实验1 多元函数微分学(基础实验)指导书

1、附录 大学数学实验指导书项目三 多元函数微积分实验1 多元函数微分学（基础实验）实验目的 掌握利用mathematica计算多元函数偏导数和全微分的方法, 掌握计算二元函数极值和条件极值的方法. 理解和掌握曲面的切平面的作法. 通过作图和观察, 理解二元函数的性质、方向导数、梯度和等高线的概念.求多元函数的偏导数与全微分例1.1 (教材 例1.1) 设求输入clearz;z=sinx*y+cosx*y2;dz,xdz,ydz,x,2dz,x,y则输出所求结果.例1.2 设求和全微分dz.输入clearz;z=(1+x*y)y;dz,xdz,y则有输出再输入dtz则得到输出例1.3 (教材 例1

2、.2) 设其中a是常数, 求dz.输入clearz,a;z=(a+x*y)y;wf=dtz,constants-a/simplify则输出结果:(a+xy)-1+y(y2dtx,constants-a+ dty,constants-a(xy+(a+xy)loga+xy)其中dtx,constants-a就是dx, dty,constants-a就是dy. 可以用代换命令“/.”把它们换掉. 输入wf/.dtx,constants-a-dx,dty,constants-a-dy输出为(a+xy)-1+y(dxy2+dy(xy+(a+xy)loga+xy)例1.4 (教材 例1.3) 设,求输入

3、eq1=dx=eu+u*sinv,x,nonconstants-u,v(*第一个方程两边对x求导数, 把u,v看成x,y的函数*)eq2=dy=eu-u*cosv,x,nonconstants-u,v(*第二个方程两边对x求导数, 把u,v看成x,y的函数*)solveeq1,eq2,du,x,nonconstants-u,v,dv,x,nonconstants-u,v/simplify(*解求导以后由eq1,eq2组成的方程组*)则输出 其中du,x,nonconstants-u,v表示u对x的偏导数, 而dv,x,noncosnstants-u,v表示v对x的偏导数. 类似地可求得u,v对

4、y的偏导数.微分学的几何应用例1.5 求出曲面在点(1,1)处的切平面、法线方程, 并画出图形.解(1) 画出曲面的图形. 曲面的参数方程为输入命令clearf;fx_,y_=2x2+y2;p1=plot3dfx,y,x,-2,2,y,-2,2;g1=parametricplot3dr*sinu/sqrt2.,r*cosu,r2,u,0,2*pi,r,0,2则输出相应图形(图1.2).图1.2 (2) 画出切平面的图形. 输入命令a=dfx,y,x/.x-1,y-1;b=dfx,y,y/.x-1,y-1;px_,y_=f1,1+a(x-1)+b(y-1);g2=plot3dpx,y,x,-2,

5、2,y,-2,2;则输出切平面方程为及相应图形(图1.3).图1.3 (3) 画出法线的图形. 输入命令lyx_=1+b(x-1)/a;lzx_=f1,1-(x-1)/a;g3=parametricplot3dx,lyx,lzx,x,-2,2;showp1,g2,g3,aspectratio-automatic,viewpoint-2.530,-1.025,2.000;则输出相应图形(图1.4).图1.4例1.6 (教材 例1.4) 求曲面在点处的切平面方程, 并把曲面和它的切平面作在同一图形里.输入cleark,z;kx_,y_=4/(x2+y2+1);(*定义函数k(x,y)*)kx=dk

6、x,y,x/.x-1/4,y-1/2;(*求函数k(x,y)对x的偏导数, 并代入在指定点的值*)ky=dkx,y,y/.x-1/4,y-1/2;(*求函数k(x,y)对y的偏导数, 并代入在指定的值*)z=kx*(x-1/4)+ky*(y-1/2)+k1/4,1/2;(*定义在指定点的切平面函数*)再输入qm=plot3dkx,y,x,-2,2,y,-2,2,plotrange-0,4,boxratios-1,1,1,plotpoints-30,displayfunction-identity;qpm=plot3dz,x,-2,2,y,-2,2,displayfunction-identit

