动点问题练习(含答案)之欧阳地创编

1、动点问题时间：2021.03. 04创作：欧阳地所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多 个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题 目.解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学 知识解决问题.关键：动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图 1 ,梯形 ABCD 中，AD BC, Z B=90 , AB二 14cm, AD=18cm, BC=21cm,点 P 从 A 开始沿 AD 边以 1cm/ 秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的 速度移动，如果P, Q分别从A, C同时出发，设移动时 间为t秒。当t二时，四边形是平行四边形；6当t二时，四

2、边形是等腰梯形.82、如图2,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上，且DM二1, N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值 为53、如图，在 RtAABC 中，ZACB = 9O 厶=60 , BC = 2 .点 O是AC的中点，过点。的直线/从与AC重合的位置开始，绕点o作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE/AB 交直线/于点E,设直线/的旋转角为J(1)当“度时，四边形QBC是等腰梯形,此时AD的长为;当度时，四边形Q3C是直角梯形,此时AD的长为;(2)当=90时，判断四边形QBC是否为菱形 明理由.解：(1)30, 1;60, 1.5;(2)当Z a =90时，四边形是

3、菱形. Z a 二 Z ACB=90, Z. BC/ED. T CE/AB,ED3C是平行四边形在 RtAC 中，Z/1 妙90, Z5=60, 2,/. Z/t=30.力0=4,力=2血.二忑.在Rt A AOD中，Z4=30,:AD=2.:.80=2.:BABC.又.四边形 妙C是平行四边 形，四边形日矽C是菱形图1(1) 当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：厶ADCACEB;DE二AD + BE;当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE二AD-BE;当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、 AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并 加以证明.解：(1 ) J

4、 Z ACD= Z ACB=90Z CAD+ ZACD=90 Z BCE+ Z ACD二90 ZCAD二ZBCE TAC二BCAAADCACEB J A ADC A CEB Z. CE=AD , CD=BEDE二CE+CD二AD+BE(2) J Z ADC= Z CEB二 Z ACB二90 .Z ACD二 Z CBE 又AC=BC A ACD A CBECE二AD , CD二BEDE二CE-CD二AD-BE(3) 当MN旋转到图3的位置时，DE二BE-AD(或AD二BE-DE, BE二AD+DE 等). Z ADC= Z CEB= Z ACB二900.Z ACD= ZCBE, 又 TAC二BC

5、, A ACD A CBE,.AD二CE, CD二BE,DE二CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题：如图1,四边形ABCD 是正方形，点F是边的中点.ZAEF = 90 ,且 矿交正 方形外角ZDCG的平行线CF于点F,求证：ABEF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点饥 连接处；则A由EC,易所以AE = EF 在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2,如果把“点F是边 的中 点”改为“点E是边BC上（除B, C外）的任意一 点”，其它条件不变，那么结论“A吕EF”仍然成立，你 认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如 果不正确

6、，请说明理由；（2）小华提出：如图3,点F是3C的延长线上（除 C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“A圧EF”仍 然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证 明过程；如果不正确，请说明理由.图1解：（1）正确.证明：在A3上取一点M,BM = BE ZBME = 45, .CF 是外角平分线，/.ZDCF =45, /.ZECF = 135.ZAME = ZECF ZAEB+ZBAE = 90, ZAEB + ZCEF = 90,ZBAE = Z.CEF :./AME /BCF(ASA):.AE = EF (2) 正确.BC E G证明：在BA的延长线上取一点N使AN = CEf连接

7、NE BN = BE :.ZN = ZPCE = 45 四边形ABCD是正方形,:.AD BE.:.ZDAE = ZBEA /. ANAE = ZCEF :.AANE AECF (ASA).AE = EF 6、如图，射线MB上，MB二9, A是射线MB外一点，AB二5且A 到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个 单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.求(1) PAB为等腰三角形的t值；(2) PAB为直 角三角形的t值；(3) 若AB=5且ZABM二45 ,其他条件不变，直接写 出厶PAB为直角三角形的t值7、如图1,在等腰梯形A8CD中，AD/BCf E是佔的中 点，过点 E

8、 作 EF/BC 交 CD 于点 F . AB = 4, BC = 6 , 4 = 60。.求：(1)求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM丄EF交BC 于点M,过M作MN/AB交折线ADC于点连结PN,设 EP = x 当点N在线段4D上时（如图2） , PMN的形状是否发 生改变？若不变，求出pmn的周长；若改变，请说明理 由； 当点N在线段DC上时（如图3）,是否存在点P,使 PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由MM图1图2图3图4 （备图5 （备解（1）如图1,过点作 內丄BC于点G.E为AB: ZBEG = 30.的

9、中点, 在 R仏EBG 中，ZB = 60,BG = -BE = L EG = J矗 2图1即点E到BC的距离为血(2)当点N在线段AD上运动时，PMN的形状不发生改变.PM 丄 EF, EG 丄 EF. :. PM /EG./ EF/BC, :. EP = GM , PM = EG =我 同理伽= AB = 4.如图2，过点P作PH丄MN于H，: MN / AB、ZNMC = ZB = 60, ZPMH = 30.：PH =-PM =2 2/ MH = PMcos30 =二贝U NH = MN MH =4=二2 2 2社 RtHPNH 中，PN = y)NH2+PH2 =+=/ PMN 的

