）无限深，空气层可忽略。3 / 10 3 / 10如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!1,1,1,AN-1+FN-1+e-uN-1z+AN-1-FN-1-euN-1zAn-1+Fn-1+e-un-1z+An-1-Fn-1-eun-1zA1+F1+e-u1z+A1-F1-eu1zoz=-h电偶源yzx海水层0层1层n-1层N-1层N层围岩层A0-

7、F0-eu0zAN+FN+e-uNzN,N,N,0,0,0,N-1,N-1,N-1,n-1,n-1,n-1,N层大地模型中各层的TM和TE势的解层状半空间上有限长度源的电磁场的求解，其实质是对方程 2F+k2F=-Jms ， 2A+k2A=-Jes势函数的非齐次亥姆霍兹方程求解。根据微分方程的求解理论，边值问题的通解是非齐次方程的特解和齐次方程的互补解的和。因此，有必要对无源区标量势的互补解和含源层的特解进行推导。2.1互补解如果我们把TE和TM的矢量势定义如下:A=Aez , F=Fez因此在无源区范围内，标量势A和F满足:2F+k2F=0 2A+k2A=0对空间坐标x,y做两重傅氏变换,可

8、得：d2Akx,ky,zdz2-un2Akx,ky,z=0d2Fkx,ky,zdz2-un2Fkx,ky,z=0其中: un=kx2+ky2-kn212故标量势的解可表示为:Akx,ky,z=A+kx,kye-uz+A-kx,kyeuzFkx,ky,z=F+kx,kye-uz+F-kx,kyeuz“+”和“ -”分别表示向下和向上衰减方向。（最上层为半空间，电磁波只有沿z的负向传播的电磁波A-kx,kyeuz和F-kx,kyeuz，没有沿z方向的反射波A+kx,kye-uz和F+kx,kye-uz）4 / 10 4 / 10如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!2.2特解对于含源层，除了互

9、补解外还有特解。假设点源位于z=-h处，将点源分解成TM和TE两种模式，根据格林函数得到第0层的特解为: Apkx,kye-u0z+h TM Fpkx,kye-u0z+h TE它在源上方和下方都是衰减的。（附解法提示：电偶极源：Jr=Idsxyz非齐次亥姆霍兹方程：2A+k2A=-Jes 所以2A+k2A=-Idsxyz+h对上式进行二维傅氏变换解出A，对A进行反傅氏变换可求得A的特解。（勘查地球物理 电磁法 第一卷 理论，p156,p193）对于层状地电结构的第0层互补解中只含A-kx,ky，F-kx,ky项,经推导我们可以得到(若把Ap, Fp看作入射场的振幅):A0-=rTMApe-u0

10、z-hF0-=rTEFpe-u0z-h（？第0层中互补解的求法勘查地球物理 电磁法 第一卷 理论4.3节）式中rTE和rTM是反射系数（勘查地球物理 电磁法 第一卷 理论， p193）下面求Ap和Ep根据格林函数（勘查地球物理 电磁法 第一卷 理论，p156）可推导出地下x方向(z=-h)电偶源矢量势特解的二维傅氏变化为：A=Ids2u0e-u0z+hex电偶源电磁场的一次场可分解为TE分量和TM分量，以下分别处理TE场分量和TM场分量。TM极化模式只存在水平电场，据式（17），EZP=1y2Axz=102Axz=10zIds2u0e-u0z+hx=10zIds2u0e-u0z+hikx=10

11、Ids2u0e-u0z+hikx-u0=-Ids20ikxe-u0z+h19中Ez=EZP (19式中的公式推导基于Az在此A为x方向，所以可利用坐标旋转或直接利用17式分析，6 / 10 6 / 10如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!EZP实际为根据Ax求得的z方向电场。)Ez=1y2z2+k2Az=EZP=-Ids20ikxe-u0z+h即：2z2+k2Az=-Ids2ikxe-u0z+h 设Az=Ape-u0z+h2z2+k2Az=u02+k2Ape-u0z+h=kx2+ky2-k2+k2Ape-u0z+h=-Ids20ikxe-u0z+h可推得TM系数Ap：Ap=-Ids2ik

12、xkx2+ky2同理：HZP=-Axy=-yIds2u0e-u0z+h=-Ids2u0ikye-u0z+h=Hz=1z2z2+k2Fz设Fz=Fpe-u0z+h可推得：Fp=-zIds2u0ikykx2+ky22.3通解将源和大地之间的互补解和特解合并，变换得到空间中TM、TE两种模式的通解为:A=Apkx,kye-u0z+h+rTMApe-u0z-hF=Fpkx,kye-u0z+h+rTEFpe-u0z-h根据二维傅里叶反变换可求得Ax,y,z、 Fx,y,z。Ax,y,z=142-+-+Ape-u0z+h+rTMApe-u0z-heikxx+kyydkxdky=-Ids82-+-+e-u0

