专题3第2课时概率与统计

1、专 题 三专 题 三 1 2 3() 4C 11 1 1 n k kk nn n mcard A P A ncard I P ABP AP B P A BP A P B P kpp ppk 概率计算公式 等可能事件； 互斥事件； 相互独立事件； 独立重复试验，它是 二项式展开式的第 项 1122 222 1122 1 2 1 2 . 2 ii nn nn Pxp iEx px px p abab EaEbE abaEb xEpxEpxEp DD a 离散型随机变量的期望与方差 若离散型随机变量 的概率分布为， ， ，则称为 的数学期望 若，其中 、 是常数，则 也是随机变量， 数学期望为，即

2、方差：把 叫做随机变量的均方差，简称为方差；标准差是 ， 2 .ba D 3三种常见的概率分布 1 4.抽样方法 简单随机抽样：当一些总体个数不太大时，常 采用抽签法抽取样本；在大规模社会调查中总体 个数常常数以千计万计，要编号、制作号签等工 作量在不易操作时常采用随机数表法 用随机数表法抽样的步骤：将总体中的个体编 号；选定开始的数字；获取样本号码 学习简单随机抽样应注意以下三点：它要求被 抽取样本的总体的个数有限；从总体中逐个地 进行抽取；是一种不放回式抽样 2 分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成 时，常采用分层抽样分层抽样方法须注意两点： 分层抽样要将相近一类归入一层，不同类归入

3、不 同层；在分层抽样过程中，在对每一层的抽样时 也采用的简单随机抽样步骤：分层；按比例 确定每层抽取个体的个数；各层抽样；汇合成 样本 5 总体分布的估计 频率分布直方图画法：确定分组的组数， 其方法是最大数据与最小数据之差除以组 距得组数；计算每组的频数与频率，其 频数 中频率；画频率分布直方图 样 本容量 2(11 ) () 1 1 4 2 (2011)本着健康、低碳的生活理念，租 自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费 标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过 两小时的部分每小时收费 元 不足 小时的部分按 小时计算 有甲、乙两人相互独立来该租车点租车 骑游 各租一车一次 设甲、

4、乙不超过两小时还车 的概率 例1.四川 分别为 ， 卷 ； 考点考点1 离散型随机变量的分布列、期望与方差离散型随机变量的分布列、期望与方差 分析：本小题主要考查相互独立事件、随机变 量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考 查运用所学知识与方法解决实际问题的能力 1 2 1 4 1 2 .E 两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 ， ；两人租车时间都不会超过四小时 求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； 设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ，求 的分布列及数学期望 1 1 . 4 4 5 . 1 1 1111115 . 42244 6 416 P A A 由题意得，甲、乙在三小时以

5、上且不超 过四小时还车的概率分别为 ， 设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件 ，则 答：甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 解析： 0,2,4,6,8. 111 0 428 11115 2 442216 1111115 4 24424416 11113 6 244416 111 2 8. 4416 P P P P P 可能取的值有 ； ； ； ； 155317 02468. 8161616162 E 所以 甲、乙两人所付的租车费用之和 的分布列为 求随机变量分布列的方法是：先根据题 意，结合分类方法列出随机变量的各种情况所对 应的值，然后分别求得各值所对应的概率，数学 期望的计算直接应用公

6、【评析】 式即可 4 12 2 ABC A 某市公租房的房源位于 ， ， 三个片 区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源， 且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该 市的任 位申请人中： 恰有 人申请 片区房源的概率； 申请的房源所在片区的个数 的分布列 变式题： 与期 望 4 22 4 22 4 4 222 44 3 2C 2 C 2 2. 3 4 1 . 3 2 12 2C 1 2 8 27 8 ( ) ( ). 7323 1 A A AAP A Ak A P 所有可能的申请方式有种，恰 有 人申请 片区房源的申请方式种，从而恰 有 人申请 片区房源的概率为 设对每位申请人的观察为一次试

7、验，这是 次独立重复试验 记“申请 片区房源”为事件 ，则 从而，由独立重复试验中事件 恰发生 次的概率计 算公式知，恰有 人申请 片区房 方法 ： 方法 源的为 ： 解 概率 析： 4 21322 32442 4 24 3 4 12123 34243 44 1,2,3. 31 1 327 14 2(2 327 2214 ) 327 44 3(3) 3939 2 P CC CC C PP C C C CC A PP 的所有可能值为 又； 或 ； 或 综上知， 的分布列为 114465 123. 2727927 E 从而有 2 51,2,3, 4,510 _.s 某校甲、乙两个班级各有 名编号为

