第05章时间序列模型

1、1 关于标准回归技术及其预测和检验我们已经在前关于标准回归技术及其预测和检验我们已经在前 面的章节讨论过了，本章着重于时间序列模型的估计面的章节讨论过了，本章着重于时间序列模型的估计 和定义，这些分析均是基于单方程回归方法，第和定义，这些分析均是基于单方程回归方法，第9章章 我们还会讨论时间序列的向量自回归模型。我们还会讨论时间序列的向量自回归模型。 这一部分属于动态计量经济学的范畴。通常是运这一部分属于动态计量经济学的范畴。通常是运 用时间序列的过去值、当期值及滞后扰动项的加权和用时间序列的过去值、当期值及滞后扰动项的加权和 建立模型，来建立模型，来“解释解释”时间序列的变化规律。时间序列的

2、变化规律。 2 在时间序列模型的发展过程中，一个重要的特征是在时间序列模型的发展过程中，一个重要的特征是 对统计均衡关系做某种形式的假设，其中一种非常特殊对统计均衡关系做某种形式的假设，其中一种非常特殊 的假设就是平稳性的假设。通常一个平稳时间序列能够的假设就是平稳性的假设。通常一个平稳时间序列能够 有效地用其均值、方差和自相关函数加以描述。本章首有效地用其均值、方差和自相关函数加以描述。本章首 先通过讨论回归方程扰动项通常会存在的序列相关性问先通过讨论回归方程扰动项通常会存在的序列相关性问 题，介绍如何应用时间序列数据的建模方法，修正扰动题，介绍如何应用时间序列数据的建模方法，修正扰动 项序

3、列的自相关性。进一步讨论时间序列的自回归移动项序列的自相关性。进一步讨论时间序列的自回归移动 平均模型（平均模型（ARMA模型），并且讨论它们的具体形式、模型），并且讨论它们的具体形式、 估计及识别方法。估计及识别方法。 3 由于传统的时间序列模型只能描述平稳时间序由于传统的时间序列模型只能描述平稳时间序 列的变化规律，而大多数经济时间序列都是非平稳列的变化规律，而大多数经济时间序列都是非平稳 的，因此，由的，因此，由20世纪世纪80年代初年代初Granger提出的协整概提出的协整概 念，引发了非平稳时间序列建模从理论到实践的飞念，引发了非平稳时间序列建模从理论到实践的飞 速发展。本章还介绍了

4、非平稳时间序列的单位根检速发展。本章还介绍了非平稳时间序列的单位根检 验方法、验方法、ARIMA模型的建模方法、协整理论的基本模型的建模方法、协整理论的基本 思想及误差修正模型。思想及误差修正模型。 4 第第3章在对扰动项章在对扰动项ut的一系列假设下，讨论了古典线的一系列假设下，讨论了古典线 性回归模型的估计、检验及预测问题。如果线性回归方性回归模型的估计、检验及预测问题。如果线性回归方 程的扰动项程的扰动项 ut 满足古典回归假设，使用满足古典回归假设，使用OLS所得到的估所得到的估 计量是线性无偏最优的。计量是线性无偏最优的。 但是如果扰动项但是如果扰动项 ut 不满足古典回归假设，回归

5、方程不满足古典回归假设，回归方程 的估计结果会发生怎样的变化呢？理论与实践均证明，的估计结果会发生怎样的变化呢？理论与实践均证明， 扰动项扰动项 ut 关于任何一条古典回归假设的违背，都将导致关于任何一条古典回归假设的违背，都将导致 回归方程的估计结果不再具有上述的良好性质。因此，回归方程的估计结果不再具有上述的良好性质。因此， 必须建立相关的理论，解决扰动项不满足古典回归假设必须建立相关的理论，解决扰动项不满足古典回归假设 所带来的模型估计问题。所带来的模型估计问题。 5 对于线性回归模型对于线性回归模型 (5.1.1) 随机扰动项之间不相关，即无序列相关的基本假设为随机扰动项之间不相关，即

6、无序列相关的基本假设为 (5.1.2) 如果扰动项序列如果扰动项序列 ut 表现为：表现为： (5.1.3) 即对于不同的样本点，随机扰动项之间不再是完全相互独立的，即对于不同的样本点，随机扰动项之间不再是完全相互独立的， 而是存在某种相关性，则认为出现了序列相关性而是存在某种相关性，则认为出现了序列相关性(serial correlation)。 tktkttt uxxxy 22110 Ttsuu stt ,2,1,00),cov( Ttsuu stt ,2,1,00),cov( 6 由于通常假设随机扰动项都服从均值为由于通常假设随机扰动项都服从均值为0，同方差，同方差 的正态分布，则序列相

