【公开课课件】人教A版必修五第一章第一节正弦定理

1、正弦定理 在在RtABC中中,各角与其对边各角与其对边(角角A的对边一的对边一 般记为般记为a，其余类似，其余类似)的关系的关系: c a A sin c b B sin 1sinC 不难得到: C c B b A a sinsinsin CB A a b c c c 在非直角三角形在非直角三角形ABCABC中有这样的关系吗中有这样的关系吗? ? A c b a C B b AD c AD CBsin,sin 所以AD=csinB=bsinC, 即 , sinsinC c B b 同理可得, sinsinC c A a C c B b A a sinsinsin 即： D A c b CB 图

2、1 过点A作ADBC于D, 此时有 若三角形是若三角形是锐角三角形锐角三角形, 如图如图1, CC b AD sinsin ）（且 C c B b A a sinsinsin 仿(2)可得 D 若三角形是若三角形是钝角三角形钝角三角形,且角且角C是是钝角钝角如图如图2, 此时也有 c AD B sin 交BC延长线于D,过点A作ADBC， C A c b B 图2 正弦定理: C c B b A a sinsinsin 即 在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等. 思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？ （R为为ABC外接圆半径）外接圆半径）

3、另证1: R C c B b A a 2 sinsinsin 证明：证明： O C/ c b a C B A R C c R c CC CCCBA 2 sin 2 sinsin ,90 R C c B b A a R B b R A a 2 sinsinsin 2 sin ,2 sin 同理 作外接圆O, 过B作直径BC/,连AC/, 另证2: 证明： BacAbcCabS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 B A CD a b c aABC ahS 2 1 而 CbBcADhasinsin CabBacS ABC sin 2 1 sin 2 1 同理 BacAbcCab

4、S ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 ha AbcS ABC sin 2 1 剖析定理、加深理解 1 1、正弦定理可以解决三角形中的问题：、正弦定理可以解决三角形中的问题： 已知已知两角和一边两角和一边，求其他角和边，求其他角和边 已知已知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角，求另一边，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角的对角，进而可求其他的边和角 R C c B b A a 2 sinsinsin 正弦定理：正弦定理： 剖析定理、加深理解 R C c B b A a 2 sinsinsin 正弦定理：正弦定理： 2 2、A+B+C=A+B+C= 3 3、大角对大

5、边，大边对大角、大角对大边，大边对大角 剖析定理、加深理解 R C c B b A a 2 sinsinsin 正弦定理：正弦定理： 4 4、一般地，把三角形的三个角、一般地，把三角形的三个角A A，B B，C C 和它们的对边和它们的对边a a，b b，c c叫做叫做三角形的元三角形的元 素素。已知三角形的几个元素求其他元素。已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫的过程叫解三角形解三角形 剖析定理、加深理解 R C c B b A a 2 sinsinsin 正弦定理：正弦定理： 5 5、正弦定理的变形形式、正弦定理的变形形式 6 6、正弦定理、正弦定理，可以用来判断三角形的，可以用来判断

6、三角形的 形状，其主要功能是实现三角形边角关形状，其主要功能是实现三角形边角关 系的转化系的转化 定理的应用 例例 1 1、在、在ABC ABC 中，已知中，已知c = 10, c = 10, A = 45A = 45。 。, C = 30 , C = 30。 。， ，解三角形解三角形 ( (精确到精确到 0.010.01） 已知两角和任意边，已知两角和任意边， 求其他两边和一角求其他两边和一角 B A C a b c 例 2、 已知a=16， b= ， A=30 . 解三角形 已知两边和其中一边已知两边和其中一边 的对角的对角,求其他边和角求其他边和角 解：由正弦定理 B b A a sin

7、sin 得 2 3 16 30sin316sin sin a Ab B 所以60,或120 当 时60 C=90.32c C=30 .16 sin sin A Ca c 316 当120时 B 16 300 A B C 16 316 变式: a=30, b=26, A=30，解三角形 300 AB C 26 30 解：由正弦定理 B b A a sinsin 得 30 13 30 30sin26sin sin a Ab B 所以25.70, 或180025.70=154.30 由于154.30 +3001800故B只有一解（如图） C=124.30,57.49 sin sin A Ca c 3

8、0 13 7 .25sin 变式: a=30, b=26, A=30，解三角形 300 AB C 26 30 解：由正弦定理 B b A a sinsin 得 30 13 30 30sin26sin sin a Ab B 所以25.70,C=124.30, 57.49 sin sin A Ca c 30 13 7 .25sin a b A B , 三角形中大边对大角 课堂小结课堂小结 （1）三角形常用公式：）三角形常用公式： （2）正弦定理的应用）正弦定理的应用 正弦定理：正弦定理： ABC 111 sinsinsin 222 ABC SabCbcAacB sinsinsin abc ABC

9、2R 课后作业课后作业 P10 习题习题1.1A组组 1， 2（1）（）（2） 已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其他边和求其他边和 角角 1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30. B=90，C=60，c= 313 (2) b=40，c=20，C=45. 练习 注：三角形中角的正弦值小于时，角可能有两解 无解 课堂小结 （2）正弦定理应用范围： 已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况) (1)正弦定理： sinsinsin abc ABC 2R 已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其

10、求其 他边和角时他边和角时,三角形三角形什么情况下有什么情况下有 一解一解,二解二解,无解无解? 课后思考课后思考 例在例在ABC中，已知中，已知a2，b ，A45， 求求B和和c。 22 变式变式1：在在ABC中，已知中，已知a4，b ，A45， 求求B和和c。 22 变式变式2：在在ABC中，已知中，已知a ，b ，A45， 求求B和和c。 22 3 3 4 正弦定理应用二：正弦定理应用二： 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进 而可求其它的边和角而可求其它的边和角。（要注意可能有两解）。（要注意可能有两解） 3 练习练习2、在、在 ABC中，若中，若 a=2bsinA，则，则B A、 B、 C、 D、 3 6 6 5 3 3 2 6 或或或或 登高登高3、在、在 ABC中，中， ，则，则 ABC的形状是的形状是 A、等腰三角形、等腰三角形