学案3__空间图形的基本关系与公理

1、名师伴你行 名师伴你行 名师伴你行 1.空间图形的基本关系空间图形的基本关系 （1）点与直线的位置关系有）点与直线的位置关系有 两种；两种； （2）点与平面的位置关系有个）点与平面的位置关系有个 两种两种. （3）空间两条直线的位置关系：）空间两条直线的位置关系： 点在直线上和点在直线外点在直线上和点在直线外 点在平面内和点在平面外点在平面内和点在平面外 名师伴你行 直线直线a和直线和直线b在同一个平面内，而且没有公共点，在同一个平面内，而且没有公共点， 这样的两条直线叫作这样的两条直线叫作 ； 直线直线b和和c只有一个公共点，这样的两条直线叫只有一个公共点，这样的两条直线叫 作作 ；不同在任

2、何的一个平面内的两条直线不同在任何的一个平面内的两条直线 叫作叫作 . （4）直线与平面的位置关系）直线与平面的位置关系 直线和平面有无数个公共点称直线和平面有无数个公共点称 ；直线；直线 和平面没有公共点称和平面没有公共点称 ；直线和平面只；直线和平面只 有一个公共点称有一个公共点称 . （5）平面与平面的位置关系）平面与平面的位置关系 异面直线异面直线 平行直线平行直线 相交直线相交直线 直线在平面内直线在平面内 直线和平面平行直线和平面平行 直线和平面相交直线和平面相交 名师伴你行 平面平面和平面和平面没有公共点，称平面没有公共点，称平面与平面与平面 为为 ；两个平面不重合且有公共点，称

3、两个；两个平面不重合且有公共点，称两个 平面为平面为 . 2.空间图形的公理空间图形的公理 公理公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直 线上的线上的 都在这个平面内（即直线在平面都在这个平面内（即直线在平面 内）内）.直线直线a在平面在平面内，记作内，记作 . 公理公理2 经过不在同一条直线上的三点，经过不在同一条直线上的三点， 一个一个 平面（即可以确定一个平面）平面（即可以确定一个平面）. 平行平面平行平面 相交平面相交平面 所有的点所有的点 a 有且只有有且只有 名师伴你行 公理公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么如果两

4、个不重合的平面有一个公共点，那么 它们有且只有它们有且只有 .平面平面与与 平面平面的公共直线为的公共直线为a，记作，记作 . 公理公理4 平行于同一条直线的两条直线平行于同一条直线的两条直线 . 定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行， 那么这两个角那么这两个角 . 相等或互补相等或互补 一条通过这个点的公共直线一条通过这个点的公共直线 =a 平行平行 如图所示，空间四边形如图所示，空间四边形ABCD中，中，E，F，G分别在分别在AB， BC，CD上，且满足上，且满足AE:EB=CF:FB=2:1，CG: GD=3:1，过，过E，F，G的平面交

5、的平面交AD于于H，连接，连接EH. （1）求）求AH:HD； （2）求证：）求证：EH，FG，BD三线共点三线共点. 名师伴你行 证明线共点的问题实质上是证明点在线上证明线共点的问题实质上是证明点在线上 的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线， 点看作是两平面的公共点，由公理点看作是两平面的公共点，由公理3得证得证. 名师伴你行 （1） =2，EFAC. EF平面平面ACD. 而而EF平面平面EFGH，且平面，且平面EFGH平面平面ACD=GH， EFGH.而而EFAC，ACGH. =3，即，即AH:HD=3:1. G GD D C CG G

6、H HD D A AH H = F FB B C CF F E EB B A AE E = 名师伴你行 （2）证明：）证明：EFGH，且，且 ， ， EFGH,四边形四边形EFGH为梯形为梯形. 令令EHFG=P,则则PEH,而而EH 平面平面ABD， PFG，FG 平面平面BCD，平面，平面ABD平面平面BCD=BD， PBD.EH，FG，BD三线共点三线共点. 3 3 1 1 ACAC EFEF = 4 4 1 1 A AC C G GH H = 名师伴你行 所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线 交于一点交于一点. （1）证明三线共点的依据是