7、y;showqm,qpm,displayfunction-$displayfunction则输出所求曲面与切平面的图形（图1.5）.图1.5多元函数的极值例1.7 (教材 例1.5) 求的极值.输入clearf;fx_,y_=x3-y3+3x2+3y2-9x;fx=dfx,y,xfy=dfx,y,ycritpts=solvefx=0,fy=0则分别输出所求偏导数和驻点:x-3,y-0,x-3,y-2,x-1,y-0,x-1,y-2再输入求二阶偏导数和定义判别式的命令fxx=dfx,y,x,2;fyy=dfx,y,y,2;fxy=dfx,y,x,y;disc=fxx*fyy-fxy2输出为判别式

8、函数的形式:(6+6x)(6-6y)再输入data=x,y,fxx,disc,fx,y/.critpts;tableformdata,tableheadings-none, x , y , fxx , disc , f 最后我们得到了四个驻点处的判别式与的值并以表格形式列出.xyfxxdiscf-30-12-7227-32-127231101272-51212-72-1易见,当时判别式disc=72, 函数有极大值31;当时判别式disc=72, 函数有极小值-5;当和时, 判别式disc=-72, 函数在这些点没有极值.最后,把函数的等高线和四个极值点用图形表示出来,输入d2=x,y/.cr

9、itpts;g4=listplotd2,plotstyle-pointsize0.02,displayfunction-identity;g5=contourplotfx,y,x,-5,3,y,-3,5,contours-40,plotpoints-60,contourshading-false,frame-false,axes-automatic,axesorigin-0,0,displayfunction-identity;showg4,g5,displayfunction-$displayfunction则输出图1.6.图1.6从上图可见, 在两个极值点附近, 函数的等高线为封闭的. 在

10、非极值点附近, 等高线不封闭. 这也是从图形上判断极值点的方法.注:在项目一的实验4中,我们曾用命令findminimum来求一元函数的极值, 实际上,也可以用它求多元函数的极值, 不过输入的初值要在极值点的附近. 对本例,可以输入以下命令findminimumfx,y,x,-1,y,1则输出-5.,x-1.,y-2.3660310-8从中看到在的附近函数有极小值-5, 但y的精度不够好.例1.8 求函数在条件下的极值.输入clearf,g,la; fx_,y_=x2+y2;gx_,y_=x2+y2+x+y-1;lax_,y_,r_=fx,y+r*gx,y;extpts=solvedlax,y

11、,r,x=0,dlax,y,r,y=0,dlax,y,r,r=0得到输出再输入fx,y/.extpts/simplify得到两个可能是条件极值的函数值但是否真的取到条件极值呢? 可利用等高线作图来判断.输入dian=x,y/.tableextptss,j,s,1,2,j,2,3g1=listplotdian,plotstyle-pointsize0.03,displayfunction-identitycp1=contourplotfx,y,x,-2,2,y,-2,2,contours-20,plotpoints-60,contourshading-false,frame-false,axes

12、-automatic,axesorigin-0,0,displayfunction-identity;cp2=contourplotgx,y,x,-2,2,y,-2,2,plotpoints-60,contours-0,contourshading-false,frame-false,axes-automatic,contourstyle-dashing0.01,axesorigin-0,0,displayfunction-identity;showg1,cp1,cp2,aspectratio-1,displayfunction-$displayfunction输出为及图1.7. 从图可见，在

13、极值可疑点处, 函数的等高线与曲线(虚线)相切. 函数的等高线是一系列同心圆, 由里向外, 函数值在增大, 在的附近观察, 可以得出取条件极大的结论. 在 的附近观察, 可以得出取条件极小的结论.图1.7梯度场例1.9 画出函数的梯度向量.解 输入命令graphicscontourplot3dgraphicsplotfield3d1.0,axes-true,axeslabel-x,y,z;vecplot3d=plotgradientfield3df,x,-1.1,1.1,y,-1.1,1.1,z,-2,2,plotpoints-3,vectorheads-true;showvecplot3d,