7、关性也可以表示为：的正态分布，则序列相关性也可以表示为： (5.1.4) 特别的，如果仅存在特别的，如果仅存在 (5.1.5) 称为称为，这是一种最为常见的序列相关问，这是一种最为常见的序列相关问 题。题。 TtsuuE stt ,2,1,00)( TtuuE tt ,2,10)( 1 7 如果回归方程的扰动项存在序列相关，那么应用如果回归方程的扰动项存在序列相关，那么应用 最小二乘法得到的参数估计量的方差将被高估或者低最小二乘法得到的参数估计量的方差将被高估或者低 估。因此，检验参数显著性水平的估。因此，检验参数显著性水平的 t 统计量将不再可信。统计量将不再可信。 可以将序列相关可能引起的

8、后果归纳为：可以将序列相关可能引起的后果归纳为： 使用使用OLS公式计算出的标准差不正确，相应的公式计算出的标准差不正确，相应的 显著性水平的检验不再可信显著性水平的检验不再可信 ； 回归得到的参数估计量的显著性水平的检验不回归得到的参数估计量的显著性水平的检验不 再可信。再可信。 在线性估计中在线性估计中OLS估计量不再是有效的；估计量不再是有效的； 8 EViews提供了检测序列相关和估计方法的工具。但提供了检测序列相关和估计方法的工具。但 首先必须排除虚假序列相关。首先必须排除虚假序列相关。 例如，例如， 在生产函数模型中，如果省略了资本这个重要的解释变在生产函数模型中，如果省略了资本这

9、个重要的解释变 量，资本对产出的影响就被归入随机误差项。由于资本量，资本对产出的影响就被归入随机误差项。由于资本 在时间上的连续性，以及对产出影响的连续性，必然导在时间上的连续性，以及对产出影响的连续性，必然导 致随机误差项的序列相关。所以在这种情况下，要把显致随机误差项的序列相关。所以在这种情况下，要把显 著的变量引入到解释变量中。著的变量引入到解释变量中。 9 EViews提供了以下提供了以下3种检测序列相关的方法。种检测序列相关的方法。 Durbin-Watson 统计量（简称统计量（简称D_W统计量）用于检统计量）用于检 验一阶序列相关，还可估算回归模型邻近残差的线性联验一阶序列相关，

10、还可估算回归模型邻近残差的线性联 系。对于扰动项系。对于扰动项 ut 建立一阶自回归方程：建立一阶自回归方程： (5.1.6) D_W统计量检验的统计量检验的 ttt uu 1 10 正序列相关最为普遍，根据经验，对于有大于正序列相关最为普遍，根据经验，对于有大于50个观测个观测 值和较少解释变量的方程，值和较少解释变量的方程，D.W.值小于值小于1.5的情况，说明残差的情况，说明残差 序列存在强的正一阶序列相关。序列存在强的正一阶序列相关。 ) 1 (2 )( . 1 2 2 2 1 T t t T t tt u uu WD 11 1D-W统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵统计量的扰动项

11、在原假设下依赖于数据矩阵X。 2回归方程右边如果存在滞后因变量，回归方程右边如果存在滞后因变量，D-W检验不检验不 再有效。再有效。 3仅仅检验是否存在一阶序列相关。仅仅检验是否存在一阶序列相关。 其他两种检验序列相关方法：相关图和其他两种检验序列相关方法：相关图和Q-统计量、统计量、 Breush-Godfrey LM检验克服了上述不足，应用于大多数检验克服了上述不足，应用于大多数 场合。场合。 12 我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关系数我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关系数 和偏自相关系数来检验序列相关。时间序列和偏自相关系数来检验序列相关。时间序列 ut 滞后滞后

12、k 阶的阶的 自相关系数由下式估计自相关系数由下式估计 （5.2.26） 其中其中 是序列的样本均值，这是相距是序列的样本均值，这是相距 k 期值的相关系数。期值的相关系数。 称称 rk 为时间序列为时间序列 ut 的自相关系数，自相关系数可以部分的的自相关系数，自相关系数可以部分的 刻画一个随机过程的性质。它告诉我们在序列刻画一个随机过程的性质。它告诉我们在序列 ut 的邻近数的邻近数 据之间存在多大程度的相关性。据之间存在多大程度的相关性。 T t t T kt ktt k uu uuuu r 1 2 1 u 13 偏自相关系数是指在给定偏自相关系数是指在给定ut-1，ut-2，ut-k-

