第三节-幂级数

1、第三节 一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算三、幂级数的运算 幂级数 第十二章 一、一、 函数项级数的概念函数项级数的概念 设 12 1 ( )( )( )( ) nn n uxu xuxux 为定义在区间 I 上的函数项级数函数项级数 . 为定义在区间 I 上的函数, 称 ( ) (1 , 2 ,) n uxn 若用 ( ) n Sx 1 ( )( ) n nk k Sxux 表示函数项级数前 n 项的和, 即 ( ). n Sx称为该级数的部分和序列 2021/3/133 对 0 ,xI若常数项级数 敛点敛点, 所有收敛点的全

2、体称为其收敛域收敛域 ; 若常数项级数 0 1 () n n ux 收敛, 发散 , 所有 0 x称 为其收收 0 x称 为其发散点发散点, 发散点的全体称为其发散域发散域 . 0 1 () n n ux ( ) ,S x 为级数的和函数和函数 , 并写成 1 ( )( ) n n S xux 令余项 则在收敛域上有 lim( )( ) , n n SxS x lim( )0 n n r x 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它 焦点焦点1.1. 函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题, ,实质上是实质上是 数项级数的收敛问题数项级数的收敛问题. . 注意注意: :

3、 1 ( )?的收敛集 n n ux ( )( )( ) nn r xS xSx 例如例如, 等比级数 它的收敛域是( 1 , 1 ) , (, 11 ，). 2 0 1 nn n xxxx 0 1 . 1 n n x x 它的发散域是 又如又如, 级数 2 0 (0 ) , nn n xx x n lim( ), n n ux 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为1.x ( 1 , 1 ),x 当时 有和函数 1,x当时收敛01,x当时 P268,利用教材第二段的注记可见由比值审敛法知 解解: :由达朗贝尔判别法由达朗贝尔判别法: 原级数绝对收敛原级数绝对收敛, ,所以收敛所以收敛; ; 例例

4、. . 1 ( 1)1 (). 1 n n n nx 求求的的收收敛敛域域 1( ) ( ) n n ux ux 1 1 1 n nx 1 () 1 n x 1 (1)1, 1x 当当11,x 02,xx 即即或或时时 原级数发散原级数发散. . 1 (2)1, 1x 当当11,x 20,x即即时时 (3)|1| 1,x当当02,xx 或或 0,x 当当时时 1 ( 1)n n n 级级数数收收敛敛； 2,x 当当时时 1 1 n n 级级数数发发散散； (, 2)0,). 故故级级数数的的收收敛敛域域为为 2021/3/138 焦点焦点2.2. 1 ( ), ( )( )? nn n uxS

5、 xux 连连续续是是否否连连续续 可可导导可可导导？ 可可积积可可积积？ 焦点焦点3.3. 12 ( )lim( )lim( )( )( ) nn nn S xSxu xuxux ( ): n Sx转转化化为为函函数数列列的的三三个个等等价价问问题题 ( ), ( )lim( )? nn n SxS xSx 连连续续是是否否连连续续 可可导导可可导导？ 可可积积可可积积？ 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 形如 0 0) ( n n n xxa 2 02010 )()(xxaxxaa 的函数项级数称为幂级数幂级数, 其中数列), 1 , 0(nan 下面着重讨论0 0 x 0n n

6、nx a n nx axaxaa 2 210 例如, 幂级数 1, 1 1 0 x x x n n 为幂级数的系数系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 n n xxa)( 0 称 收敛 发散 定理定理 1. ( Abel定理定理 ) 若幂级数 0n n nx a , 0 点收敛在xx 则对满足不等式 0 xx 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 0 xx 0 xx 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 ,则对满足不等式 证证: 设 0 0 n n nx a, 0lim 0 n n n xa收敛, 则必有 ),2, 1( 0 nMxa n n 于是存在 常数 M 0,

7、使 Ox发 散发 散收 敛 阿贝尔 当 时, 0 xx 00n n x x M收敛, 0n n nx a 故原幂级数绝对收敛 . 也收敛, 反之, 若当 0 xx 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之. 假设有一点 1 x 01 xx 0 x 满足不等式 0 xx 所以若当 0 xx 满足且使级数收敛 , 面的证明可知, 级数在点 故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 ,则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾, n n n n n n x x xaxa 0 0 n n n x x xa 0 0 n x x M 0 证毕 2021/3/1312 幂级数在 (, +) 收敛