7、公理）证明三线共点的依据是公理3. （2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于 一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证 明点在直线上的问题明点在直线上的问题.实际上，点共线、线共点的问题实际上，点共线、线共点的问题 都可以转化为点在直线上的问题来处理都可以转化为点在直线上的问题来处理. 名师伴你行 如图所示，已知空间四边形如图所示，已知空间四边形ABCD，E，F分别是分别是AB， AD的中点，的中点，G，H分别是分别是BC，CD上的点上的点.且且CG= BC， CH= DC.求证：求证： （1）E，

8、F，G，H 四点共面；四点共面； （2）三直线）三直线FH，EG， AC共点共点. 3 3 1 1 3 3 1 1 名师伴你行 （1）连接）连接EF，GH. 由由E,F分别为分别为AB,AD中点，中点， EF BD,由由CG= BC CH= DC， HG BD， EFHG且且EFHG. EF,HG可确定平面可确定平面, E,F,G,H四点共面四点共面. 2 2 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 名师伴你行 （2）由（）由（1）知）知,EFHG为平面图形，且为平面图形，且EFHG， EFHG. 四边形四边形EFHG为梯形，设直线为梯形，设直线FH直线直线EG=O， 点点O直

9、线直线FH，直线，直线FH 面面ACD， 点点O平面平面ACD.同理点同理点O平面平面ABC. 又面又面ACD面面ABC=AC，点点O直线直线AC（公理（公理2）. 三直线三直线FH，EG，AC共点共点. 名师伴你行 在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中中,对角线对角线A1C与平面与平面 BDC1交于点交于点O,AC,BD交于点交于点M,求证求证:点点C1,O,M共线共线. 证明三点共线常用方法是取其中两点确定一证明三点共线常用方法是取其中两点确定一 直线直线,再证明其余点也在该直线上再证明其余点也在该直线上. 名师伴你行 如图如图,A1AC1C, A1A,C1C确定平面确定平面A1C.

10、 A1C 平面平面A1C,OA1C, O平面平面A1C,而而O=平面平面BDC1线线A1C, O平面平面BDC1, O在平面在平面BDC1与平面与平面A1C的交线上的交线上. ACBD=M, M平面平面BDC1且且M平面平面A1C, 平面平面BDC1平面平面A1C=C1M, OCM,即即M,O,C1三点共线三点共线. 名师伴你行 证证 明若干点共线也可用基本性质明若干点共线也可用基本性质3 为依据为依据,找出两找出两 个平面的交线个平面的交线,然后证明各个点都是这两平面的公共点然后证明各个点都是这两平面的公共点. 名师伴你行 如图所示如图所示,已知已知ABC在在 平面平面外外,AB,BC,AC

11、的的 延长线分别交平面延长线分别交平面于于 P,Q,R三点三点.求证求证:P,Q,R 三点共线三点共线. :设设ABC所在平面为所在平面为,因为因为AP=P,AP,所以所以 与与相交于过点相交于过点P的直线的直线l,即即Pl.因为因为BQ=Q,BQ ,所以所以Q,Q.所以所以Ql.同理可证同理可证Rl.所以所以P,Q,R 三点共线三点共线. 名师伴你行 四条直线两两相交且不共点四条直线两两相交且不共点,有两种情况有两种情况:一一 是恰有三条直线共点是恰有三条直线共点;二是任意三条直线均不共点二是任意三条直线均不共点,故应故应 分两种情况证明分两种情况证明. 证明：空间不共点且两两相交的四条直线

12、在同一平面内证明：空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内. 名师伴你行 (1)如图如图,设直线设直线a,b,c 相交于相交于O点点,直线直线d和和a,b,c分别分别 交于交于M,N,P三点三点,份直线份直线d和点和点 O确定平面确定平面. O直线直线a,M直线直线a, 直线直线a平面平面. 同理同理b平面平面,c平面平面. a,b,c,d四线共面四线共面. 名师伴你行 (2)如图如图,设直线设直线a,b,c,d两两相交两两相交,且任意三条不共点且任意三条不共点. 直线直线ab=M,直线直线a和和b确定平面确定平面. ac=N,bc=Q,N,Q都在平面都在平面内内. 直线直线a,b,c,d共