13、z+h+rTMe-u0z-hikxkx2+ky2eikxx+kyydkxdky6 / 10 6 / 10如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!Fx,y,z=142-+-+Fpe-u0z+h+rTEFpe-u0z-heikxx+kyydkxdky=-zIds82-+-+e-u0z+h+rTMe-u0z-hikyu0kx2+ky2eikxx+kyydkxdky当海水层比较薄，空气层不可忽略：1,1,1,A1+F1+e-u1z+A1-F1-eu1zo电偶源yzx空气层海水层-1层0层1层2层围岩层A-1-F-1-eu-1zA0+F0+e-u0z+A0-F0-eu0zA2+F2+e-u2z0,0,

14、0,2,2,2,-1,-1,-1,其特解仍为: Apkx,kye-u0z-h TM Fpkx,kye-u0z-h TE仍能推得：Ap=-Ids2ikxkx2+ky2Fp=-zIds2u0ikykx2+ky2互补解为：Akx,ky,z=A0+kx,kye-u0z+A0-kx,kyeu0zFkx,ky,z=F0+kx,kye-u0z+F0-kx,kyeu0z7 / 10 7 / 10如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!对于系数A0+kx,ky、A0-kx,ky的求解可采用代数和等效阻抗相结合的方法：在有源层的远区的某点源分别发出向上和向下的两束平面波，电磁波经过上下两个界面多次反射发生衰减（

15、其衰减原因主要有两个：介质中的损耗和界面的透射）。有源层中的电磁场的场强为源项强度和各反射波强度之和，反射波假定反射m次后衰减为零。设含源层厚度为h，源距离上下边界高度为h1、h2。当测点在源下方z处时：h1h2zzx源o源向下投射的电场强度为： Ape-u0z-h1+Ape-u02h2+h1-zRTM2+Ape-u02h2+h1+zRTM1RTM2+Ape-u04h2+3h1-zRTM1RTM22+Ape-u04h2+3h1+zRTM12RTM22+Ape-u02mh2+h1-h1-zRTM1m-1RTM2m+Ape-u02mh2+h1-h1+zRTM1mRTM2m 源向上投射的电场强度为：

16、Ape-u0h1+zRTM1+Ape-u03h1+2h2-zRTM1RTM2+Ape-u03h1+2h2+zRTM12RTM2+Ape-u05h1+4h2-zRTM12RTM22+Ape-u05h1+4h2+zRTM13RTM22+Ape-u02mh2+h1+h1-zRTM1mRTM2m+Ape-u02mh2+h1+h1+zRTM1m+1RTM2m同理可得当测点在源下方z处时：源向下投射的电场强度为： Ape-u02h2+h1-zRTM2+Ape-u02h2+h1+zRTM1RTM2+Ape-u04h2+3h1-zRTM1RTM22+Ape-u04h2+3h1+zRTM12RTM22+Ape-

17、u02mh2+h1-h1-zRTM1m-1RTM2m+Ape-u02mh2+h1-h1+zRTM1mRTM2m同理，源向上投射的电场强度为：Ape-u0h1-z+Ape-u0h1+zRTM1+Ape-u03h1+2h2-zRTM1RTM2+Ape-u03h1+2h2+zRTM12RTM2+Ape-u05h1+4h2-zRTM12RTM22+Ape-u05h1+4h2+zRTM13RTM22+Ape-u02mh2+h1+h1-zRTM1mRTM2m+Ape-u02mh2+h1+h1+zRTM1m+1RTM2m综合以上两种情况可得测点处的势函数（由以下三部分组成）：8 / 10 8 / 10如果您

18、需要使用本文档，请点击下载按钮下载!直达波（没有经界面反射的波，即有源层方程的特解）为：Ape-u0h1-z空气波（经上界面反射回的波，即下行波）为：A0-kx,ky=Ape-u0h1+zRTM1+Ape-u0h1+2h2+zRTM1RTM2+Ape-u03h1+2h2+zRTM12RTM2+Ape-u03h1+4h2+zRTM12RTM22+Ape-u02m-1h2+h1+h1+zRTM1mRTM2m-1+Ape-u02mh2+h1-h1+zRTM1mRTM2m地层波（经下界面反射回的波，反映底层结构信息，即上行波）A0+kx,ky=Ape-u02h2+h1-zRTM2+Ape-u03h1+2h2-zRTM1RTM2+Ape-u04h2+3h1-zRTM1RTM22+Ape-u05h1+4h2-zRTM12RTM22+Ape-u02mh2+h1-h1