拉格朗日方程的应用及举例08讲

1、拉格朗日方程的应用及举例拉格朗日方程有以下几个特点：（1）拉格朗日方程适用于完整系统，可以获得数目最 少的运动微分方程，即可以建立与自由度数目相同的n个方程，是一个包含 n个二阶常微分方程组，方程组的阶数为 2n。求解这个方程组可得到以广义坐标描述的系统运动方程。（2）拉格朗日方程的形式具有不变性。对于任意坐标具有统一的形式，即不随坐标的选取而变化。特别是解题时有径直的程序可循，应用方便。（3）所有的理想约束的约束反力均不出现在运动微分方程中。系统的约束条件愈多，这个特点带来的便利越突出。（4）拉格朗日方程是以能量的观点建立起来的方程，只含有表征系统运动的动能和表征主动力作用 的广义力，避开了

2、力、速度、加速度等矢量的复杂运算。（5）拉格朗日方程不但可以建立相对惯性系的运动，还可以直接建立相对非惯性系的动力学方程，只要写出的动能是绝对 运动的动能即可，至于方程所描述的运动是对什么参考系的运动，则取决于所选的广义坐 标。纵观拉格朗日方程，看出分析力学在牛顿力学的基础上，提出严密的分析方法，从描 述系统的位形到建立微分方程都带有新的飞跃。我们还应看到，虽然拉格朗日方法在理论 上和应用上都有重要的价值，但是，牛顿力学的价值并未降低，特别是它的几何直观性和 规格化的方法使人乐于应用，由于计算机的广泛使用，牛顿一欧拉方法又有所发展。我们 将会看到，用拉格朗日方程求解，在获得数量最少的运动微分方

3、程时，其求导过程有时过 于繁琐，并有较多的耦合项。应用拉格朗日方程建立动力学方程时，应首先建立以广义坐标 q和广义速度q表示的动能函数和广义力 q。为此，首先讨论动能的计算和广义力的计算，在此基础上，再讨论拉 格朗日方程的应用。、动能的计算对于系统的动能，可以写出关于广义速度 q的齐次函数的表达式。在实际计算中，应用理论力学的有关知识就可以建立以广义坐标和广义速度所表达的动能函数。例1-1 已知质量为m,半径为r的均质圆盘d： 沿oab直角曲杆的ab段只滚不滑。圆盘的盘面和曲 杆均放置在水平面上。已知曲杆以匀角速度1绕通过o点的铅直轴转动，试求圆盘的动能。解：取广义坐标x和，乂为圆盘与曲杆接触

4、点到曲杆a点的距离，为曲杆oab的转角,1t。应用柯尼希定理求圆盘的动能。为此，先求圆盘质心c的速度和相对于质心平动坐标系的角速度。若以曲杆 oab为动参考系,rx，e x 1，c . x2再应用刚体绕二平行轴转动的合成方法,圆盘的角速度为12)1 2一mr4t -mx41mr 21x1 一mr4可以看出，圆盘的动能包含广义速度x的二次项，广义速度 x的一次项和它的零次项。于是圆盘的动能为1 ，m(x 2若将动能表达式展开，得到二、广义力的计算概括地说，广义力有三种计算方法：1）根据广义力的定义，有n xiyiziqjfizfiy- fiz j 1,2, ,ni 1 qjqiqi我们可以按照这

5、个公式来计算，但是，有时计算是繁冗的。2）我们知道，作用在系统上的诸主动力对于任何虚位移元功之和等于诸广义力对于相 应的广义坐标的虚位移元功之和，即fii 1对于完整系统，广义坐标的变分q1， q2,qn是彼此独立的。若给出某一广义坐标的变分为5,而令其它坐标变分均为零，即qj* 0,q1 = q2 =qj 1 = qj+1 =qn = 0则上式为fi说于是qj , j 1, 2, ,n的jn由于系统的主动力在给定的虚位移中元功之和fi 4i的计算是我们熟悉的，则广义力i 1qj可较易地计算出。依次给出不同序数的坐标变分的同时，令其它坐标变分为零，则可依次计算出与广义坐标对应的广义力。这种方法

6、是我们经常应用的。3）若作用于系统上的主动力有势，则通过势能函数即可求出广义力。设势能函数为 v,则可应用式qjvqj进行广义力的计算。例1-3 均质杆oa和ab在a点钱链连接， 钱链支承。杆重分别为 pi和p2, fi为作用于b 试求对应于和的广义力。解：系统具有两个自由度。依题意，取 和对应于和的广义力以q和q_表示。于是，yca cosnca sin 8yd2 a cosbcosyd2asin 8bsin8xb2a sin2b sin汶b2 a cos 82b sin8当获得变分,而保持小变，即=0时，nhf*(xi 汶iyi阴zi必）i 1(2fi a cospiasin2p2asin

