3、逆矩阵重点和习题[春苗教育]

1、定理：行列式某一行（或列）的每一元素与另一行 （或列）元素的代数余子式乘积之和为零。 0 2211 ntnjtjtj AaAaAa tj 0 2211 sninsisi AaAaAa si 即: snss inii aaa aaa D 21 21 inii inii aaa aaa 21 21 0 2 2 逆矩阵逆矩阵 一、准备知识 1优讲借鉴 siD si AaAaAa sninsisi 0 2211 结合行列式的展开定理，有： ntnjtjtj AaAaAa 2211 tjD tj 0 2优讲借鉴 引例：若 ，求矩阵X，使：AX=E2 31 21 A 解：设 43 21 xx xx X A

2、X 43 21 31 21 xx xx 10 01 4231 4231 33 22 xxxx xxxx 解线性方程组容易得到：x1=3, x2=2 ,x3=1, x4=1. 问题：对于矩阵A，是否存在一个矩阵A1，使得： EAAAA 11 比较矩阵方程AX=B与数的方程ax=b. 11 23 二、逆矩阵的概念 3优讲借鉴 1.定义：对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使 AB=BA=E，则称A为可逆矩阵（简称可逆），并称B为 A的逆矩阵。 例：对于 ， 11 23 , 31 21 BA 否则称A是不可逆的。 AB=E=BA. 故A是可逆的，并且B为A的逆矩阵。 A的逆矩阵记为：A1，即：

3、A A1= A1 A=E 2.问题： (1)怎么样的方阵才可逆？ (2)若A可逆，逆阵有多少个？ (3)若A可逆，怎样去求它的逆阵A1？ 4优讲借鉴 分析： 设B和C都是A的逆矩阵, 则： AB=BA=E , AC=CA=E, B=BE=B (AC)= (BA) C=EC=C 需证明B=C （证明唯一性常用同一法） 又 注：适当乘上单位阵E，并将E表示成一个矩阵与其 逆阵乘积的形式，是一种常用的技巧。单位阵技巧 3.定理：若A可逆，则A的逆阵唯一。 三、逆阵存在的充分必要条件 1.定理：若A可逆，则 . 0|A 注：如果 ，则称A是非奇异的，否则称A是奇异的。 0|A 5优讲借鉴 ijA 2.

4、伴随矩阵：设An=（aij），令Aij是A的行列式|A|中元 素aij的代数余子式，将这n2个数排成如下n阶方阵: nnnn n n aAA AAA AAA A 21 22212 12111 * （注意 中Aij 的排列） * A称之为A的伴随矩阵。 例：求 的伴随矩阵。 343 122 321 A 6优讲借鉴 34 12 11 A 33 12 12 A 同理可得：, 2, 6, 6, 2 23222113 AAAA , 2, 5, 4 333231 AAA 解：, 2 , 3 A 所以： 2 3 2 6 6 2 4 5 2 0|A *1 | 1 A A A 3.定理：设A为n阶方阵，若 ，则

5、A可逆，且： 7优讲借鉴 1 1 1 一行元素与另一行元素 对应代数余子式乘之和 | 1 A nnnn n n nnnn n n AAA AAA AAA aaa aaa aaa A 21 22212 12111 21 22221 11211 | 1 |A|00 0 |A|0 |A| 0 0 一行元素与对应代 数余子式乘之和 同理：EAA A ) | 1 ( E ) | 1 ( A A A)( | 1 AA A 证明： 8优讲借鉴 例：求 的逆矩阵。 343 122 321 A 解： 343 122 321 A 20 A1存在， , 222 563 462 A 故 A A A 1 1 . 111

6、 25323 231 注:求逆阵需注意:1.Aij的符号(-1)i+j;2. 中Aij的排列。 * A 9优讲借鉴 4.定理：方阵A可逆0|A 推论：若A、B都是n阶矩阵，且AB=E，则BA=E，即 A、B皆可逆, 且A、B互为逆矩阵。 证明： 因为AB=E，所以|A|B|=1，|A|0, |B|0, 故 A、B皆可逆。 BA=EBA=(A1A)BA =A1(AB)A =A1EA =A1A=E 注：1.判断B是否为A的逆, 只需验证AB=E或BA=E的 一个等式成立即可。 2.逆矩阵是相互的。 即：若A1=B，则B1=A. （课本54页推论1） 10优讲借鉴 练习：1.求 的逆矩阵。 121

7、011 322 A 答案：1. 461 351 341 1 A（其中|A|=1） 2.设A、B都是n阶方阵，B可逆，且A2+AB+B2=O， 证明：A和A+B均可逆。 2.提示：只需证明 0, 0BAA 把A2+AB+B2=O改写为A(A+B)=B2 1 )(A思考：A A| 1 11优讲借鉴 四、逆阵的性质 1.若A可逆，则A1也可逆，且(A1)1=A. 2.若A可逆，数 ，则kA也可逆，且： 0k 11 1 )( A k kA 3.若A可逆，则AT也可逆，且 (AT)-1= (A -1)T. 4.若A、B为同阶可逆方阵，则其积AB也可逆，且: (AB)-1= B-1A-1 推广： 1 1

8、1 2 11 21 )( AAAAAA kk 5.若A可逆，|A1|=|A|1 ，(AB)-1 A-1B-1 注：一般的，(kA)-1 kA-1 12优讲借鉴 例：设 求矩阵X， 使 AX=B. , 121 011 322 A, 23 12 21 B 0A 分析：法一：待定系数法 若法二：，则A可逆，由 AX=B可得： X=A1B 461 351 341 23 12 21 1623 1318 1216 注：若YA=B，则Y=BA1. 13优讲借鉴 例：矩阵A、B满足AB=2A+B，求A，其中： 321 011 324 B 分析： AB=2A+B AB2A=B A(B2E)=B 若|B2E|0 ，则A=B (B2E)1 容易错为 A(B2)=B A=B (B2E)1 321 011 324 1 121 011 322 14优讲借鉴 321 011 324 461 351 341 9122 692 683 练习：用逆矩阵解线性方程组 3 22 1 2 2 3