13、1的条件下，的条件下， ut 与与ut-k 之间的条件相关性。其相关程度用偏自相关系数之间的条件相关性。其相关程度用偏自相关系数 k,k 度量。在度量。在 k 阶滞后下估计偏自相关系数的计算公式如下阶滞后下估计偏自相关系数的计算公式如下 （5.2.27） 其中：其中：rk 是在是在 k 阶滞后时的自相关系数估计值。阶滞后时的自相关系数估计值。 （5.2.28） 这是偏自相关系数的一致估计。这是偏自相关系数的一致估计。 1 1 1 1 1 , 1 1 1 , 1 1 , k r rr kr k j jkjk k j jkjkk kk jkkkkjkjk , 1, 1, 14 要得到要得到 k,k

14、的更确切的估计，需要进行回归的更确切的估计，需要进行回归 t = 1, 2, , T （5.2.29） 因此，滞后因此，滞后 k 阶的偏自相关系数是当阶的偏自相关系数是当 ut 对对 ut-1，ut-k 作回归时作回归时 ut-k 的系数。称之为偏相关是因为它度量了的系数。称之为偏相关是因为它度量了k 期期 间距的相关而不考虑间距的相关而不考虑 k - -1 期的相关。期的相关。 tktkkktktt uuuu ,11110 15 我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关 和偏自相关系数，以及和偏自相关系数，以及Ljung-Box Q-统计量来检

15、验序列统计量来检验序列 相关。相关。Q-统计量的表达式为：统计量的表达式为： p j j LB jT r TTQ 1 2 2 (5.1.7) 其中：其中：rj 是残差序列的是残差序列的 j 阶自相关系数，阶自相关系数，T 是观测值的个是观测值的个 数，数，p是设定的滞后阶数是设定的滞后阶数 。 16 p 阶滞后的阶滞后的Q-统计量的统计量的 如果如果Q-统计量在某一滞后阶数显著不为零，则说统计量在某一滞后阶数显著不为零，则说 明序列存在某种程度上的序列相关。在实际的检验中，明序列存在某种程度上的序列相关。在实际的检验中， 通常会计算出不同滞后阶数的通常会计算出不同滞后阶数的Q-统计量、自相关系

16、数统计量、自相关系数 和偏自相关系数。如果，各阶和偏自相关系数。如果，各阶Q-统计量都没有超过由统计量都没有超过由 设定的显著性水平决定的临界值，则接受原假设，即设定的显著性水平决定的临界值，则接受原假设，即 不存在序列相关，并且此时，各阶的自相关和偏自相不存在序列相关，并且此时，各阶的自相关和偏自相 关系数都接近于关系数都接近于0。 17 反之，如果，在某一滞后阶数反之，如果，在某一滞后阶数 p，Q-统计量超过设定统计量超过设定 的显著性水平的临界值，则拒绝原假设，说明残差序列存的显著性水平的临界值，则拒绝原假设，说明残差序列存 在在 p 阶自相关。由于阶自相关。由于Q-统计量的统计量的 P

17、 值要根据自由度值要根据自由度 p 来来 估算，因此，一个较大的样本容量是保证估算，因此，一个较大的样本容量是保证Q-统计量有效统计量有效 的重要因素。的重要因素。 在方程工具栏选择在方程工具栏选择View/Residual Tests/correlogram- Q-statistics。EViews将显示残差的自相关和偏自相关函数将显示残差的自相关和偏自相关函数 以及对应于高阶序列相关的以及对应于高阶序列相关的Ljung-Box Q统计量。统计量。 。 18 考虑美国的一个投资方程。美国的考虑美国的一个投资方程。美国的GNP和国内私人总投和国内私人总投 资资INV是单位为是单位为10亿美元的