10、周长二 PM + PV + MN = J5 +、/7 + 4当点N在线段DC上运动时，PMN的形状发生改变, 但3NC恒为等边三角形 当时，如图3,作PR丄MN于心则MR = NR.类似，MR = .:. MN = 2MR = 3.: MNC 是等边三2角形，/ MC = MN = 3此时，x = EP = GM =BC-BG-MC = 6-3 = 2. 当MP = MN时，如图4,这时MC = MN = MP = /i 此时，X = EP = GM =6-y/3=5y/3.当 NP = NM 时，如图 5 , ZNPM = ZPMN = 30.则ZPMN = 120,又 ZMNC = 60。

11、，:.ZPNM + ZMNC = 80。.因此点P与F重合，PMC为直角三角形.MC=PMtan30 = l.此时，x = EP = GM =6-1-1 =4.综上所述，当x = 2或4或(5-的)时，PMN为等腰三角 形.8、如图，已知ABC中，AB = AC = 10厘米，眈=8厘米， 点D为A3的中点.(1)如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点 运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒 后，ZBPD与QP是否全等,请说明理由； 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使加与ACOP全等？(2

12、) 若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来 的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC三边运 动，求经过多长时间点P与点Q第一次在AABC的哪条边 上相遇？A解：(1)TUI秒，；.BP = CQ = 3x = 3厘米，.佔=10厘米，点D为初的中点，.BD = 5厘米.又. PC = BC-BP, BC = 8厘米，.PC = 8-3 = 5 厘米，. PC = BD又/ AB = AC二 ZB = ZC 化 HBPD 竺C0P Vp H % BP fCQ v “BPD 竺/CQP /R= /c贝,j BP = PC = 4, CQ = BD = 5 ,CQ 515v = = _BP _

13、4 f 44点P,点Q运动的时间Z = =3秒，3厘米/秒。(2)设经过X秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得1580x = 3x + 2xl0x =4,解得 3秒.x3 = 80点P共运动了 3厘米. V 80 = 2x28+24, .点P、点。在汕边上相遇，80经过三秒点卩与点。第一次在边AB上相遇.9、如图所示，在菱形ABCD中，朋=4, Z別=120 , 力严为正三角形，点F、F分别在菱形的边上滑 动，且F、F不与B. C. 0重合.(1)证明不论F、F在BC. 上如何滑动，总有BUCF;(2)当点F、F在BC. 上滑动时，分别探讨四边形力妙和妙的面积是否发生变化？如果不变，求出这 个

14、定值；如果变化，求出最大(或最小)值.c【答案】解：(1)证明：如图，连接.四边形ABCD为羨形,ZBA&ZEAG60 ,ZQ毋ZE4C60。,Z BA吕Z FAC。:乙 BAXViy ,:乙AB片60 oABC和为等边三角形。ZACF=6Q , AXAB。:.乙 ABB 乙 AFC。在和力6戶中，:乙 BA吕乙 FAC, ABAC,乙 ABB 乙 AFC,:./ABE/ACF ASA。:.B&CF。(2)四边形AECF的面积不变，妙的面积发生变化。理由如下：由(1)得/4BF9ZUCF,则SbASbACFS 四边刑 AECp SAEC SacP SAECSabP S/ABCy是定值。作AHL

15、BC于点，则阱2,S四边形AECF = Sabc =y BC AH = 1bC- JaB-BH亍=43由“垂线段最短”可知：当正三角形力矿的边/4F与垂直时，边肚最短.故/!矿的面积会随着的变化而变化，且当MF最短时，正三角形力矿的面积会最小，又SbCsFS叭昭AECF- SAE*则此时 的面积就会最大.S倚=471-2 屈2-(屈=V3 o:./CEF的面积的最大值是苗。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等 三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。【分析】(1)先求证 侔人C,进而求证如*、/ACD为 等边三角形，得ACF =60 , AO AB,从而求证 ABE3ACF,

16、即可求得昭CF。(2)由厶ABEACF可得S用Sg 故根据S 四边形AEcF-SAE( SaF ShaeM SbA8吕S厶A8C即可得四边形AECF的 面积是定值。当正三角形力仔7的边MF与垂直时，边最短./!矿的面积会随着SF的变化而变化，且当SF 最短时，正三角形力曰7的面积会最小，根据SCES沁gCF 一 SEF,则妙的面积就会最大。10、如图，在AAOB 中，ZAOB二90 , 0A二0B二6, C 为 0B 上一点，射线CD丄0B交AB于点D, 00=2.点P从点A出 发以每秒血个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点 C出发以每秒2个单位长度的速度沿CD方向运动，P、Q 两点同时出

17、发，当点P到达到点B时停止运动，点Q也 随之停止.过点P作PE丄0A于点E, PF丄0B于点F,得 到矩形PEOF.以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形 QMN,斜边MN/OB,且MN二QC.设运动时间为t (单位： 秒).(1) 求th时FC的长度.(2) 求MN二PF时t的值.(3) 当()“和矩形PEOF有重叠部分时，求重叠(阴 影)部分图形面积S与t的函数关系式.(4) 直接写出()“的边与矩形PEOF的边有三个公共点 时t的值.考点分W:相似形综合题.(1) 根据等腰直角三角形，可得AP-V2t, OF=EP=t,再将t=l代入求出 FC的长度；(2) 根据MN=PF,可得关于t的方