微分方程第5章.2(V函数)[章节优讲]

1、5.2 Liapunov 第二方法第二方法 （V函数法）函数法） 5.2.1 定理及概念定理及概念 5.2.2 二次型二次型V函数的构造函数的构造 11 (5.29) nn i i ii ii dVV dxV f dtx dtx 讨论方程组讨论方程组( ),(0)0, ( ),( ) dx f xf dt f xfx 连续连续 （5.20） 5.2.1 李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理 定理定理4 对于系统对于系统（5.20），），如果可以找到如果可以找到 一个定正函数一个定正函数 ，且此，且此 函数沿着系统的函数沿着系统的( )V xV 全导数全导数 为常负函数或恒等于零，则系统（为常负函数或恒

2、等于零，则系统（5.20） dV dt 的零解是稳定的。的零解是稳定的。 定理定理5 对于系统（对于系统（5.20），如果可以找到一），如果可以找到一 个定正的函数个定正的函数 ，且沿着系统的全导数，且沿着系统的全导数 为为( )V x dV dt 定负函数，则系统的定负函数，则系统的零解是渐近稳定的零解是渐近稳定的。 定理定理6 对于系统（对于系统（5.20）如果能找到一个）如果能找到一个V 函数函数 它在它在 点的任何邻域内至少有点的任何邻域内至少有( )V x 0 x 一点一点 ， * x * ()0(0)Vx 那么，如果存在那么，如果存在 的某个邻域的某个邻域 ,使使 0 x D 得在

3、得在 中中 是定正（定负）的，则是定正（定负）的，则 (6.20) dV dt D 系统（系统（5.20）的）的零解是不稳定零解是不稳定的。的。 当且仅当当且仅当 和和 同时成立，同时成立，0a 2 40acb 定理定理7 函数函数 2 Vbxycy 2 （x,y）=ax 是是定正的，定正的， 是是定负定负的，当的，当且仅当 和和0a 2 40acb 同时成立。同时成立。 定理定理8 对于系统（对于系统（5.20），）， 如果存在定正的如果存在定正的 ，且，且 常负，常负，( )V x (5.20) dV dt 但是使得但是使得 点点 的集合不含系统的集合不含系统 x (5.20) 0 dV

4、dt (5.20)的除零解外的任何整条正半轨线，的除零解外的任何整条正半轨线， 则（则（5.20）的零解是渐近稳定的。）的零解是渐近稳定的。 定理定理9 对于系统（对于系统（5.20），）， 如果存在函数如果存在函数 和某一非负常数和某一非负常数 ，使得，使得( )V x (5.20) ( ) dV VW x dt 且当且当 时时, 为为定正函数定正函数，0( )W x 当当 时，时， 为为常正函数或恒为零常正函数或恒为零，0( )W x 又在又在 的任意小的邻域内，的任意小的邻域内，0 x 至少存在某个至少存在某个 使得使得 ， x ( )0V x 则（则（5.20）的零解是不稳定的。）的零

5、解是不稳定的。 注：注： 例题及定理的证明例题及定理的证明 例例1 在二维空间在二维空间 上上 2 R 22 1212 (,)V x xxx 是是定正的定正的 函数函数。 V 22 121122 ( ,)2V x xxx xx 2 12 ()xx 是常正的。是常正的。 关于关于 函数有两个结论：函数有两个结论： V 结论结论1 如果函数如果函数 是定正（常正）的是定正（常正）的 ，( )V x 则则 定负（常负）的；定负（常负）的；( )V x 结论结论2 如果如果 是一个二维定正是一个二维定正 函函 ( , )V x y V 数，则对于适当的数，则对于适当的 是一条包是一条包 0, ( ,

6、)hV x yh 围原点的闭曲线。围原点的闭曲线。 微分方程解的稳定性问题。微分方程解的稳定性问题。 现在讨论如何应用现在讨论如何应用 函数来确定非线性函数来确定非线性V 为了简单，考虑非线性自治系统为了简单，考虑非线性自治系统 ( ) dx f x dt （5.20） 其中其中: 1 2 n x x x x 112 212 12 ( ,) ( ,) ( ) ( ,) n n nn f x xx fx xx f x fx xx 复合函数，对复合函数，对 函数关于函数关于 求导数得到：求导数得到：V t 12 12 n n dxdxdxdVVVV dtx dtxdtxdt 1 n i i i d

7、xV x dt 这样求得的导数这样求得的导数 称为函数称为函数 沿着方程沿着方程 dV dt ( )V x 组组(5.20)的的全导数全导数，一般情况下它仍为，一般情况下它仍为 12 , n x xx的函数。的函数。 （5.21） 假设假设 ，且，且 在原点的某个邻域内在原点的某个邻域内(0)0f( )f x 满足解的存在唯一性条件。满足解的存在唯一性条件。 把把(5.20)的解的解 代入函数代入函数 中得中得 的的( )xx tV t 例例2 求函数求函数 沿着平沿着平 22 1 ( , )() 2 V x yxy 面自治系统面自治系统 33 dx xyxy dt dy xy dt （5.2