8、. 由Abel 定理可以看出, 0 n n n a x 中心的区间. 的收敛域是以原点为 特别,R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ;规定收敛半径为0. R = + 时, (R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域收敛域. R 称为收敛半径收敛半径 , (R , R ) 称为收敛区间 收敛区间. Ox发 散发 散收 敛 收敛 发散 推论推论 0 sup n n n Rx|a x 假设的收敛点 ， 0 () n n n a xR, R 则在 ()()., RR, 上收敛，在上发散 x a a xa xa n n n n n n n n 1 1 1 limlim 定理定理2. （ Ca

9、uchy-Hadamard ） 的系数满足,lim 1 n n na a ; 1 R ;R .0R 证证: 1) 若 0, 则根据比值审敛法可知: 当,1x原级数收敛; 当,1x原级数发散. x 即 1 x 时, 1) 当 0 时, 2) 当 0 时, 3) 当 +时, 即时, 则 1 x 0 n n n a x 若 2) 若 , 0则根据比值审敛法可知, ;R 绝对收敛 , 3) 若,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级数发 .0R 对任意 x 原级数 因此 散 ,因此 0n n nx a 的收敛半径为 说明说明: :据此定理 1 lim n n n a R a 因此级数的收敛半径 .

10、1 R 1 , n n n a x 此外根据根值审敛法 可知的收敛半径也为 1 . limsup n n n R a 对端点 x =1, 1 lim n n na a R n xxx x n n 1 32 ) 1( 32 的收敛半径及收敛域. 解解: 1 1 n n 1 1 对端点 x = 1, , 1 ) 1( 1 1 n n n 收敛; 级数为, 1 1 n n 发散 . . 1, 1( 故收敛域为 例例1 1.求幂级数 lim n 级数为交错级数 例例2. 求下列幂级数的收敛域 : .!)2(; ! 1 ) 1 ( 00 n n n n xnx n 解解: (1) limlim 1 n

11、n n na a R ! 1 n ) 1(lim n n 所以收敛域为. ),( (2) limlim 1 n n n na a R !n !) 1( n 1 1 lim nn 0 所以级数仅在 x = 0 处收敛 . 规定: 0 ! = 1 ! ) 1( 1 n 例例3.的收敛域 . 2 2 0 4 (1) n n n x n 求幂级数（缺项）（缺项） 1 lim n n n a a R不不能能使使用用 解法解法1:1: 1 limsup | n n n R a 解法解法2:2: , )0( 2 yyx知知令令 0 2 , )1(4 n n n n y 原原级级数数 , 4 )1(4 )2(

12、4 lim 2 21 n n R n n n y .22时，所给级数收敛时，所给级数收敛因此当因此当 x 故故收敛区间收敛区间（-2,2-2,2）. . 0, )1(4 1 1222 nnn a n a .4 2 时级数收敛时级数收敛即当即当 x 2021/3/1318 解法解法3:3: 直接使用比值判别法直接使用比值判别法 2 2 +22 1 122 ( )4 (1) limlim ( )4(2)4 nn n nn nn n xuxxn uxnx 由由于于 时收敛；时收敛；时，时，当当2 4 2 xx 时时发发散散；时时当当2 ,4 2 xx ，所所以以2 R故故收敛区间收敛区间为（为（-2

13、,2-2,2）. . . )1(4 4 ,2 0 2收 收敛敛时时而而当当 n n n n x 故故收敛域收敛域为为-2,2.-2,2. 例例4. 1 2 ) 1( n n n n x 求幂级数 的收敛域. 解解: 令 ,1 xt级数变为 n n n t n 1 2 1 n n n n a a Rlimlim 1 n n 2 1 ) 1(2 1 1 n n n n n n n 2 ) 1(2 lim 1 2 当 t = 2 时, 级数为 , 1 1 n n 此级数发散; 当 t = 2 时, 级数为, ) 1( 1 n n n 此级数条件收敛; 因此级数的收敛域为 ,22t 故原级数的收敛域为

14、 ,212x 即.31x 三、幂级数的运算三、幂级数的运算 定理定理3. 设幂级数 n n nx a 0 n n nx b 0 及 的收敛半径分别为 , 21 RR令 n n nx a 0 )( 0 为常数 n n nx a 1 Rx ,min 21 RRR n n n n n n xbxa 00 ,)( 0 n n nn xba Rx 0 ,() n n n c xCauchy 乘积 Rx 则有 : n n n n n n xbxa 00 其中 kn n k kn bac 0 以上结论可用部分和 的极限证明 . 1.1.运算性质运算性质-(-(代数性质代数性质) ) 说明说明: 两个幂级数相