13、面于共面于. 综合（综合（1），（），（2）知）知,两两 两相交而不过同一点的两相交而不过同一点的 四条直线必在同一平面内四条直线必在同一平面内. 所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一 个平面内的问题个平面内的问题.（1）证明点线共面的主要依据：）证明点线共面的主要依据：如如 果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的 所有点都在这个平面内（公理所有点都在这个平面内（公理1）.经过不在同一条直经过不在同一条直 线上的三点，有且只有一个平面（公理线上的三点，有且只有一个平面（公理2）.（2）

14、证明点）证明点 线共面的常用方法线共面的常用方法:纳入平面内：先确定一个平面，再纳入平面内：先确定一个平面，再 证明有关点、线在此平面内证明有关点、线在此平面内.辅助平面法：先证明有关辅助平面法：先证明有关 的点、线确定平面的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，再证明其余元素确定平面，最后，最后 证明平面证明平面,重合重合.反证法反证法.（3）具体操作方法：）具体操作方法：证证 明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一 个平面，再证明其余各点都在这个平面内个平面，再证明其余各点都在这个平面内.证明空间几证明空间几 条直线共面问题可先取

15、两条（相交或平行）直线确定一条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一 个平面，再证明其余直线均在这个平面内个平面，再证明其余直线均在这个平面内. 名师伴你行 如图，正方体如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，中， 判断下列命题是否正确，并说明理由判断下列命题是否正确，并说明理由. （1）直线）直线AC1平面平面CC1B1B； （2）设正方形）设正方形ABCD与与A1B1C1D1 的中心分别为的中心分别为O，O1，平面，平面AA1C1C 平面平面BB1D1D=OO1； （3）点）点A，O，C可以确定一个平面；可以确定一个平面； （4）由点）由点A，C1，B1确定的平面是确定的平面是AD

16、C1B1； （5）由）由A，C1，B1确定的平面和由确定的平面和由A，C1， D确定的平面是同一平面确定的平面是同一平面. 名师伴你行 (1)错误，若错误，若AC1平面平面CC1B1B，则，则A平面平面 CC1B1B，这与，这与A 平面平面CC1B1B的几何事实矛盾的几何事实矛盾. (2)正确，正确，O，O1是这两个平面的两个公共点是这两个平面的两个公共点. (3)错误错误,点点A，O，C在同一直线上在同一直线上. (4)正确，正确，A，C1，B1不共线，不共线，确定平面确定平面. AB1C1D是平行四边形，过是平行四边形，过AD与与B1C1两平行线确定两平行线确定 一平面一平面, 又又,都过

17、不共线三点都过不共线三点A,C1,B1，与与重合重合. 点点D平面平面AC1B1，即，即A,C1,B1确定的平面是确定的平面是ADC1B1. (5)正确，同（正确，同（4）. 名师伴你行 如图所示，正方体如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，中，M，N分别是分别是 A1B1，B1C1的中点的中点.问：问： （1）AM和和CN是否是异面直线？是否是异面直线？ （2）D1B和和CC1是否是异面直是否是异面直 线？请说明理由线？请说明理由. （1）由于）由于M,N分别是分别是A1B1和和B1C1的中点，可的中点，可 证明证明MNAC，因此，因此AM与与CN不是异面直线不是异面直线.（2）由空

18、）由空 间图形可感知间图形可感知D1B和和CC1为异面直线的可能性较大，判为异面直线的可能性较大，判 断的方法可用反证法断的方法可用反证法. 名师伴你行 （1）不是异面直线）不是异面直线.理由如下：理由如下： M,N分别是分别是A1B1,B1C1的中点的中点, MNA1C1， 又又A1A D1D,而而D1D C1C， A1A C1C，四边形四边形A1ACC1为平行四边形为平行四边形. A1C1AC，得到，得到MNAC， A,M,N,C在同一个平面内，故在同一个平面内，故AM和和CN不是异面直线不是异面直线. 名师伴你行 （2）是异面直线，证明如下：）是异面直线，证明如下： 假设假设D1B与与C