7、 ) 8为广义坐标,并在。点用点的水平力,c2f1a cosp1a sin2 p2 sin当获得变分，而=。时，/2f 才2f1b cos 8p2 b sin 8q02 2f1b cosf2bsin8三、拉格朗日方程的应用应用拉格朗日方程建立系统的动力学方程时，一般采用以下步骤：1)分析系统的约束条件，判断系统的类型是否为完整系统，是定常还是非定常的，是 保守的还是非保守的。2)若系统为完整的，在确定其自由度数目后，选择恰当的广义坐标。3)计算出以广义速度表达的动能t(q, q, t)、势能v (q, t)或广义力q (q, t),若主动力有势，计算出拉格朗日函数l(q, q, t)o4)列出

8、拉格朗日方程。例1-4 半径为r、质量为m的圆环挂在一半径为 r的固定圆柱 上。设圆环与圆柱间有足够大的摩擦力阻止相对滑动，试写出圆环的 运动微分方程，并求微幅摆动的周期。解：圆环具有一个自由度, 的动能为是完整系统。取为广义坐标，圆环其中vo (ra,则于是1t m(r2r)2主动力有势，系统的势能为1 2一 mvo21jo2vo2mr2(r r)2r22 m(r r)2v = mg (r r) cos2m(r r)22m(r r)2dtvmg(r r) sin代入拉格朗日方程，得到系统的动力学方程:_22m(r r)2mg(r r) sin 02( rr)g sin 0考虑到微幅，有2(；

9、)0周期为2(r r)g由于主动力有势，可以写出拉格朗日函数:_2 2_ltv m(r r) mg(r r)cos代入式(1-25)中同样可以得到系统的动力学方程。2.已知摆线绕在固定圆柱上，尺寸如图；求此摆的运动微分方 程。解 这是单自由度保守系统，选 为广义坐标，选=0为系统的 零势能位置，则_ 1_ 2 2t 5m(l r )2v mg(l rsin ) (l r )cos 将t、v代入保守系统的拉格朗日方程d t t vdt 或将拉格朗日函数l = t v代入如下形式的拉格朗日方程d l l 八0dt皆可得运动微分方程(l r ) r 2 gsin 03.已知三均质齿轮，半径皆为r,质

10、量都是m,此机构位于水平o面内，若无重系杆受矩为m的力偶作用；求系杆的角加速度解 这是单自由度非保守系统，选系杆的转角 为广义坐标，则 有关的角速度和速度为vo22r, v034r该系统的广义力为q = m动能为12-mvo22一一 mr12一 mvo322 211mr代入拉格朗日方程qm222mr例1-9试求例1-1中圆盘的运动微分方程。又，若t = 0 时，x = 10cm , x= 0 ,求当x=20cm 时, 例1-1x为多少？已知质量为m,半径为r的均质圆盘d,沿oab直角曲杆的ab段只滚不滑。圆盘的盘面和曲杆均放置在水平面上。已知曲杆以匀角速度o点的铅直轴转动，试求圆盘的动能。解：

11、由例1-1已求得动能t为t 1m(x22 11) 4mr水平台为零势面，则圆盘的势能为系统的拉格朗日函数l为l t 1m(x22x212)1一 mr4代入拉格朗日方程，有ddtmx1 mr2mx1一 mx23一 mx, 2x1r1绕通过,lfl3-x由于系统是非定常的，虽然作用于圆盘上的主动力有势，但并不存在能量积分，由于拉格 朗日函数l不显含时间t,系统有广义能量积分。由动能表达式得到32-1122122丁2 mx , tmr 1 x, tom x mr 14224圆盘的广义能量积分为t2-t0 + v=常数.于是得到3212 2122-mx- m1 x-mr1424整理后，有3212 2一

12、 mx m 1 xh142当 t =。时，xo = 10cm , xo = 0,贝u2450m 1于是有3x2 - 12x250 1242 ,当 x = 20cm 时，x2 200 12x 14.1 1 cm/s例9质量为m,半径为r的圆环。竖立在一粗糙平面上。圆环 的边缘上刚连一质量为 m的质点a。试写出系统的运动微分方程。解：由圆环o和质点a组成的系统只能在地面上作纯滚动，自 由度为1,取oa与铅垂线的夹角 为广义坐标，以系统为研究对象, o点处水平面为零势能面，则系统的动能和势能分别为t2jo21212-mvo- mva2222(r ) cos12 2121222mr2m(r ) 2m

13、(r ) (r )22mr (2 cos )v mgr cos于是有q v mgr sin代入拉格朗日方程，导出2(2 cos )( 2 g r)sin 0x和圆柱体相对于楔块的位移为广义坐例1-7 三角楔块a可沿水平光滑面作直线 运动，楔块 a的质量为 m1，其上受有简谐力 f = h sin t的作用(h和 均为常量)。楔块斜边 bd 上有一质量为 m2、半径为r的圆柱体，沿 bd滚 动而不滑动，二弹簧的刚体系数分别为和k2o试建立系统的运动微分方程。解：系统具有二个自由度。取三角楔块的位移 标，二者均以其静平衡位置为原点。楔块a作平动，va x,圆柱体作平面运动，质心速度vc为22 vc . x2x cos角速度为系统的动能t为2丁21,2212tm1xm2(x2x cos ) -m2r 一224 r1 232一(m1 m2)x- m2m2x cos2 4系统的势能v为vm2g sin2 k1(x21 i, /10)k2(220)2在平衡位置有关系式ki( 10 x) 0,m2 gsink2 200于是势