高等数学导数公式大全[教学内容]

1、导数的基本公式与运算法则导数的基本公式与运算法则 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 (x ) = x - -1 . (ax) = ax lna .(ex) = ex. 0 (cc为任意常数) . ln 1 )(log ax x a . 1 )(ln x x (sin x) = cos x. (cos x) = - - sin x. (tan x) = = sec2x . (cot x) = = - - csc2x . (sec x) = = sec x tan x . (csc x) = = - - csc x cot x . , 1 1 )(arcsin 2 x x - - 另外

2、还有反三角函数的导数公式：另外还有反三角函数的导数公式： , 1 1 )(arccos 2 x x - - - - , 1 1 )(arctan 2 x x . 1 1 )cotarc( 2 x x - - 定理定理2.2. 1设函数设函数 u(x)、v( (x) ) 在在 x 处可导处可导， )0)( )( )( xu xu xv 在在 x 处也可导，处也可导， (u(x) v(x) = u (x) v (x); (u(x)v(x) = u(x)v (x) + + u (x)v(x); . )( )()()()( )( )( 2 xu xvxuxvxu xu xv - - 导数的四则运算导数

3、的四则运算 且且 则它们的和则它们的和、差差、积与商积与商 推论推论 1(cu(x) = cu (x) (c 为常数为常数). 推论推论 2 . )( )( )( 1 2 xu xu xu - - ()uvwu vwuv wuvw 乘法法则的推广：乘法法则的推广： 补充例题：补充例题： 求下列函数的导数：求下列函数的导数： 解解根据推论根据推论 1 可得可得 (3x4) = 3(x4) ， (5cos x) = 5(cos x) ，(cos x) = - - sin x， (ex) = ex， (1) = 0， 故故f (x) = (3x4 - - ex + 5cos x - - 1) = (

4、3x4) - -( (ex ) ) + (5cos x) - - (1) = 12x3 - - ex - - 5sin x . f (0) = (12x3 - - ex - - 5sin x)|x=0 = - - 1 又又(x4) = 4x3， 例例 1设设 f (x) = 3x4 ex + 5cos x - - 1，求，求 f (x) 及及 f (0). 例例 2设设 y = xlnx ， 求 求 y . 解解根据乘法公式，有根据乘法公式，有 y = (xlnx) = x (lnx) (x) lnx x x xln1 1 .ln1x 解解根据除法公式，有根据除法公式，有 22 22 2 )1

5、( )1()1()1)(1( 1 1 - - - - - - - - x xxxx x x y 例例 3设设 , 1 1 2 - - x x y 求求 y . 22 22 )1( )1()1()()1()(1( - - - - - - x xxxx . )1( 12 )1( )1(2)1( 22 2 22 2 - - - - - x xx x xxx 教材教材P32 P32 例例2 2 求下列函数的导数：求下列函数的导数： 3 (1)cosyxx- 2 (2) x yx e 2 (3) 1 x y x - 32 (4)23 sinyxxxe 解：解： 332 (1)(cos )() (cos

6、)3sinyxxxxxx- 2222 (2)()()()2(2) xxxxxx yx exex exex exxe 22 222 (1)(1) (3)() 1(1) xxxxx y xx - - 2 22 1( 2 ) (1) xxx x - - 22 2 )1 ( 1 x x - 32 (4)(2) (3 sin ) ()yxxxe 0)sin( 3)(2 3 -xxx )cos(sin36 2 xxxx- 高阶导数高阶导数 如果可以对函数如果可以对函数 f(x) 的导函数的导函数 f (x) 再求导，再求导， 所得到的一个新函数，所得到的一个新函数， 称为函数称为函数 y = f(x) 的

