2020版第1章第2节命题及其关系、充分条件与必要条件

1、第二节命题及其关系、充分条件与必要条考纲传真1.理解命题的概念；了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、 否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系2理解必要条件、充分条件与充 要条件的意义.用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题, 其中判断为 真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2. 四种命题及其相互关系四种命题间的相互关系四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系3. 充分条件、必要条件与充要条件的概念若p? q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p? q 且 p?

2、qp是q的必要不充分条件p? q 且 q? pp是q的充要条件p? qp是q的既不充分也不必要条件p? q 且 q? p常用结论1. 充分条件、必要条件的两个结论(1) 若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分 不必要条件；(2) 若 p是q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件.2. 充分条件、必要条件与集合的关系p成立的对象构成的集合为 A，q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件A? Bp是q的必要条件B? Ap是q的充分不必要条件ABp是q的必要不充分条件BjAp是q的充要条件A= B基础自测1. (思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打

3、“X”) “ X2 + 2x 30” 是命题.()(2) 命题“若p,则q”的否命题是“若p,则i q”.()(3) 当 q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(4) “若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.()解析(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.(2) 错误.否命题既否定条件，又否定结论.(3) 正确.q是p的必要条件说明p? q，所以p是q的充分条件.(4) 正确.原命题与逆否命题是等价命题.答案X X VVn2. (教材改编)命题“若 a 4，则tan a= 1”的逆否命题是()A .若 a 4，则 tan a 1nB. 若尸4，则tan a 1nC

4、 若 tan aa 1，贝U aa 4nD.若 tan a 1，贝U a= 4C “若p，则q”的逆否命题是“若 q，贝Up” ，显然 q： tan a 1，L 3,则a 6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为 ()A. 1B. 2C. 3D. 4B 原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“ 若 a 6，则 a 3”是假命题，从而其否命题也是假命题.因此 4个命题中有 2 个假命题. 四种命题的相互关系及真假判断1 .命题“若a2 + b2= 0,则a= b = 0”的逆否命题是（）A .若 a2+ b2工 0,贝U a 0 且 b 0B. 若 a2 + b2工0,则 aM

5、0或 b0C. 若 a= 0 且 b = 0,贝U a2 + b2工 0D. 若 aM0或 bM0,则 a2 + b2工0D “若a2+ b2= 0,贝U a= b = 0”的逆否命题是“若aM0或bM 0,贝q a2 + b2M0”，故选 D.2. （2019开封模拟）下列命题中为真命题的是（）A .命题“若x 1,则x2 1”的否命题B. 命题“若xy,则x|y|”的逆命题C. 命题“若x= 1,则x2+ x 2 = 0”的否命题1D. 命题“若丄1,则x 1”的逆否命题xB 对于A，命题“若x 1,则x2 1”的否命题为“若x 1,则x2 1,故为假命题；对于B，命题“若xy,则x |y

6、|” 的逆命题为“若x |y|,则xy”，分析可知为真命题；对于C,命题“若x= 1, 则x2 + x 2 = 0”的否命题为“若xm 1,则x2+ x 2M0”，易知当x= 2时， x2+ x 2 = 0,故为假命题；对于D，命题“若2 1,则x 1”是假命题，则其 逆否命题为假命题，故选B.3. 某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是（）A .不拥有的人们会幸福B. 幸福的人们不都拥有C. 拥有的人们不幸福D. 不拥有的人们不幸福D 命题的等价命题就是其逆否命题，故选 D.4. “若mvn,则m$v nS2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命 题中真命题的个数是.2

7、 原命题：“若mv n,贝U ms2v ns2”，这是假命题，因为若s= 0时，由 mv n，得至U mS2= nS2。，不能推出 mVv ns2逆命题：“若ms2vns2，则mvn”，这是真命题，因为由 mVvns2得到s2 0,所以两边同除以s2,得mvn,因为原命题和逆否命题的真假相同，逆命题 和否命题的真假相同，所以真命题的个数是2.规律方法1写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1) 对于不是“若p,则q”形式的命题，需先改写；(2) 若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.2. 判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只 需举出反例即可.3. 根据“原命题

8、与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性 质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.充分条件、必要条件的判断【例1】(1)(2018北京高考)设a, b, c, d是非零实数，则“ ad = be”是A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)设集合 M = x|Ovx 3, N= x|Ov x 8” 是“ XI 2” 的()A .充分而不必要条件C.充要条件(1)(2018天津高考)设x R，则B .必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件(2)已知条件p： x 1或xv 3,条件q： 5x 6x2,则p是q的

9、()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件A (2)A(1)由x38可得x2,从而|x|2成立,由xi2可得x2或xv 2,从而x38不一定成立.因此“x3 8”是“ xi2”的充分而不必要条件，故选 A.(2)由 5x 6x2得 2vxv3, 即卩 q： 2vxv 3.所以q? p, p - q,从而q是p的充分不必要条件.即p是q的充分不必要条件，故选 A.充分条件、必要条件的应用【例 2】(1)设命题 p: (4x 3)2w 1,命题 q： x2 (2m+ 1)x+ m(m+ 1)0,若l p是q的必要不充分条件，则实数 m的取值范围是()1 1A

10、. 0，2B. 0，21C. (, 0 U 2，+D (, 0)U (0,+x)(2) “直线x y k= 0与圆(x 1) 从而x 2WxW 1 + 卄2有两个不同的交点”的一个充分不 必要条件可以是()A. K kv 3B . K k31 1(1)A(2)C 由(4x 3)2w 1 得2x 1,即 p： 2x 1,由 x2 (2m+ 1)x+ m(m+ 1)0 得 mWx m+ 1,即卩 q： mWx 11,解得OW mW,故选A.“直线x y k= 0与圆(x 1)2 + y22有两个不同的交点”的充要条件是即一1 v k v 3.故所求应是集合k| 1v kv 3的一个子集，故选C.规律方法利用充要条件求参数的关注点1巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式或不等式组 求解.2端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验， 从而确定取舍若“ x 2mA (2)3 或 4 (1)由题意知(一1,4) (2m2- 3，+)， 2m2- 3 - 1,解得K m0,即 nW4