【论文】从导数与定积分部分看高中数学教学

1、 从导数与定积分部分看高中数学教学摘要：基于对新型人才培养理念，我们做为高中数学老师,要注重学思结合，注重知行统一，注重因材施教,强调中学生自主学习,不要采用题海方式，要知道比知识更重要的是能力以及渗透在能力中的解题策略,只有注重能力的培养才是真正地培养新型人才的途径。关键词：新型人才、学思结合、导数、概念、极限、微积分正文：十年前的新课程改革就提出我国数学教育存在的问题要正视，数学教学不自然，强加于学生，缺乏问题意识，重结果轻过程，重解题技能技巧普遍性思考方法的概括，轻能力的培养，论层次的内容渗透不够，机械模仿多，独立思考少，数学思维层次不够高，讲逻辑而不讲思想等等，造成后果就是学生讲过的不

2、一定会，没讲过的一定不会！尽管通过种种的尝试，加强概念的理解，注重三维目标的构建，以及学生基本技能的培养，可高考看分数的杠依然在那，为此我们老师为提高学生高考分数，题海战术依然首选，不离不弃！2016年3月我有幸参加了中国大学先修课程微积分的培训，听了东北师范大学，清华大学，北京大学教授的讲座，我感受颇深：有些学生高中数学考得非常好，进大学却一塌糊涂。用定理结论都会，用定理手法证明的不会。高校数学系，物理系喜欢要学习能力强的，不一定要高考成绩高的，甚至高考数学140多分的，在高校老师看来是否有能力他们第一节课就能分晓。的确，我们高中数学老师为了学生能够在高考中尽可能多的得到分数，讲题目归纳为类

3、型题，什么类型什么类型讲得很详细，讲完学生反复练习，练到差不多就可以进去考试了，只要听话又勤奋的学生总能考个百来分的数学，可是这样的学生将来进入大学或是走向社会又会有多少作为，我们的确担心。而大学老师则从不会归纳什么类型，还不会讲太细，太细学生就没有自己的思考空间了，这能说大学老师就不够尽责吗?这也值得我们思考。我觉得可以借鉴美国中学成功经验放手让我们的学生去做，去探索，这样才能适应未来新型的社会需求。 那么如何培养新型的高中生，适应现代化科技的发展？根据高中生的认知特点，要注重学思结合，注重知行统一，注重因材施教。我就高二数学人教A版第二章导数及其应用谈谈我的一些看法。1. 突出实际背景培养

4、认知能力教材直接通过实际背景和具体应用实例速度膨胀率效率增长率等反映导数思想和本质的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数概念，在对实际背景问题研究的基础上，抽象概括出导数的概念。而教材对微积分的定位，考虑到学生的实际水平，略去了函数的连续性和极限。但由于教学的实际，我认为在授课之前应用适当的形式让学生感知函数的连续性和极限。例如：如果函数是连续的，那么它的图象是一条连绵不断的曲线；在一定条件下极限与某个常数A的差的绝对值越来越小，可以小于预先给定的任意正数，可以通过表格来定性分析和定量分析，把“无限趋近”给以确切的描述，或者举例说明求函数的极限，这样学生就不会在遇到

5、诸如 的求法，又如：恒成立，求a的取值范围等问题上存在着困惑。教材用极限理论阐述导数定义之后，给出了几个基本初等函数的导数公式，学生在此时会长叹：导数定义好麻烦！有公式真好！实际上重视该课程的人文性，而不过分强调其工具性，重视学生数学思维的培养，不是简单的计算，而应该是学生具有一定的演绎推理能力，才是学习数学的真正目的。此应该跟学生讲明。举例说明：例1. 计算 解：由导数的定义 取 得可见理解了导数的定义就能对此类运用自如。2. 关注知识的拓展应用2016年我们福建省回归全国高考之后，强调注意二阶导数的拓展应用， 虽然高中数学没有涉及二阶导数的提法和应用，但将函数的导数表示为新的函数，并继续研

6、究函数的性质的试题比比皆是，尤其是课标卷。因此有必要关注二阶导数在研究函数中的拓展应用，留意函数凸性的等价性，但要注意需要的过程性的学习，而不是定理的记忆。虽然福建省考试说明的修订与全国统一考试大纲一致，我们研读的结果也发现没有太大差异，但具体实施时，有些知识内容的考查可能超出了福建的要求，造成颠覆性失误。需要引起我们的注意和重视，比如二阶导数的应用、反函数的概念等。以我之见，一些定理性质只要遇到都是可以适时增加的。如定义: 设函数在区间上连续，如果对上任意两点，恒有那么称在上的图形是（向下）凹的；如果恒有那么称在上的图形是（向上）凸的。定理：设函数在处具有二阶导数且，那么（1） 当时，函数在

7、处取得极大值；（2） 当时，函数在处取得极小值；定理：设函数在上连续，在处具有一阶和二阶导数，那么（1）若在内时，则在上的图形是凹的；（2）若在内时，则在上的图形是凸的； 定理、结论很多人都知道，都说得出来，用文字叙述也没问题。很直观的东西用数学语言怎么描述出来就难了，要联想到应用、证明就更难了。特别强调：鼓励学生学的深一些、广一些，不断提升学科素养，养成学习习惯，提升自主学习能力，为实现自身理想奠定扎实基础。以下例2的证明就需要考虑二阶导数的拓展应用。例2.( 2015年课标卷理21)设函数（1）证明在单调递减，在单调递增；（2）若对于任意，都有，求的取值范围。再比如例3，有参加过竞赛培训的

8、学生在处理第二小题的时候，用了大学的知识拉格朗日中值定理巧妙地构造并完美地证明出来，显然比用导数显得轻松得多，然道我们不得表扬鼓励学生有这样的能力吗？例3.( 2016年福建省4月质检理21)已知函数，曲线与在原点处的切线相同。（1） 求单调区间；（2） 若时，求的取值范围。3.注重概念的理解比如定积分概念的教学应注意以下两点：定积分是一种“和”的极限;定积分的几何意义。若，则定积分在几何上表示由曲线，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积S，即.若，那么曲边梯形位于轴下方.当在区间a，b上有正有负时，积分表示（如右图）。例4. 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为（

9、t的单位：h, v的单位：km/h），则这辆车在2小时内行驶的路程_km结果这题很多学生地错解： 然而正确的解法考虑积分的正负，答案却是我们不幸地发现高中教学定积分部分基本上成了一种微积分基本定理的运算，只追求怎样去用这个定理，却忽视了定理本身的内涵，而实际上定理本身的内涵更为重要。微积分作为一个强大的工具，也可以帮助我们解决一些用初等数学思想处理比较繁琐的数学问题。大学老师说过这样一句话：可微的力量比可导的力量强大得多，千万别误导了学生！ 例5. 求极限 解： 可见，这是连续函数在区间0,1均分成份时的一个积分和。所以显然微积分学在数学以至整个自然科学中占有重要的地位，微积分的思想方法不仅是学生以后学习许多数学分支的基础，而且对于培养学生的数学思维，增强学生的解题能力有很大的促进作用。其中导数和积分是微积分学中最重要的两个概念，它们是研究函数和解决实际问题的重要工具。如果中学数学还一味地追求怎么去用这个定理，怎么套入公式的运算，而忽视了定理本身的内涵，一则对微积分强大的思想领域造成误解；二则对学生数