18、名义值，价格指数亿美元的名义值，价格指数P为为GNP的平的平 减指数减指数（1972=100），），利息率利息率R为半年期商业票据利息。回为半年期商业票据利息。回 归方程所采用的变量都是实际归方程所采用的变量都是实际GNP和实际投资；它们是通和实际投资；它们是通 过将名义变量除以价格指数得到的，分别用小写字母过将名义变量除以价格指数得到的，分别用小写字母gnp， inv表示。实际利息率的近似值表示。实际利息率的近似值 r 则是通过贴现率则是通过贴现率R减去价减去价 格指数变化率格指数变化率 p 得到的。样本区间：得到的。样本区间：1963年年1984年，建年，建 立如下线性回归方程：立如下线性

19、回归方程： t = 1, 2, , T tttt ugnprinv )ln()ln( 211 19 应用最小二乘法得到的估计方程如下应用最小二乘法得到的估计方程如下： t =（-1.32） （154.25） R2=0.80 D.W.=0.94 tttt ugnprinv)ln(734. 0016. 0)ln( 1 20 虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。如虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。如 果自相关值在这个区域内，则在显著水平为果自相关值在这个区域内，则在显著水平为5%的情形下与零没有显的情形下与零没有显 著区别。著区别。 本例本例 1 阶的自相关系数

20、和偏自相关系数都超出了虚线，说明存在阶的自相关系数和偏自相关系数都超出了虚线，说明存在1 阶序列相关。阶序列相关。1 阶滞后的阶滞后的Q-统计量的统计量的 P 值很小，拒绝原假设，残差序值很小，拒绝原假设，残差序 列存在一阶序列相关。列存在一阶序列相关。 选择选择View/Residual test/Correlogram-Q-statistice会产生如下结果：会产生如下结果： 21 与与D.W.统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关不同，统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关不同， Breush-Godfrey LM检验（检验（Lagrange multiplier，即拉格，即拉格 朗日乘数检

21、验）也可应用于检验回归方程的残差序列是朗日乘数检验）也可应用于检验回归方程的残差序列是 否存在高阶自相关，而且在方程中存在滞后因变量的情否存在高阶自相关，而且在方程中存在滞后因变量的情 况下，况下，LM检验仍然有效。检验仍然有效。 检验统计量由如下辅助回归计算。检验统计量由如下辅助回归计算。 22 （1）估计回归方程，并求出残差）估计回归方程，并求出残差et (5.1.8) （2）检验统计量可以基于如下回归得到）检验统计量可以基于如下回归得到 (5.1.9) 这是对原始回归因子这是对原始回归因子Xt 和直到和直到 p 阶的滞后残差的回归。阶的滞后残差的回归。 。 F统计量是对式（统计量是对式（

22、5.1.9）所有滞后残差联合显著性的一种检）所有滞后残差联合显著性的一种检 验。验。TR2统计量是统计量是LM检验统计量，是观测值个数检验统计量，是观测值个数 T 乘以乘以 回归方程（回归方程（5.1.9）的）的 R2。一般情况下，。一般情况下，TR2统计量服从统计量服从 渐进的渐进的 2(p) 分布。分布。 ktktttt xxxye 22110 tptpttt veee 11 X 23 在给定的显著性水平下，如果这两个统计量小于设在给定的显著性水平下，如果这两个统计量小于设 定显著性水平下的临界值，说明序列在设定的显著性水定显著性水平下的临界值，说明序列在设定的显著性水 平下不存在序列相关

23、；反之，如果这两个统计量大于设平下不存在序列相关；反之，如果这两个统计量大于设 定显著性水平下的临界值，则说明序列存在序列相关性。定显著性水平下的临界值，则说明序列存在序列相关性。 选择选择View/Residual Tests/Serial correlation LM Test， 一般地对高阶的，含有一般地对高阶的，含有ARMA误差项的情况执行误差项的情况执行 Breush-Godfrey LM。在滞后定义对话框，输入要检验。在滞后定义对话框，输入要检验 序列的最高阶数。序列的最高阶数。 24 LM统计量显统计量显 示，在示，在5%的显的显 著性水平拒绝原著性水平拒绝原 假设，回归方程假设

24、，回归方程 的残差序列存在的残差序列存在 序列相关性。因序列相关性。因 此，回归方程的此，回归方程的 估计结果不再有估计结果不再有 效，必须采取相效，必须采取相 应的方式修正残应的方式修正残 差的自相关性。差的自相关性。 25 考虑美国消费考虑美国消费CS 和和GDP及前期消费之间的关系，数据及前期消费之间的关系，数据 期间：期间：1947年第年第1季度季度1995年第年第1季度，数据中已消除了季度，数据中已消除了 季节要素，建立如下线性回归方程：季节要素，建立如下线性回归方程： t = 1, 2, , T 应用最小二乘法得到的估计方程如下：应用最小二乘法得到的估计方程如下： t = ( 1.