14、 cp3d;则输出相应图形(图1.8)图1.8例1.10 在同一坐标面上作出 和 的等高线图(), 并给出它们之间的关系.解 输入命令calculusvectoranalysisidentity;uplot=contourplotu,x,-2,2,y,-2,2,contourstyle-graylevel0,contourshading-false,displayfunction-identity,contours-40,plotpoints-40;g1=showuplot,ugradplot,displayfunction-$displayfunction;vgradplot=plotgra

15、dientfieldv,x,-2,2,y,-2,2,displayfunction-identity;vplot=contourplotv,x,-2,2,y,-2,2,contourstyle-graylevel0.7,contourshading-false,displayfunction-identity,contours-40,plotpoints-40;g2=showvplot,vgradplot,displayfunction-$displayfunction;g3=showuplot,vplot,displayfunction-$displayfunction;g4=showugr

16、adplot,vgradplot,displayfunction-$displayfunction;则输出相应图形(图1.9)，其中(a) 的梯度与等高线图;(b) 的梯度与等高线图;(c) 与的等高线图;(d) 与的梯度图. (a) (b) (c) (d)图1.9从上述图中可以看出它们的等高线为一族正交曲线. 事实上, 有且它们满足拉普拉斯方程例1.11 (教材 例1.6) 设作出的图形和等高线, 再作出它的梯度向量gradf的图形. 把上述等高线和梯度向量的图形叠加在一起, 观察它们之间的关系.输入调用作向量场图形的软件包命令60, contours-25,contourshading-f

17、alse,frame-false,axes-automatic,axesorigin-0,0td=plotgradientfieldfx,y,x,-2,2,y,-2,2,frame-falseshowdgx,td输出为图1.10. 从图可以看到平面上过每一点的等高线和梯度向量是垂直的, 且梯度的方向是指向函数值增大的方向.图1.10例1.12 求出函数的极值, 并画出函数的等高线、驻点以及的梯度向量的图形.输入命令false,plotpoints-100,contours-4,-2,0,2,4,10,20;fieldplot=plotgradientfield-f,x,-2,2,y,-3,3,

18、scalefunction-(tanh#/5&);critptplot=listplot-sqrt2,-2*sqrt2,0,0,sqrt2,2*sqrt2,plotstyle-pointsize0.03;showconplot,fieldplot,critptplot;则得到的最小值以及函数的图形(图1.11).图1.11 实验2 多元函数积分学（基础实验）实验目的掌握用mathematica计算二重积分与三重积分的方法; 深入理解曲线积分、曲面积分的概念和计算方法. 提高应用重积分和曲线、曲面积分解决各种问题的能力. 计算重积分 例2.1 (教材 例2.1) 计算 其中为由 所围成的有界区域

19、.先作出区域的草图, 易直接确定积分限,且应先对积分, 因此, 输入 integratex*y2,y,1,2,x,2-y,sqrty则输出所求二重积分的计算结果 例2.2 (教材 例2.2) 计算 其中为 如果用直角坐标计算, 输入clearf,r;fx,y=exp-(x2+y2);integratefx,y,x,-1,1,y,-sqrt1-x2,sqrt1-x2则输出为 其中erf是误差函数. 显然积分遇到了困难. 如果改用极坐标来计算, 也可用手工确定积分限. 输入 integrate(fx,y/.x-r*cost,y-r*sint)*r,t,0,2 pi,r,0,1 则输出所求二重积分的

20、计算结果 如果输入 nintegrate(fx,y/.x-r*cost,y-r*sint)*r,t,0,2 pi,r,0,1 则输出积分的近似值 1.98587例2.3 (教材 例2.3) 计算, 其中由曲面与围成. 先作出区域的图形. 输入 g1=parametricplot3dsqrt2*sinfi*costh, sqrt2*sinfi*sinth, sqrt2*cosfi,fi,0,pi/4,th,0,2pig2=parametricplot3dz*cost,z*sint,z,z,0,1,t,0,2pishowg1,g2,viewpoint-1.3,-2.4,1.0则分别输出三个图形（图

