2019年大一高数复习资料83557.doc

1、高等数学（本科少学时类型）第一章函数与极限第一节函数函数基础（高中函数部分相关知识）（）邻域（去心邻域） （ ）Ua,x | xaUa,x | 0xa第二节数列的极限数列极限的证明（）【题型示例】已知数列xn ，证明lim xnax【证明示例】N 语言1由 xna化简得 n g， Ng2即对0 ， Ng，当 nN 时，始终有不等式 xn a成立， limxnax第三节函数的极限 xx0 时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数f x，证明 lim f xAx x0【证明示例】语言1由 f xA化简得 0xx0gg2即对0，g ，当 0 x x0 limf xAx x 0，时，始终有不等式fxA

2、成立， x时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数f x ，证明 lim f xAx【证明示例】X 语言1由 f xA化简得 xg， Xg2即对0 ，Xg，当 xX 时，始终有不等式fxA成立， lim f xAx高等数学期末复习资料第 1页（共 1页）第四节无穷小与无穷大无穷小与无穷大的本质（）函数 f x 无穷小limf x 0函数 f x 无穷大limf x无穷小与无穷大的相关定理与推论（）（定理三）假设f x 为有界函数， g x 为无穷小，则 lim f x g x（定理四）在自变量的某个变化过程中，若f x为无穷大，则小；反之，若f x 为无穷小，且 f x0 ，则 f1 x 为无

3、穷大【题型示例】计算：limf xg x （或 x）x x00f 1 x 为无穷1 fx M 函数 fx在xx0 的任一去心邻域 U x0 ,内是有界的；（ fx M ，函数 fx在 x D 上有界；）2 limgx0即函数 g x 是 xx0 时的无穷小；xx0（ limgx0 即函数 g x是 x时的无穷小；）x3由定理可知 limfxg x0xx0（ limfxgx0）x第五节极限运算法则极限的四则运算法则（）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式 p x、 q x 商式的极限运算设：p x a0xma1 xm 1amq x b0 xnb1xn 1bnnm则有 limp xa0n

4、mxq xb0nm0fx0gx00gx0fxgx00, fx00limxx x0 g0gx0fx000高等数学期末复习资料第 2页（共 2页）（特别地，当f x0 （不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可limx x0 g x0去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值limx3x3x29【 求 解 示 例 】 解 ： 因 为 x3 ， 从 而 可 得 x3，所以原式limx3limx3lim11x29x 3x 3 x 3 x 3x 3 x 3 6其中 x3 为函数 fxx3 的可去间断点x29倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：0x3解： limx3 0l

5、im11limx 3 x29 L x 3x29x 3 2x 6连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（）（定理五）若函数fx 是定义域上的连续函数，那么，limfxf limxx x0x x0【题型示例】求值：limx3x29x 3【求解示例】limx3limx316x29x2966x 3x3第六节极限存在准则及两个重要极限夹迫准则（ P53）（）第一个重要极限： lim sin x1x0x x 0,， sin xxtan x lim sin x12x 0xx1lim1limx01limsin xsin xx 0 sin xx0xlimxx0（特别地，limsin( xx0 )1）xx0x x

6、0单调有界收敛准则（P57）（）1x第二个重要极限： lim 1exx高等数学期末复习资料第 3页（共 3页）（一般地， limfxg xlimfxlim g x，其中 lim f x0 ）【题型示例】求值：2x3x 1limx2x1【求解示例】x1x 1x 1解：2x3lim2x12lim12lim2x12 x12x1xx2 x 12 x 122x 12x1x12 x 122lim122 x1lim122 x 12x12 x12x1lim2x12 x122 x 12 x1lim2x122 x 1lim12 x 12x1e2 x 1lim2 x22 x1e1ee2 x 1第七节无穷小量的阶（无

7、穷小的比较）等价无穷小（）1U sin U tanU arcsin U arctan U ln(1 U )U1 e2 1U2 1 cosU2（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：limln 1x 2x ln 1xx 0x3 x【求解示例】解：因为x即0,所以原式ln 1xx ln 1x0, xlim2x0x3x1 x ln 1 x1 x xx 1 1limlimlimx 0x x 3x 0 x x 3x 0 x 3 3第八节函数的连续性函数连续的定义（）lim f xlim fxf x0x x0x x0间断点的分类（ P67）（）第一类间断点（左右极跳越间断点（不等）限存在）可去间断点（相等

8、）（特别地，可去间断点能在分式中约去第二类间断点无穷间断点（极限为）相应公因式）【题型示例】设函数f xe2x， x0 应该怎样选择数 a ，使得 f x 成为在 R 上a xx0高等数学期末复习资料第 4页（共 4页）的连续函数？【求解示例】f 0e2 0e1e1 f 0a 0af 0a2由连续函数定义lim f xlim f xf 0ex0x0 ae第九节闭区间上连续函数的性质零点定理（）【题型示例】证明：方程fxg xC 至少有一个根介于a 与 b 之间【证明示例】1（建立辅助函数）函数xfxg xC 在闭区间a, b 上连续；2ab0 （端点异号）3由零点定理， 在开区间a, b 内至