7、二阶导数，的二阶导数， . d d 2 2 x y 记作记作 f (x) 或或 y 或或 如对二阶导数再求导，则如对二阶导数再求导，则 称三阶导数，称三阶导数，. d d 3 3 x y 记作记作 f (x) 或或 四阶或四阶以上导四阶或四阶以上导 数记为数记为 y(4)，y(5)， ，y(n) , d d 4 4 x y , d d n n x y 或或 ， 而把而把 f (x) 称为称为 f (x) 的一阶导数的一阶导数. 例例3 3 求下列函数的二阶导数求下列函数的二阶导数 (1)cosyxx(2)arctanyx (1)cos( sin )cossinyxxxxxx- xxxxxxxy

8、cossin2)cos(sinsin- 2 1 (2) 1 y x 22 2 )1 ( )1 ( x x y - 22 )1 ( 2 x x - 解：解： 二阶以上的导数可利用后面的数学软件二阶以上的导数可利用后面的数学软件来计算来计算 2.2.4 复合函数的求导法则 2.2 ( )( ) ( ( ) ( ) ( ) dydy du dxdu dx dy fuu x d uu xxyf u uyf u x x x 定理若函数在点 可导，函数 在点 处可导，则复合函数 在点 可导，且 或记作： 推论推论设设 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均均 可导可导，则复合函数则复

9、合函数 y = f ( (x) 也可导也可导， . xvux vuyy 以上法则说明：复合函数对自变量的导数等于复合以上法则说明：复合函数对自变量的导数等于复合 函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数. . 23 tan 4. 1(31) ; 2)sin(2); 3)lncos ;4); 5)2 x x yxyx yxye y - - 例 求下列函数的导数： ） 32 32222 2222 (1)( ), ( )31, ( )3( )( )3(31)(31) 3(31)618 (31) yux u xx yuxuxu xxx xxxx 解：

10、 函数可以分解为 明纬电源 明纬开关电源 仧莒徇 Microsoft Office PowerPoint，是，是 微软公司的演示文稿软件。用户可以在投影微软公司的演示文稿软件。用户可以在投影 仪或者计算机上进行演示，也可以将演示文仪或者计算机上进行演示，也可以将演示文 稿打印出来，制作成胶片，以便应用到更广稿打印出来，制作成胶片，以便应用到更广 泛的领域中。利用泛的领域中。利用Microsoft Office PowerPoint不仅可以创建演示文稿，还可不仅可以创建演示文稿，还可 以在互联网上召开面对面会议、远程会议或以在互联网上召开面对面会议、远程会议或 在网上给观众展示演示文稿。在网上给

11、观众展示演示文稿。 Microsoft Office PowerPoint做出来的东做出来的东 西叫演示文稿，其格式后缀名为：西叫演示文稿，其格式后缀名为：ppt、 pptx；或者也可以保存为：；或者也可以保存为：pdf、图片格式、图片格式 等等 13优学课堂 (2)2 cos(2) (2) 1 cos(2) 2 cos(2) 2 x yxx x x x x - - - - 把当作中间变量， (3)cos 1sin (cos )tan coscos x x yxx xx - - 把当作中间变量， tantan2tan (4)tan ()(tan )sec xxx x yeexxe 把当作中间变

12、量， (5) (2 )2 ln2 ()2 ln2 xxx x yx - - - 把当作中间变量， 先将要求导的函数分解成基本初等函数先将要求导的函数分解成基本初等函数,或或 常数与基本初等函数的和、差、积、商常数与基本初等函数的和、差、积、商. 任何初等函数的导数都可以按常数和基本任何初等函数的导数都可以按常数和基本 初等函数的求导公式和上述复合函数的求导初等函数的求导公式和上述复合函数的求导 法则求出法则求出. 复合函数求导的关键复合函数求导的关键: 正确分解初等函数正确分解初等函数 的复合结构的复合结构. 求导方法小结：求导方法小结： 2 322 1( 1) ; (2)cos3 (3)32

