医科数学预备知识

1、 医科数学 教学内容：第一章至第五章 第三章结束后进行期中考。 平时成绩、期中考、期末考分别占总评的 10%、30%和60%。 为什么学数学？ 为什么学数学？ “我们的工作是很少用数学， 事实上绝大多数人往后工作不用数学。” 数学不是一种技能数学不是一种技能 做题做题 为什么学数学？ 学习的目的： 学以致用， 知道需要什么知识，立即学习，并马上使用； 没有目的的学习知识，并努力将学到的东西用到 生活、工作中。 为什么学数学？ 数学是一种对待事物的态度： 务 实 力求清晰，明确 （数学上称之为严格化）。 标准： （1） Yes or No, 就是在你的表达中去掉“也 许. 大概. 估计. 我猜.

2、”此类词语。 （2） 达到操作的情形。 为什么学数学？ 数学是一种对待问题的习惯，分为两个步骤： （1）厘清什么是目标，什么是已知。 已知, 求证 （2）从已知到目标的过程，（数学上）主要方法 是类比。 第一节第一节 集合、实数集合、实数 一、实数的建立一、实数的建立 二、邻域概念二、邻域概念 实数实数 有理数有理数 无理数无理数 c 整数整数 分数分数 正整数正整数 零零 负整数负整数 自然数自然数 对加、乘对加、乘 法封闭，法封闭， 对减法不对减法不 封闭封闭 对加减、乘对加减、乘 法封闭，对法封闭，对 除法不封闭除法不封闭 有理点在数轴上有理点在数轴上 稠密分布，但不稠密分布，但不 具有

3、连续性具有连续性 p q 简称为简称为点点 a 的的 邻域邻域，记作，记作 设有实数设有实数 a 和和 则称开区间则称开区间 0, 为以为以 a 为中心为中心, 以以 为半径的邻域为半径的邻域. (,)aa a a a ( ,)U a 也可用集合记号表示为也可用集合记号表示为 |xxa | 0 xxa a a a 如果该邻域不包括中心点，则称为点如果该邻域不包括中心点，则称为点a的去心邻域，的去心邻域， 记作记作 ( ,) o Ua 用集合记号表示为用集合记号表示为 所以所以 ( ,), o Uaaaa a 例例1-1 用邻域符号和区间符号分别表示不等式用邻域符号和区间符号分别表示不等式 ，

4、所确定所确定 的范围。的范围。21 2 x 0 x 例例1-2 在数轴上描绘不等式在数轴上描绘不等式 所确定所确定 的范围。的范围。 538xx x 上述不等式中若为等于上述不等式中若为等于8或者小于或者小于8，情况如何？，情况如何？ 第二节第二节 函数函数 一、函数的概念一、函数的概念 二、复合函数二、复合函数 三、函数的几种性质三、函数的几种性质 一、函数的概念一、函数的概念 1 1常量与变量常量与变量: : 注意注意: :常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的. . 而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量(variable)(variable). . 在某过程中数

5、值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量(constant)(constant), , 例如：儿童服药剂量可能决定于儿童的体重，如例如：儿童服药剂量可能决定于儿童的体重，如 果时间较短，该儿童体重可视为果时间较短，该儿童体重可视为常量常量；如果疗程长达；如果疗程长达 数年，其体重就是一个数年，其体重就是一个变量变量 函数的定义函数的定义 因变量因变量 自变量自变量 )(xfy Dx 是自变量的所有允许值的集合，称为函数的定义是自变量的所有允许值的集合，称为函数的定义 域而应变量的所有对应值的集合则称为函数的值域记域而应变量的所有对应值的集合则称为函数的值域记 为为 Dx y R

6、 定义定义2-1 设和是同一变化过程中的两个变量，设和是同一变化过程中的两个变量， 如果对于变量如果对于变量 的每一允许的取值，按照一定的规律，的每一允许的取值，按照一定的规律， 变量变量 总有一个确定值与之对应，则称变量总有一个确定值与之对应，则称变量 是变量是变量 的函数变量的函数变量 称为自变量，变量称为自变量，变量 称为因变量称为因变量.记为记为x y y x xy x y ( ( ) ) 0 x )( 0 xf 自变量自变量 因变量因变量 对应法则对应法则f 注意：注意： 函数的两要素为：函数的两要素为： 定义域定义域与与对应法则对应法则. . x y D R 2 1xy 例例如如，