19、C1在同一个平面在同一个平面D1CC1内，内， 则则B平面平面CC1D1，C平面平面CC1D1. BC平面平面CC1D1， 这与正方体这与正方体ABCDA1B1C1D1中中BC面面CC1D1相矛盾相矛盾. 假设不成立，故假设不成立，故D1B与与CC1是异面直线是异面直线. 名师伴你行 名师伴你行 判定异面直线的常用方法有：（判定异面直线的常用方法有：（1）定义法；（）定义法；（2） 反证法；（反证法；（3）判定定理法，应用异面直线判定定理来判）判定定理法，应用异面直线判定定理来判 定时，应注意是否满足它的定时，应注意是否满足它的“四要素四要素”，即，即点点A平平 面面,B ,直线直线a,A a

20、,则直线则直线AB与与a异面异面. 如图所示，如图所示，E,F在在AD上，上， G,H在在BC上，图中上，图中8条线条线 段所在的直线，哪些直线段所在的直线，哪些直线 互 为 异 面 直 线 ？互 为 异 面 直 线 ？ 先找规律性较强的直线，如先找规律性较强的直线，如AB与与CD，AC与与BD，AD与与 BC互为异面直线，然后再把互为异面直线，然后再把EG添入，那么易得添入，那么易得EG分别分别 与与AB,AC,BD,DC成异面直线成异面直线.同理，同理，FH也与它们分别成也与它们分别成 异面直线，异面直线，EG与与FH也互为异面直线也互为异面直线.每两条异面直线称每两条异面直线称 为为“一

21、对一对”，则共有，则共有12对异面直线对异面直线. 名师伴你行 本题首先要考虑将题目中的直线本题首先要考虑将题目中的直线AB与与 CD所成的角是所成的角是60反映在图形上反映在图形上 ，故要考虑添加辅，故要考虑添加辅 助线，通常取中点将其中的直线进行平移，从而得解助线，通常取中点将其中的直线进行平移，从而得解. 在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，AB=CD且其所成的角是且其所成的角是 60，点，点M,N分别是分别是BC,AD的中点的中点.求直线求直线AB与与MN所所 成的角成的角. 名师伴你行 取取AC的中点的中点P，连结，连结PM,PN，则有，则有 PMAB，且，且PM= AB.PNC

22、D，且，且PN= CD. 又又AB=CD且其所成的角是且其所成的角是60， PM=PN，MPN=120或或60. MPN=60或或30， 即直线即直线AB与与MN所成的角为所成的角为 60或或30. 2 2 1 1 2 2 1 1 名师伴你行 求异面直线所成的角主要有定义法求异面直线所成的角主要有定义法(平移法平移法)和向量法和向量法. 利用定义法利用定义法(平移法平移法)求异面直线所成角的一般步骤为求异面直线所成角的一般步骤为: (1)平移平移:选择适当的点选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条平移异面直线中的一条或两条 成为相交直线成为相交直线,这里的点通常选择特殊位置的点这里的点通常选

23、择特殊位置的点,如线段的如线段的 中点或端点中点或端点,也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点. (2)证明证明:证明所作的角是异面直线所成的角证明所作的角是异面直线所成的角. (3)寻找寻找:在立体图形中在立体图形中,寻找或作出含有此角的三角形寻找或作出含有此角的三角形, 并解之并解之. (4)取舍取舍:因为异面直线所成角因为异面直线所成角的取值范围是的取值范围是0 90,所以所作的角为钝角时所以所作的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线应取它的补角作为异面直线 所成的角所成的角. 名师伴你行 如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为中，底面是边长为2的菱的菱 形，形，DAB=60,