13、 4 lgcos(32) x yxyyxxx - - 练习：求下列函数的导数(课堂练习) （）；（ ） 22 2 22 22 22 (1) 6 ( 1) (2) 3 ln3 sin3 23 (3) 232 cos(32)sin(32) (4) (32)4 tan(32) cos(32)cos(32) xx yxx y x y xx xx yxxx xx - - - - - - 解: 例例5 5：求下列函数的导数：求下列函数的导数 （1） （2） （3） （4） 2 cosxy 23 2 - xx ey xylnlnln )1ln( 2 xxy 2.2.5 隐函数的导数 0 0( ) yxF x

14、y F xyyy x 与 的关系由方程（ ， ） 确定，未解出因变量的 方程（ ， ）= 所确定的函数称为隐函数 6( )1. y dy yy xyxe dx 例 设函数由方程所确定，求 (1) (), () (1) 1 y yyyy yy y y xyxe yexeex ey xeye e y xe - - 解：上式两边对 求导，则有 即 1 ; 2. xy y y 隐函数的求导步骤： （）方程两边对 求导，求导过程中把 视为中间变量， 得到一个含有 的等式 （ ）从所得等式中解出 22 7( )cos(). dy yy xyxyx dx -例 设函数由方程所确定，求 2222 22 222

15、2 2222 22 22 sin() () 1 sin() (22) 1 2 sin()2 sin() 12 sin() 1 2 sin() 1 2 sin() 12 sin() x xyxyxy yxyxyy yxxyyxyy yxyyxxy xxy y yxy - - 解：方程两边分别对 求导，得 2 ( )2. dy yy xxyyx dx 练习：设函数由方程所确定，求 2 () ()2 22 (2 )2 2 2 x xyy yx yy y xyyy y y xy - - 解：两边分别对 求导，得 二元函数的偏导数的求法二元函数的偏导数的求法 求 对自变量 (或 )的偏导数时,只须将另一

16、 自变量 (或 )看作常数,直接利用一元函数求导公式和 四则运算法则进行计算. ),(yxfz xy y x 例例1 1 设函数设函数 324 ( , )23,f x yxx yy- 求求( , ), x fx y ( , ), y fx y (1,1), x f (1, 1), y f - 解：解： xyxyyxxyxf xx 43)32(),( 2423 - 32423 122)32(),(yxyyxxyxf yy - 111413) 1 , 1 ( 2 - x f 14) 1(1212) 1, 1 ( 32 - y f 例例2 2 设函数设函数 求),ln()( 2222 yxyxz x

17、 z y z 解：解： xx yxyxyxyx x z )ln()ln()( 22222222 222222 22 1 2 ln()()()xxxyxyxy xy 22 2 ln()2xxyx 22 2 ln() 1xxy 类似可得类似可得 22 2222 2 )()ln(2 yx y yxyxy y z 22 2 ln() 1yxy 二元函数的二阶偏导数二元函数的二阶偏导数 函数函数 z = f ( x , y ) 的两个偏导数的两个偏导数 ),(yxf x z x ),(yxf y z y 一般说来仍然是一般说来仍然是 x , y 的函数，的函数， 如果这两个函数关于如果这两个函数关于 x

18、 , y 的偏导数也存在，的偏导数也存在， 则称它们的偏导数是则称它们的偏导数是 f (x , y) 的二阶偏导数的二阶偏导数. 依照对变量的不同求导次序，依照对变量的不同求导次序，二阶偏导数有四二阶偏导数有四 个：（用符号表示如下）个：（用符号表示如下） x z xx z x 2 2 x z ),(yxf xx ; xx z x z yx z y yx z 2 ),(yxf xy ; xy z y z xy z x xy z 2 ),(yxf yx ; yx z y z yy z y 2 2 y z ),(yxf yy . yy z 其中其中 及及 称为二阶混合偏导数称为二阶混合偏导数.),(yxf xy ),(yxf yx 类似的，可以定义三阶、四阶、类似的，可以定义三阶、四阶、 、n 阶偏导数，阶偏导数， 二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数， ),( ,),( yxf y yxf x 而 称为函数称为函数 f ( x , y ) 的一阶偏导数的一阶偏导数. 注：当两个二阶导数连续时，它们是相等的注：当两个二阶导数连