8、2） 的全导数。的全导数。 解解 利用公式（利用公式（5.21）得此函数）得此函数 沿着系统沿着系统V (5.22)得全导数为得全导数为 (5.22) dVV dxV dy dtx dty dt 33 2234 ()()x x y xyy xy xxy x y x y y 例例3 利用利用李雅普诺夫稳定型准则李雅普诺夫稳定型准则判定下面判定下面 系统的零解的稳定性态。系统的零解的稳定性态。 32 23 (1) 2 dx xxy dt dy x yy dt 解解 对于系统（对于系统（1），），构造李雅普诺夫函数构造李雅普诺夫函数 22 1 ( , ) 2 V x yxy 则则 是正定的且是正定的

9、且( , )V x y 3223 (1) 2 ()( 2) dV xxxyyx yy dt 44 2xy 是是定负的定负的。所以由定理。所以由定理6知系统（知系统（1）的零解）的零解 是是渐近稳定的渐近稳定的。 33 223 (2) 242 dx xy dt dy xyx yy dt 对于系统（对于系统（2），构造如（），构造如（1）中的）中的 函数则函数则 V 4224222 (2) 2422() dV xx yyxy dt 显然显然 在原点邻域是定正的，而在原点邻域是定正的，而 (2) dV dt ( , )V x y 在原点任何邻域有大于零的点（其实也是定在原点任何邻域有大于零的点（其实

10、也是定 正正函数），所以由定理函数），所以由定理7知系统（知系统（3）的零解是）的零解是 不稳定的。不稳定的。 例例4 构造二次型构造二次型 函数证明系统函数证明系统 V 2 2 dx xxy dt dy yx y dt （5.23） 的零解是渐近稳定的。的零解是渐近稳定的。 证明证明 22 ( , )V x yaxbxycy 2 (6.23) (2)() dV axbyxxy dt 2 (2)()bxcyyyx 222 2 ()a xx y 222 2 ()c yx y 显然若取显然若取 ，则，则 ， 0,0,0bac 2 40acb 因而因而 定正，定正， 定负定负 ， ( , )V x

11、y (5.23) /dVdt 故系统（故系统（5.23）的零解是）的零解是渐近稳定的渐近稳定的。 例题例题5 利用利用李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数讨论数学摆振动讨论数学摆振动 方程等价系统方程等价系统 sin dx y dt dyg xy dtlm （5.24） 零解的稳定性。零解的稳定性。 解解 构造构造李雅普诺夫李雅普诺夫 函数函数如下如下V 2 1 ( , )(1 cos ) 2 g V x yyx l 显然显然 在原点邻域内是在原点邻域内是定正的定正的，且，且( , )V x y 2 (5.24) dV y dtm 若若 ，则，则 ，由定理，由定理5知零解知零解0 (5.24) 0 d

12、V dt 是稳定的。是稳定的。 若若 ，则，则 是常负的，但是仔细是常负的，但是仔细0 (5.24) dV dt 分析一下，式分析一下，式 的集合是的集合是 ， (5.24) 0 dV dt 0y 而在原点邻域而在原点邻域 不是不是(5.24)的解。的解。0y 系统（系统（5.24）的零解是渐近稳定的。）的零解是渐近稳定的。 定理定理6的证明的证明 证明证明 由前一个定理知此时系统（由前一个定理知此时系统（5.20）的零解）的零解 稳定的，所以只需证明在此定理条件下零解还是稳定的，所以只需证明在此定理条件下零解还是 吸引的即可。即证明存在吸引的即可。即证明存在 使得使得 0 0 当：当： 满足

13、满足 时从时从 点出发的解：点出发的解： 0 x 00 x 0 x 00 ( )( , ,)x tx t tx满足：满足： lim( )0 x x t （5.25） 下面证明零解的吸引性，由稳定性知下面证明零解的吸引性，由稳定性知 0 0必存在必存在 使得当使得当 时对一切时对一切 00 x 0 tt 00 ( )( , ,)x tx t t xH有有 由于由于 定正，定正， 定负，定负， (5.20) dV dt ( )V x 所以所以 关于关于 单调递减有界，因而有极限单调递减有界，因而有极限( ( )V x tt lim( ( ) x V x tc 假设假设 ，必，必 ，那么对于任何的，

14、那么对于任何的 ，0c 0c 0 tt 有有 ( )0 x t ( )dV x dt xH所以所以 在在 上连续，故上连续，故 ( )dV x dt 在在 有最大值，记为：有最大值，记为：xH ( ) max XH dV x M dt 且由且由 的定负性知的定负性知 ( )dV x dt 0M 由于由于 有连续的偏导数，有连续的偏导数，( )V x 于是对于任何于是对于任何 有有 0 tt 0 00 ( ( ) ( ( )()() t t dV x t V x tV xdtM tt dt 即即 00 ( )()()Vx tVxMtt 由上式看出当由上式看出当t充分大时，充分大时， 这这( ( )0V x t 与与 定正矛盾定正矛盾，因此，因此 ,即即 ( ( )V x t0c lim( ( )0 x Vx t （5.26） 在此基础上证在此基础上证 （5.27）lim( )0 x x t 式成立。式成立。 假设（假设（5.27）式不成立，则由零解的稳定）式不成立，则由零解的稳定 性知解性知解 是有界的，因而由聚点原理是有界的，因而由聚点原理