7、1 , 1 : D 2 1 1 x y 例例如如， )1 , 1(: D 1.列表法：列表法： 将自变量将自变量x x和因变量和因变量y y的对应关系列成表格。的对应关系列成表格。 2.图像法：图像法： 在直角坐标系中将图像描述出来。在直角坐标系中将图像描述出来。 3.公式法：公式法： 用解析式表示自变量和因变量之间的对应关用解析式表示自变量和因变量之间的对应关 系。这是最常用的表示法。系。这是最常用的表示法。 例例2-1 2003年中国非典型肺炎年中国非典型肺炎(SARS)流行时流行时,感染人感染人 数随时间而变化的规律通过实际观测的数据表示数随时间而变化的规律通过实际观测的数据表示,我们用

8、我们用 最引人注目的时间段里公布的全国疫情报告中的最引人注目的时间段里公布的全国疫情报告中的8组数据组数据 来反映新增病例数来反映新增病例数N与时间与时间t关系关系. 2003年全国年全国SARS流行高峰期新增病例报告流行高峰期新增病例报告 报告日期(月.日) 4.28 5.1 5.4 5.7 5.9 5.12 5.15 5.17 标示时间 1 4 7 10 12 15 18 20 新增例数 203 187 163 159 118 75 52 28 i t i N t N o 28 203 1 4 7 1015201218 r ttN )( 以上数据也可以用以下图形表示以上数据也可以用以下图形

9、表示 分段函数分段函数(piecewise function)(piecewise function) 在不同的区间上用不同的分析式子表示的函数，称在不同的区间上用不同的分析式子表示的函数，称 为分段函数为分段函数 0, 1 0, 12 )( 2 xx xx xf 例例2-2 12 xy 1 2 xy 例例2-3 历史上著名的历史上著名的Dirichlet函数函数 是有理数 是无理数 x x xf , 1 , 0 )( 这是一个分段函数，如图这是一个分段函数，如图 例例2-4 未成年人服用剂量的公式为未成年人服用剂量的公式为 根根 据此公式，到多大年龄时，该剂量达到成人的剂量？其据此公式，到多

10、大年龄时，该剂量达到成人的剂量？其 中中 是年龄。是年龄。 24 )1(da c dc 显然，令，可解出，故公式实际为显然，令，可解出，故公式实际为23a 23, 23, 24 )1( )( ad a da af a a c 23 d 24 d 0,1 0,0 0,1 )( x x x xf 当 当 当 1 -1 x y o 定义为：当定义为：当 时时， ，例例2-5 设设)(xf0 xxxxf/)( 当当 时，时， 则则0 x0)(xf 欧拉欧拉 在在 无穷小分析无穷小分析中对函数解释：中对函数解释： 二、复合函数二、复合函数 定义定义2-2 设在定义域设在定义域 上上, 变量变量 是变量是

11、变量 的函的函 数：数：. 在定义域上变量是变量在定义域上变量是变量 的函数：的函数： 如果对于变量的某些值，变量的对应值恰在如果对于变量的某些值，变量的对应值恰在 中因而能够确定变量的值，则称是的复合函数中因而能够确定变量的值，则称是的复合函数 （compound function），记为），记为 U y u )(ufy D ux)(xu xu Uy y x )(xfy 变量称为复合函数的中间变量复合函数的概念可变量称为复合函数的中间变量复合函数的概念可 以推广到多个函数的情形，此时复合函数是通过多个中间以推广到多个函数的情形，此时复合函数是通过多个中间 变量的传递而构成的变量的传递而构成的

12、 u ),1lg(,arctan,xvvuuy 例例2-6 设设求求 关于关于yx 的复合函数的复合函数 例例2-7 设设,sin)(,)( 2 xxgxxf 试求试求 )(),(xffxgf ).(),(xggxfg 解解： 4222 )()(,sin)(xxxffxxgf ).sin(sin)(,sin)( 2 xxggxxfg 可见，复合顺序是关键另外，要注意：若经过变可见，复合顺序是关键另外，要注意：若经过变 量代入后，复合函数的定义域为空集，则此复合函数无意量代入后，复合函数的定义域为空集，则此复合函数无意 义，或者说它们不能复合义，或者说它们不能复合 解解：这里，变量传递顺序是规定