8、 的学生进行投篮练习，每人投 次，投中的 次数如下表： 则以上两组数据的方差中较小的一个为 例2. 考点考点2 2 总体分布的估计总体分布的估计 首先根据表格中的数据计算两个班 的期望，然后利用期望与表格中数据计算 它们的方差，最后进行比较 分析: 得结果 2 22222 2 22222 2 7 677777877 2 72 s 55 67776777976 s. 5 . 5 5 s 甲 乙 甲、乙两个班的期望均为 ，则 甲班数据的方差 ， 乙班数 解析： 故两组数据的方差中较小个为 据的方 的一 差 【评析】应用期望与方差问题判断方案等问题 优劣时，如果两个随机变量的均值不相等，那 么优劣显

9、而易见；如果两个随机变量的均值相 等，那么比较它们的方差来判断 41 10 1 28 _ AB B 总体分为 ， 两层，其个体数之比为，用 分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 的样本， 已知 层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体 中的个体数为 例3. 考点考点3 抽样方法中的计算问题抽样方法中的计算问题 B B B 首先利用条件中的比例关系确定 层抽 取的样本个体数，然后利用 层中甲、乙都被 抽到的概率计算出 层的个体数，进而按已知 中的比例计算出总体的 分析： 个体数 2 2 2 4 8 4 2 880. n B Bn C B C n 由条件易知 层中抽取的样本数是 ， 设 层总体数是 ， 则

10、由 层中甲、乙都被 解析： 总体中的个体 抽到的概率是， 可得 为 ， 所数以 . 解答分层抽样的计算必须紧紧抓住一个关 样本容量每层抽取的个体数 键比：抽样比 总体个数每层个体总数 所有的计算都是围绕这个比值来 【评析】 进行的 变式题：变式题：某学校共有师生2400人，现用分层抽样的 方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本， 已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教 师人数是_ 160 15010 1601 . 240015 1 10150 1 15 . 0 5 xxx 易知抽取教师人数为，且样本 容量与总体的个体数的比为 设该学校教师的人数为 ，则，解得， 即该学校 解析：

11、教师人数为的 备选例题：某个容量为100的样本的频率分布直方 图如下，则在区间4,5)上的数据的频数为_ 分析：首先利用直方图求得在区间4,5)上的频率， 然后利用公式频数=样本容量频率求得频数 1 1 4,5 1(0.050.100.150.4)0.3 4,5 10000.3.3 频率 由于直观图的组距为 ，因此，频率 组距 于是由所有各段频率之和为 ， 可得在区间的频率为 ， 因此在区间上的数据的频数样本容量频率 解析： 1 解答此类问题主要有四条途径：利 用所有分组对应的频率之和为 ；利用公式： 频率条形图的面积纵坐标 横坐标，或利 用公式频数样本容量 频率；利用频率分 布图中相关数据；

12、利用频率分布表绘制频率 分布 【评析】 直方图 ) C1. 1 ( n k kk nn m P A n P ABP AP B P A BP A P Bn P kpp 解决概率问题的一般步骤可概括如下： 第一步：确定事件的性质，等可能事件、互斥事 件、独立事件或独立重复试验 第二步：判断事件的运算为积事件还是和事件 第三步：运用公式，等可能事件：；互 斥事件：；独立事件： ； 次独立重复试验： 2 离散型随机变量在某一范围内取值的概率 等于它取这个范围内各个值的概率和求离 散型随机变量的分布列必须解决好两个问题： 一是求出 的所有取值，二是求出 取每一个 值时的概率求一些离散型随机变量的分布 列

13、，在某种程度上就是正确地求出相应的事 件个数，即相应的排列组合数，所以学好排 列组合是学好分布列的基础 与前提 103 3 1.(2011) . 从甲、乙等位同学中任选 位去 参加某项活动，则所选 位中有甲但没有乙的概 率为_ 庆卷 _ 重 3 10 2 8 103 C120 823 C28. 287 12030 根据题意，从人中任取 人参加活动，有 种取法有甲但没有乙的取法即从除甲乙 之外的 人中任取 人，则所选 位中有甲但没有乙 的情况有种，故所概求 解析： 率为 18 29 2.(2011) X X X Y 下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组 各四名同学的植树棵数乙组记录中有一个数据模 糊，无法确认，在图中以 表示 如果，求乙组同学植树棵数的平均数和方差； 如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同 学，求这两名同学的植树总棵数 的分布列和 北京卷 数学期 望 2222 12 12 ()()() ) n n sxxxxxx xxx 注：方差， 其中为 ， ， ， 的平均数 22222 8 8,8,9,10 8891035 44 135353535 (8)(8)(9)(10) . 44444 1 1 1 16 X x s 当时，由茎叶图可知，乙组同学的 植 解 树 析： 棵数是：， 所以