9、少有一点，使得0 ，即 fgC0（ 01）4这等式说明方程f xgxC 在开区间 a, b 内至少有一个根第二章 导数与微分第一节 导数概念高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（）【题型示例】已知函数fxex1， x0 在 x 0处可导，求 a ， baxbx0【求解示例】1 f 0 e01 ， f 0e01 e01 2f 0 af 0be0f 0122由函数可导定义f0f0a1f0f 0f0 b 2 a 1,b 2【题型示例】求y fx 在 xa 处的切线与法线方程（或：过 y f x图像上点 a, fa处的切线与法线方程）【求解示例】1 y f x ， y |x af a高等数学期末复

10、习资料第 5页（共 5页）2切线方程：法线方程：yfafa xayfa1afxa第二节函数的和（差） 、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则（）1线性组合（定理一） ： ( uv)uv特别地，当1 时，有 (uv)uv2函数积的求导法则（定理二） ： (uv)u vuv3函数商的求导法则（定理三） ： uu v2uvvv第三节反函数和复合函数的求导法则反函数的求导法则（）【题型示例】求函数f 1x的导数【求解示例】由题可得 fx为直接函数， 其在定于域 D上单调、可导，且 f x0 ； f 1xf1x复合函数的求导法则（）【题型示例】设y lnearcsinx21x2a2，求 y【求

11、解示例】解： y1earcsin x2 1x2a2earcsin x2 1x2a21earcsin x21x 21x2a2earcsin x 2 1x2a21x212 x2a22x1earcsin x212 x212xearcsin x 2 1x2a22x22x2a21earcsin x21xxearcsin x 2 1x2a2x 212x2x 2a 2第四节高阶导数 f n xf n 1 x（或 dn yd n 1 y ）（）dxndx n 1【题型示例】求函数yln 1x 的 n 阶导数【求解示例】111，yx1x高等数学期末复习资料第 6页（共 6页）xy1 x111 x2 ，y1121

12、3x2 1 xy n( 1)n 1 ( n 1)！(1 x) n第五节隐函数及参数方程型函数的导数隐函数的求导（等式两边对x 求导）（）【题型示例】试求：方程 y xey 所给定的曲线 C ： yy x 在点 1e,1 的切线方程与法线方程【求解示例】由y xey 两边对 x 求导即yxey化简得 y1eyy1 1y 1 e1 1 e切线方程：y11x1e1 e法线方程： y 11 e x 1 e参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程xt ，求 d 2 yytdx2d 2 ydydytdx【求解示例】 1. dxt2.dx2t第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分基本

13、初等函数微分公式与微分运算法则（）dyfx dx第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理引理（费马引理） （）罗尔定理（）【题型示例】 现假设函数 f x 在 0,上连续，在 0,上可导，试证明：0, ，使得 fcosfsin0 成立【证明示例】1（建立辅助函数）令fx sin x高等数学期末复习资料第 7页（共 7页）显然函数x 在闭区间 0,上连续，在开区间0,上可导；2又0f 0 sin00fsin0即003由罗尔定理知0,，使得 fcosfsin0成立拉格朗日中值定理（）【题型示例】证明不等式：当x1 时， exe x【证明示例】1（建立辅助函数） 令函数 fx ex ，则对 x1，显

14、然函数 fx 在闭区间1,x上连续，在开区间1,x上可导，并且 fx ex ；2由拉格朗日中值定理可得，1, x使得等式 exe1x 1e 成立，又 ee1 ， exe1x 1 e1e x e ，化简得 exex ，即证得：当 x1时， exe x【题型示例】证明不等式：当x0 时， ln 1 xx【证明示例】1（建立辅助函数） 令函数 fxln 1x，则对x0，函数 fx 在闭区间0,x上连续，在开区间0,上可导，并且fx1；1x2由拉格朗日中值定理可得，0,x 使得等式 ln1xln 11x 0成立，01化简得 ln1 x10, x ，1x ，又 f1， ln 1 x1 x x ，11即证

15、得：当x1 时， exe x第二节罗比达法则运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（）2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A 属于两大基本不定型（0 , ）且满足条件，则进行运算：f xf x0limlimx a g xx a g x（再进行 1、 2 步骤，反复直到结果得出）高等数学期末复习资料第 8页（共 8页）B 不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） 0 型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：【求解示例】lim xln xx0ln xln x1解：xln x limlimlimlim x1x 0x 0 1L x 0x 0xx1x2x1 lim x0a x

16、 0（一般地， lim xln x0 ，其中,R ）x 0 型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：lim11sin xxx0【求解示例】解：11x sin xxsin xlimsin xlimx sin xlimx2x 0xx 0x00x sin x01cosx0limlim 1cosx 0limlim sin x0 00 型（对数求极限法）Lx 02x 02xLx 02xx 02x【题型示例】求值：【求解示例】lim xxx0解：设yx,两边取对数得：ln xxln xxln yxln x1x对对数取x时的极限：limln xln x0lim ln y1limx 0x 0L x 01