15、除所得幂级数的收敛半径可能比 原来两个幂级数的收敛半径小得多. 例如, 设 n n nx a 0 n n nx b 0 ),2, 1,0, 1( 0 naa n ,3,2,0 , 1, 1 10 nb bb n 它们的收敛半径均为 ,R 但是 n n nx a 0 n xxx 2 1 其收敛半径只是 .1R 1 x1 n n nx b 0 x 1 1 定理定理4 若幂级数 n n nx a 0 的收敛半径 ,0R )(xS数 (证明见第六节) n n nx axS 0 )(, 1 1 n n nx an),(RRx xxaxxS n x n n x dd)( 0 00 , 1 1 0 n n

16、n x n a ),(RRx 则其和函 在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与 逐项求积分, 运算前后收敛半径相同: 2.2.分析性质分析性质-连续、可导、可积连续、可导、可积 2021/3/1323 注注: 1.逐项积分后幂级数收敛半径不变积分后幂级数收敛半径不变, , . 但收敛域可能会改变但收敛域可能会改变, ,在端点处的收敛性在端点处的收敛性 可能变可能变“坏坏”, , 但不可能变但不可能变“好好”. . 2.2. 但收敛域可能会改变但收敛域可能会改变, ,在端点处的收敛性在端点处的收敛性 可能变可能变“好好”, , 但不可能变但不可能变“坏坏”. . ,逐项求导时幂级数收敛半径

17、不变 2021/3/1324 求和函数应用举例求和函数应用举例 ; 1| ,1 1 1 ; 1| ,)1(1 1 1 ; 1| ,1 1 1 ; 1| ,)1(1 1 1 242 2 242 2 2 2 x.x.xx x x.x.xx x x.x.xx x x.x.xx x n nn n nn 常常 用用 公公 式式 解解: 由例2可知级数的收敛半径 R+. 例例5. 0 ! n n n x 求幂级数 0 ! )( n n n x xS)(x 则 1 1 ! ) 1( )( n n n x xS 0 ! k k k x )(xS )(x 故有 0)(e xS x x CxSe)( ,e)(1)

18、0( x xSS 得由故得 .e ! 0 x n n n x 的和函数 . 因此得 设 例例6. 1n n xn求幂级数 的和函数 解解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x1 时级数发 ,)1,1(时故当x 1 )( n n xnxS 1 )( n n xx x x x 1 2 )1 (x x . )(xS 1 1 n n xnx 1n n xx 散, 例例7. 求级数 0 1 n n n x 的和函数. )(xS 解解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 时级数且1x 0 1 )( n n n x xS x n n xx x 0 0 d 1 x x xx 0 d 1 11 )1ln( 1

19、 x x ) 10( x1x及 收敛 , 0 1 1 1 n n n x x x n n xx x 0 0 d 1 ,) 1, 1中则在 x = 1 时级数发散, 有时当,0 x ) 1 ,0()0, 1x )(xS, )1ln( 1 x x 因此由和函数的连续性得: )(xS 而 x = 0 时级数收敛于 1, , )1ln( 1 x x ,10 x ) 10( x 1x 及 ,1 )1 (ln lim 0 x x x 例例8. 2) 1( 1 2 2 的和求数项级数 n n n 解解: 设, 1 )( 2 2 n n n x xS则 , )1, 1(x 2 1 12 n n n xx 2

20、1 12 1 n n n x x )0( x 1 2 n n n xx 3 2 1 n n n x x n n x nn xS 1 1 1 1 2 1 )( 2 31 2 1 2 )( n n n n n x xn xx xS 1n n n x 1 0 1 d n x n xx而xx x n n d 0 1 1 x x x 0 1 d )1ln(x 4 2 )1ln( 2 1 )( 2 x x x x xS 2 2 2) 1( 1 n n n )0( x 1 2 1 2 )( n n n x x x xS 2 1 S2ln 4 3 8 5 )0( x ) 2 ( 2 1 2 x x x 故 内

21、容小结内容小结 1. 求幂级数收敛域的方法 1) 对标准型幂级数 先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 . 2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式) 求收敛半径时直接用比值法或根值法, 2. 幂级数的性质 1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与 )0( 0 n n n n axa 也可通过换元化为标准型再求 . 乘法运算. 例例3 例例4 2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续; 3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分. 思考与练习思考与练习 1. 已知 n n nx a 0 0 xx 在处条件收敛 , 问该级数收敛 半径是多少 ? 答答: 根据Abel 定理可知, 级数在 0 xx 收敛 , 0 xx 时发散 . 故收敛半径为. 0 xR 例例63. 求和函数的常用方法 利用