21、2.1(a), (b), (c)）.(a)(b) 图2.1考察上述图形, 可用手工确定积分限. 如果用直角坐标计算, 输入 gx_,y_,z_=x2+y2+z; integrategx,y,z,x,-1,1,y,-sqrt1-x2, sqrt1-x2, z,sqrtx2+y2,sqrt2-x2-y2执行后计算时间很长, 且未得到明确结果.现在改用柱面坐标和球面坐标来计算. 如果用柱坐标计算,输入 integrate(gx,y,z/.x-r*coss,y-r*sins)*r, r,0,1,s,0,2pi,z,r,sqrt2-r2则输出 如果用球面坐标计算,输入integrate(gx,y,z/.

22、x-r*sinfi*cost,y-r*sinfi*sint,z-r*cosfi)*r2*sinfi,s,0,2pi,fi,0,pi/4,r,0,sqrt2则输出 这与柱面坐标的结果相同.重积分的应用 例2.4 求由曲面与所围成的空间区域的体积. 输入clearf,g;fx_,y_=1-x-y;gx_,y_=2-x2-y2;plot3dfx,y,x,-1,2,y,-1,2plot3dgx,y,x,-1,2,y,-1,2show%,%一共输出三个图形, 最后一个图形是图2.1.图2.2首先观察到的形状. 为了确定积分限, 要把两曲面的交线投影到平面上输入 jx=solvefx,y=gx,y,y得到

23、输出 为了取出这两条曲线方程, 输入 y1=jx1,1,2 y2=jx2,1,2输出为 再输入tu1=ploty1,x,-2,3,plotstyle-dashing0.02,displayfunction-identity;tu2=ploty2,x,-2,3,displayfunction-identity;showtu1,tu2,aspectratio-1, displayfunction-$displayfunction输出为图2.2, 由此可见,是下半圆(虚线),是上半圆,因此投影区域是一个圆.图2.2设的解为与,则为的积分限. 输入 xvals=solvey1=y2,x输出为 为了取出

24、, 输入 x1=xvals1,1,2x2=xvals2,1,2输出为 这时可以作最后的计算了. 输入volume=integrategx,y-fx,y,x,x1,x2,y,y1,y2/simplify输出结果为 例2.5 (教材 例2.4) 求旋转抛物面在平面上部的面积 先调用软件包, 输入 r*cost,y-r*sint;integratez1*r,t,0,2 pi,r,0,2/simplify则输出所求曲面的面积 例2.6 在平面内有一个半径为2的圆, 它与轴在原点相切, 求它绕轴旋转一周所得旋转体体积.先作出这个旋转体的图形. 因为圆的方程是它绕轴旋转所得的圆环面的方程为, 所以圆环面的

25、球坐标方程是 输入 sphericalplot3d4 sint,t,0,pi,s,0,2 pi,plotpoints-30,viewpoint-4.0,0.54,2.0输出为图2.4. 图2.4这是一个环面, 它的体积可以用三重积分计算(用球坐标). 输入integrater2*sint,s,0,2 pi,t,0,pi,r,0,4 sint得到这个旋转体的体积为计算曲线积分例2.7 (教材 例2.5) 求 , 其中积分路径为: 注意到,弧长微元, 将曲线积分化为定积分,输入 clearx,y,z; luj=t,t2,3t2;dluj,t则输出对的导数 再输入 ds=sqrtdluj,t.dlu