25、93) (3.23) (41.24) R2=0.999 D.W.=1.605 ttt uGDPcCSccCS 21t10 tttt uGDP.CS.CS0509301510 1 26 如果单纯从显著性水平、拟合优度及如果单纯从显著性水平、拟合优度及D.W.值来看，值来看， 这个模型是一个很理想的模型。但是，由于方程的解释这个模型是一个很理想的模型。但是，由于方程的解释 变量存在被解释变量的一阶滞后项，那么变量存在被解释变量的一阶滞后项，那么 D.W.值就不能值就不能 作为判断回归方程的残差是否存在序列相关的标准，如作为判断回归方程的残差是否存在序列相关的标准，如 果残差序列存在序列相关，那么，

26、显著性水平、拟合优果残差序列存在序列相关，那么，显著性水平、拟合优 度和度和F统计量将不再可信。所以，必须采取本节中介绍统计量将不再可信。所以，必须采取本节中介绍 的其他检验序列相关的方法检验残差序列的自相关性。的其他检验序列相关的方法检验残差序列的自相关性。 这里采用这里采用 LM 统计量进行检验统计量进行检验(p=2)，得到结果如下得到结果如下： LM统计量显示，回归方程的残差序列存在明显的统计量显示，回归方程的残差序列存在明显的 序列相关性。序列相关性。 27 下面给出残差序列的自相关系数和偏自相关系数，相关图如下：下面给出残差序列的自相关系数和偏自相关系数，相关图如下： 本例本例13阶

27、的自相关系数都超出了虚线，说明存在阶的自相关系数都超出了虚线，说明存在3阶序列相关。阶序列相关。 各阶滞后的各阶滞后的Q-统计量的统计量的P值都小于值都小于1%，说明在，说明在1%的显著性水平下，的显著性水平下， 拒绝原假设，残差序列存在序列相关。拒绝原假设，残差序列存在序列相关。 28 线性回归模型扰动项序列相关的存在，会导致模型线性回归模型扰动项序列相关的存在，会导致模型 估计结果的失真。因此，必须对扰动项序列的结构给予估计结果的失真。因此，必须对扰动项序列的结构给予 正确的描述，以期消除序列相关对模型估计结果带来的正确的描述，以期消除序列相关对模型估计结果带来的 不利影响。不利影响。 通

28、常可以用通常可以用AR(p) 模型来描述一个平稳序列的自相模型来描述一个平稳序列的自相 关的结构，定义如下：关的结构，定义如下： (5.1.10) (5.1.11) tktkttt uxxxy 22110 tptpttt uuuu 2211 29 其中：其中：ut 是无条件扰动项，它是回归方程（是无条件扰动项，它是回归方程（5.1.10） 的扰动项，参数的扰动项，参数 0， 1， 2， k 是回归模型的系数。是回归模型的系数。 式（式（5.1.11）是扰动项）是扰动项 ut 的的 p 阶自回归模型，参数阶自回归模型，参数 1， ， 2， ， ， p 是 是 p 阶自回归模型的系数，阶自回归模型

29、的系数， t 是无条件扰动项是无条件扰动项ut自自 回归模型的误差项，并且是均值为回归模型的误差项，并且是均值为0，方差为常数的白噪，方差为常数的白噪 声序列，它是因变量真实值和以解释变量及以前预测误声序列，它是因变量真实值和以解释变量及以前预测误 差为基础的预测值之差。差为基础的预测值之差。 下面将讨论如何利用下面将讨论如何利用AR(p)模型修正扰动项的序列模型修正扰动项的序列 相关，以及用什么方法来估计消除扰动项后方程的未知相关，以及用什么方法来估计消除扰动项后方程的未知 参数。参数。 30 最简单且最常用的序列相关模型是一阶自回归最简单且最常用的序列相关模型是一阶自回归AR(1)模模 型