13、好了的，这里，变量传递顺序是规定好了的， 是的中是的中 间变量，间变量， 是是 的中间变量，故依次代入可得的中间变量，故依次代入可得vu 2,).x uy 例例2-8 试把复合函数试把复合函数 分解为简分解为简 单函数单函数 解解：令令 );1lg(arctan,xuuy 或者令或者令) 1lg(,arctanxuuy 也可以令也可以令).1lg(,arctan,xvvuuy 根据需要，分解步骤可粗可细，但顺序是不能任意改根据需要，分解步骤可粗可细，但顺序是不能任意改 变的在中学阶段研究的比较深入的基本初等函数有以下变的在中学阶段研究的比较深入的基本初等函数有以下 六类：六类： 例如例如， 2

14、 11,arcsinxuuy 就不能复合因为就不能复合因为 , 111 2 x )11arcsin( 2 xy 的定义域为空集的定义域为空集 基本初等函数基本初等函数 以上六类函数称为以上六类函数称为基本初等函数基本初等函数. . 所谓所谓初等函数初等函数，是指由基本初等函数经过有限，是指由基本初等函数经过有限 次的四则运算和有限次的复合运算所得的函数。次的四则运算和有限次的复合运算所得的函数。 A.常函数 y Ox cy B.幂函数 y O x 1 xy 2 xy xy 2 1 y Ox 3 xy B.幂函数 y xO x y 1 ox y C.指数函数 x ay x ay D.对数函数 x

15、y a logx a y xO y E.三角函数 y 1 o -1 2 2 x 2 y 1 o -1 2 x xysin xycos E.三角函数 2 2 3 2 3 2 O x y xytan E.三角函数 2 O 2 2 3 2 3 x y xycot F.反三角函数 xyarcsin Ox y 2 2 11 xyarccos Ox y 2 2 11 O x y 2 2 xarctany F.反三角函数 y x 2 2 O xycotarc 1. 有界性有界性 若若 则称则称 f (x) 是是有界有界的的,0, . .,|( )|,Ms txDf xM 否则称否则称 f (x) 是是无界无

16、界的的. 00 (0, . .|()|)MxD s tf xM ( ),.yf xxD 对于对于 2. 单调性单调性对任意的对任意的 若有若有 则称则称 f (x)是是单调递增单调递增的的, 简称简称增函数增函数; 12 ,xx 12 ()(),f xf x 若有若有 则称则称 f (x) 是单调递减的是单调递减的,简称减函数简称减函数. 12 ()(),f xf x 三、函数的性质三、函数的性质 3. 奇偶性奇偶性 若有若有 则称则称 f (x) 是是偶函数偶函数;( )(),f xfx 偶函数的图像关于偶函数的图像关于y轴对称轴对称;奇函数图像关于原点对称奇函数图像关于原点对称. 若有若有

17、 则称则称 f (x) 是是奇函数奇函数;( )(),f xfx 4. 周期性周期性 若存在若存在 使使 则称则称 f (x) 为为周期函数周期函数.0,T ()( ),f x Tf x 我们通常用我们通常用x表示自变量，用表示自变量，用y表示因变量，表示因变量， 所以所以 的反函数也写成的反函数也写成 设函数设函数 ，其定义域为，其定义域为 ,值域为值域为 如果对于任意的如果对于任意的 ，按，按 总有唯一的总有唯一的 与之对应，则由与之对应，则由 确定了一个确定了一个 的反函数，记为的反函数，记为 反函数反函数 ( )yf x 1 ( ),( ,).xfyyc d ( , )a b( , )c d ( , )yc d ( )yf x ( , )xa b ( )yf x ( )f x ( ),( , )yf x xa b 1 (),( ,).yfxxc d 反函数存在定理：反函数存在定理： 单调函数存在反函数，且直接函数与其反函数单调性相