26、j,t;integrate(sqrt1+30 x2+10y/.x-t, y-t2,z-3t2)*ds,t,0,2则输出所求曲线积分的结果:326/3.例2.8 (教材 例2.6) 求, 其中 输入 vecf=x*y6,3x*(x*y5+2);vecr=2*cost,sint;integrate(vecf.dvecr,t)/.x-2cost,y-sint, t,0,2 pi则输出所求积分的结果12 例2.9 求锥面与柱面的交线的长度. 先画出锥面和柱面的交线的图形. 输入g1=parametricplot3dsinu*cosv, sinu*sinv,sinu, u,0,pi,v,0,2pi,di

27、splayfunction-identity;g2=parametricplot3dcost2,cost*sint,z,t,0,2pi,z,0,1.2, displayfunction-identity;showg1,g2,viewpoint-1,-1,2,displayfunction-$displayfunction输出为图2.5.图2.5输入直接作曲线的命令parametricplot3dcost2,cost*sint,cost,t,-pi/2,pi/2, viewpoint-1,-1,2,ticks-false输出为图2.6.图2.6为了用线积分计算曲线的弧长, 必须把曲线用参数方程表

28、示出来. 因为空间曲线的投影曲线的方程为, 它可以化成,再代入锥面方程, 得 因为空间曲线的弧长的计算公式是, 因此输入clearx,y,z;x=cost2;y=cost*sint;z=cost;qx=x,y,z;integratesqrtdqx,t. dqx,t/simplify,t,-pi/2,pi/2输出为 2elliptice-1这是椭圆积分函数. 换算成近似值. 输入 %/n输出为 3.8202 计算曲面积分例2.10 (教材 例2.7) 计算曲面积分, 其中为锥面被柱面所截得的有限部分.注意到,面积微元, 投影曲线的极坐标方程为将曲面积分化作二重积分,并采用极坐标计算重积分.输入c

29、learf,g,r,t;fx_,y_,z_=x*y+y*z+z*x;gx_,y_=sqrtx2+y2;mj=sqrt1+dgx,y,x2+dgx,y,y2/simplify;integrate(fx,y,gx,y*mj/.x-r*cost,y-r* sint)*r,t,-pi/2,pi/2,r,0,2cost则输出所求曲面积分的计算结果 例2.11 计算曲面积分 其中为球面的外侧. 可以利用两类曲面积分的关系, 化作对曲面面积的曲面积分. 这里. 因为球坐标的体积元素注意到在球面上, 取后得到面积元素的表示式: 把对面积的曲面即直接化作对的二重积分. 输入cleara,fa,ds;a=x3,y

30、3,z3;fa=x,y,z/a;ds=a2*sinu;integrate(a.fa/.x-a*sinu*cosv,y-a*sinu*sinv, z-a*cosu)*ds/simplify,u,0,pi,v,0,2pi输出为 如果用高斯公式计算, 则化为三重积分, 其中为. 采用球坐标计算, 输入 r*sinu*cosv,y-r*sinu*sinv,z-r*cosu)*r2sinu,v,0,2pi,u,0,pi,r,0,a输出结果相同.实验3 最小二乘拟合（基础实验）实验目的 了解曲线拟合问题与最小二乘拟合原理. 学会观察给定数表的散点图, 选择恰当的曲线拟合该数表.最小二乘拟合原理给定平面上的

31、一组点寻求一条曲线使它较好的近似这组数据, 这就是曲线拟合. 最小二乘法是进行曲线拟合的常用方法.最小二乘拟合的原理是, 求使达到最小. 拟合时, 选取适当的拟合函数形式其中称为拟合函数的基底函数.为使取到极小值, 将的表达式代入, 对变量求函数的偏导数, 令其等于零, 就得到由个方程组成的方程组, 从中可解出曲线拟合例3.1 (教材 例3.1) 为研究某一化学反应过程中温度对产品得率的影响, 测得数据如下:x100110120130140150160170180190y45515461667074788589试求其拟合曲线.输入点的坐标, 作散点图, 即输入b2=100,45,110,51,