17、xx1 1 型（对数求极限法）x，从而有ln ylimln y0x 0limlim xlim ylim eee 110x 0x 0x 0x 0x2【题型示例】求值：【求解示例】1lim cos xsin x xx0高等数学期末复习资料第 9页（共 9页）1ln cos x sin x解：令 ycosx sin x x ,两边取对数得 ln y,x对ln y求时的极限，lncos xsin xx 0lim ln y limxx 0x 00lncos xsin xcos xsin x10从而可得0limlim1,sin x10Lx0xx0 cos xlim y= lim eln ylim lnye

18、ex 0e1x0x0 0 型（对数求极限法）【题型示例】求值：1tan xlimx 0x【求解示例】tan x1解：令 y1,两边取对数得 ln y,xtan x lnx对求x时的极限，tan x1ln y0lim ln y limlnx 0x0xln xln x1limlimlimx12x0Lx 01x0sec xtan xtan2 xtan x202x0lim sinxsinli m 2sin xcos x0,limx 0xL x 0xx01从而可得 lim y= lim eln ylimln y1ex 0e0x0x0运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（）0000(1)(2)(3)010

19、通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节函数的单调性和曲线的凹凸性连续函数单调性（单调区间）（）【题型示例】试确定函数f x2x39x212x 3的单调区间【求解示例】1函数fx 在其定义域R 上连续，且可导 fx6x218x12高等数学期末复习资料第 10 页（共 10 页）2令 f x 6x 1 x 20 ，解得： x1 1, x2 23（三行表）x,111,222,f x00fx极极大小值值4函数 fx的单调递增区间为,1,2,；单调递减区间为1,2【题型示例】证明：当

20、x0 时， exx1【证明示例】1（构建辅助函数）设xexx1，（ x 0）2x ex1 0 ，（ x0 ）x003既证：当 x0 时， exx1【题型示例】证明：当x0 时， ln 1xx【证明示例】1（构建辅助函数）设xln1xx，（ x0 ）211 0，（ x0）x1 x x0 03既证：当x0 时， ln 1xx连续函数凹凸性（）【题型示例】试讨论函数y13x2x3 的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】1 y3x26 x63x x 2y6 x6x12令 y3xx200 解得：x10, x2 2y6x1x13（四行表）x ( ,0)0(0,1)1(1,2) 2 (2,)高等数学期末复

21、习资料第 11 页（共 11 页）y00yy1(1,3)54函数 y13x2x3单调递增区间为(0,1) , (1,2) 单调递增区间为 ( ,0) ,(2,) ；函数 y13x2x3的极小值在 x 0 时取到，为 f 01，极大值在 x2 时取到，为 f 25；函数 y13x2x3在区间 (,0) , (0,1)上凹，在区间(1,2) , (2, ) 上凸；函数 y13x2x3的拐点坐标为 1,3第五节 函数的极值和最大、最小值函数的极值与最值的关系（）设函数 fx 的定义域为 D ，如果 xM 的某个邻域 U xMD ，使得对x U xM ，都适合不等式fxf xM，我们则称函数 fx 在

22、点 xM , f xM处有极大值 fxM ；令 xMxM 1 , xM 2 , xM 3 ,., xMn则函数 fx 在闭区间 a, b上的最大值 M 满足：M max fa , xM 1 , xM 2 , xM 3,., xMn , f b；设函数 fx 的定义域为 D ，如果 xm 的某个邻域 U xmD ，使得对x U xm ，都适合不等式 fxf xm ，我们则称函数fx 在点 xm, f xm处有极小值 fxm ；令 xmxm1 , xm2 , xm3,., xmn则函数 fx 在闭区间 a, b上的最小值 m 满足：m min fa , xm1 , xm2 , xm 3,., xm

23、n , f b；【题型示例】求函数f x3xx3 在1,3 上的最值【求解示例】1函数 fx 在其定义域1,3 上连续，且可导 f x3x232令 f x3 x 1x 1 0 ，解得： x11, x213（三行表）x11,111,3f x00高等数学期末复习资料第 12 页（共 12 页）极极fx小大值值4又 f12, f 1 2, f318 f xmaxf1 2, f x minf318第六节函数图形的描绘（不作要求）第七节曲率（不作要求）第八节方程的近似解（不作要求）第四章 不定积分第一节不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念（）原函数的概念：假设在定义区间 I上，可导函数 F x 的

24、导函数为 F x ，即当自变量 x I时，有 Fx fx 或 dFxfx dx 成立，则称 F x为 f x 的一个原函数原函数存在定理： （）如果函数 f x 在定义区间 I上连续，则在 I 上必存在可导函数Fx使得F x fx ，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续）不定积分的概念（）在定义区间 I 上，函数 f x的带有任意常数项C 的原函数称为fx在定义区间 I 上的不定积分，即表示为：f x dx F xC（ 称为积分号， f x 称为被积函数，f x dx 称为积分表达式， x 则称为积分变量）基本积分表（）不定积分的线性性质（分项积分公式）（）k1 fxk2 gxdxk1fx