32、120,54,130,61,140,66,150,70,160,74,170,78,180,85,190,89;fp=listplotb2则输出题设数据的散点图.通过观察发现散点基本位于一条直线附近, 可用直线拟合. 输入fitb2,1,x,x (*用fit作拟合, 这里是线性拟合*)则输出拟合直线-2.73939+0.48303x作图观察拟合效果. 输入gp=plot%,x,100,190,plotstyle-rgbcolor1,0,0,displayfunction-identity; (*作拟合曲线的图形*)showfp,gp,displayfunction-$displayfuncti

33、on (*显示数据点与拟合曲线*)则输出平面上的点与拟合抛物线的图形（图3.1）. 图3.1例3.2 (教材 例3.2) 给定平面上点的坐标如下表:试求其拟合曲线.输入data=0.1,5.1234,0.2,5.3057,0.3,5.5687,0.4, 5.9378,0.5,6.4337,0.6,7.0978,0.7,7.9493,0.8,9.0253,0.9,10.3627;pd=listplotdata;则输出题设数据的散点图.观察发现这些点位于一条抛物线附近. 用抛物线拟合, 即取基底函数 输入f=fitdata,1,x,x2,x则输出5.30661-1.83196x+8.17149x2

34、再输入fd=plotf,x,0,1,displayfunction-identity;showpd,fd,displayfunction-$displayfunction则输出平面上的点与拟合抛物线的图形（图3.2）. 图3.2下面的例子说明fit的第二个参数中可以使用复杂的函数, 而不限于等.例3.3 (教材 例3.3) 使用初等函数的组合进行拟合的例子.先计算一个数表. 输入ft=tablen1+2exp-x/3,x,10则输出2.43306,2.02683,1.73576,1.52719,1.37775,1.27067,1.19394,1.13897,1.09957,1.07135然后用

35、基函数来做曲线拟合. 输入fitft,1,sinx,exp-x/3,exp-x,x则输出拟合函数其中有些基函数的系数非常小, 可将它们删除. 输入chop%则输出实际上,我们正是用这个函数做的数表. 注:命令chop的基本格式为chopexpr,其含义是去掉表达式expr的系数中绝对值小于的项,的默认值为.实验4 水箱的流量问题（综合实验）实验目的 掌握应用最小二乘拟合原理分析和解决实际问题的思想和方法,能通过观察测试数据的散点图,建立恰当的数学模型,并用所学知识分析和解决所给问题.问题 (1991年美国大学生数学建模竞赛的a题. 问题中使用的长度单位为e(英尺, 1 e=30.24cm),

36、容积单位是g(加仑, 1 g=3.785l).某些州的用水管理机构需估计公众的用水速度(单位:g/h)和每天的总用水量. 许多供水单位由于没有测量流入或流出量的设备, 而只能测量水箱中的水位(误差不超过5%). 当水箱水位低于水位l时, 水泵开始工作将水灌入水箱, 直至水位达到最高水位h为止. 但是依然无法测量水泵灌水流量, 因此, 在水泵工作时无法立即将水箱中的水位和水量联系起来. 水泵一天灌水12次, 每次约2h. 试估计在任一时刻(包括水泵灌水期间) t流出水箱的流量并估计一天的总用水量.表1给出了某镇某一天的真实用水数据. 水箱是直径为57e, 高为40e的正圆柱体. 当水位落到27e

37、以下, 水泵自动启动把水灌入水箱; 当水位回升至35.5e时, 水泵停止工作.表1 时间/s水位e时间/s水位e03316663510619139371792121240252232854332284359323933239435433183175311030542994294728922850279527522697泵水泵水355034454663649953539365725460574645546853571854750217925482649859688995393270335032603167308730122927284227672697泵水泵水347533973340模型假设(1

38、) 影响水箱流量的唯一因素是该区公众对水的普通需求. 所给数据反映该镇在通常情况下一天的用水量, 不包括任何非常情况, 如水泵故障、水管破裂、自然灾害等. 并且认为水位高度、大气情况、温度变化等物理因素对水的流速均无直接影响;(2) 水泵的灌水速度为常数;(3) 从水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度. 为了满足公众的用水需求不让水箱中的水用尽, 这是显然的要求;(4) 因为公众对水的消耗量是以全天的活动(诸如洗澡、做饭、洗衣服等)为基础的, 所以,可以认为每天的用水量分布都是相似的;(5) 水箱的水流量速度可用光滑曲线来近似.问题分析与模型建立为方便起见,记v表示水的容积;表示时刻 (单

39、位:h)水的容积;表示流出水箱的水的流速(单位;g/h),它是时间的函数;p表示水泵的灌水速度(g/h).先将表1中数据作变换, 时间单位用小时(h), 水位高转换成水的体积(单位: ). 输入tt=0,3316,6635,10619,13937,17921,21240,25223, 28543,32284,35932,39332,39435,43318,46636,49953,53936,57254,60574,64554,68535,71854,75021,79254,82649,85968,89953,93270/3600/nvv=pi*(57/2)2*3175,3110,3054,29

40、94,2947,2892, 2850,2795,2752,2697,no_data,no_data,3550,3445,3350,3260,3167,3087,3012,2927,2842,2767,2697,no_data,no_data,3475,3397,3340*10(-2)*7.481/103/n则输出下表.表2 时间/h水量/g时间/h水量/g0.0.9211111.843062.949723.871394.978065.97.006397.928618.967789.9811110.925610.954212.0328606.098593.69583.571.546562.574

41、552.074544.057533.557525.349514.849no_datano_data677.685657.6412.954413.8755814.982215.903916.826117.931719.037519.959420.839222.01522.958123.8824.986925.9083639.505622.324604.571598.299574.982558.756542.529528.212514.849no_datano_data663.367648.477637.593由于要求的是水箱流量与时间的关系, 因此须由表2的数据计算出相邻时间区间的中点及在时间区

42、间内水箱中流出的水的平均速度.平均流速=(区间左端点的水量-区间右端点的水量)/时间区间长度输入tt1=table(tti+1+tti)/2,i,27vv1=table(vvi-vvi+1)/(tti+1-tti),i,27则输出下表表3 时间区间的中点值/h平均水流量/g/h时间区间的中点值/h平均水流量/g/h0.4605561.382082.396393.410564.424725.439036.453197.46758.448199.4744410.453310.939911.493512.493613.47111.595310.34989.734719.487358.696499.4

43、89748.9008610.1036no_datano_datano_data18.583319.676613.415114.42915.443116.36517.378918.484619.498520.399321.427122.486523.41924.433525.447618.646616.046316.569715.524814.67714.673315.529415.1898no_datano_datano_data13.451411.8095模型求解为了作出时间tt1与平均水流量vv1之间的散点图, 先输入调用统计软件包的命令 identity;showg1,fg,displa

44、yfunction-$displayfunction则输出图4.2.图4.2求解结果将h和h代入到水的流速拟合函数我们得到这两时刻的流速分别近似为13532.5g/h和13196.1g/h,相差仅2.48587%, 从而可以认为能近似表达一天的用水流量.于是, 一天里的用水总量近似地等于函数在24小时周期内的积分. 输入integrateft,t,0.46,24.46则输出336013.g若按常规每1000人的用水量为105000g/d, 因此估计出这个地区大约有3200人.模型评价该模型数学概念简单, 并且容易实现, 任意时刻从水箱中流出水的速度都可通过该模型计算出来, 可以推测速度. 但数据太少, 只能参照一天的数据. 另外, 如果知道水泵的灌水速度, 就能更准确地估算水泵灌水期间水的流速.实验报告某装饰材料商店欲以每瓶2元的成本价购进一批彩漆. 一般来说, 随着彩漆售价的提高,预期销售量将减少, 对此进行了估算, 见下表.为了尽快收回资金并获得较多的赢利, 装饰材料商店打算做广告. 投入一定的广告费后,销售量将有一个增长, 可由