30、。为了便于理解，先讨论一元线性回归模型，并且具有一型。为了便于理解，先讨论一元线性回归模型，并且具有一 阶序列相关的情形，即阶序列相关的情形，即p = 1的情形：的情形： (5.1.12) (5.1.13) ttt uxy 10 ttt uu 1 把式（把式（5.1.13）带入式（）带入式（5.1.12）中得到）中得到 (5.1.14) tttt uxy 110 31 然而，由式（然而，由式（5.1.12）可得）可得 (5.1.15) 再把式（再把式（5.1.15）代入式（）代入式（5.1.14）中，）中， 并整理并整理 (5.1.16) 令令 ，代入式（，代入式（5.1.16）中有）中有 (

31、5.1.17) 如果已知如果已知 的具体值，可以直接使用的具体值，可以直接使用OLS方法进行估计。方法进行估计。 如果如果 的值未知，通常可以采用的值未知，通常可以采用GaussNewton迭代法求解，迭代法求解， 同时得到同时得到 ， 0， 1的估计量。的估计量。 11011 ttt xyu ttttt xxyy )()1 ( 1101 1 * 1 * , tttttt xxxyyy ttt xy * 10 * )1 ( ttttt xyxy )( 110110 32 通常如果残差序列存在通常如果残差序列存在 p 阶序列相关，误差形式可以阶序列相关，误差形式可以 由由AR(p)过程给出。对于

32、高阶自回归过程，可以采取与一过程给出。对于高阶自回归过程，可以采取与一 阶序列相关类似的方法，把滞后误差逐项代入，最终得到阶序列相关类似的方法，把滞后误差逐项代入，最终得到 一个误差项为白噪声序列，参数为非线性的回归方程，并一个误差项为白噪声序列，参数为非线性的回归方程，并 且采用且采用Gauss-Newton迭代法求得非线性回归方程的参数。迭代法求得非线性回归方程的参数。 例如，仍讨论一元线性回归模型，并且扰动项序列具例如，仍讨论一元线性回归模型，并且扰动项序列具 有有3阶序列相关的情形，即阶序列相关的情形，即p = 3的情形：的情形： 33 ttt uxy 10 ttttt uuuu 33

33、2211 (5.1.18) (5.1.19) 按照上面处理按照上面处理AR(1) 的方法，把扰动项的滞后项代入原的方法，把扰动项的滞后项代入原 方程中去，得到如下表达式：方程中去，得到如下表达式： ttt tttttt xy xyxyxy )( )()( 31033 210221101110 (5.1.20) 通过一系列的化简后，仍然可以得到参数为非线性，误通过一系列的化简后，仍然可以得到参数为非线性，误 差项差项 t 为白噪声序列的回归方程。运用非线性最小二乘法，为白噪声序列的回归方程。运用非线性最小二乘法， 可以估计出回归方程的未知参数可以估计出回归方程的未知参数 0 , 1 , 1 ,

34、2 , 3。 34 我们可以将上述讨论引申到更一般的情形：对于非线我们可以将上述讨论引申到更一般的情形：对于非线 性形式为性形式为 f (xt , )的非线性模型，的非线性模型，xt = 1, x1t , x2t , xkt ， = 0 , 1 , k ，若扰动项序列存在，若扰动项序列存在p阶序列相关，阶序列相关， (5.1.21) (5.1.22) 也可用类似方法转换成误差项也可用类似方法转换成误差项 t为白噪声序列的非线为白噪声序列的非线 性回归方程，以性回归方程，以p = 1为例，为例， (5.1.23) 使用使用Gauss-Newton算法来估计参数。算法来估计参数。 ttt ufy)

35、,(x tptpttt uuuu 2211 ttttt ffyy ),(),( 1111 xx 35 打开一个方程估计窗口，输入方程变量，最后输入打开一个方程估计窗口，输入方程变量，最后输入 ar(1) ar(2) ar(3)。针对例。针对例5.2定义方程为：定义方程为： 36 需要注意的是，输入的需要注意的是，输入的ar(1) ar(2) ar(3) 分别代表分别代表3个个 滞后项的系数，因此，如果我们认为扰动项仅仅在滞后滞后项的系数，因此，如果我们认为扰动项仅仅在滞后2 阶和滞后阶和滞后4阶存在自相关，其他滞后项不存在自相关，即阶存在自相关，其他滞后项不存在自相关，即 则估计时应输入：则估

36、计时应输入：cs c gdp cs(-1) ar(2) ar(4) EViews在消除序列相关时给予很大灵活性，可以输在消除序列相关时给予很大灵活性，可以输 入模型中想包括的各个自回归项。例如，如果有季度数据入模型中想包括的各个自回归项。例如，如果有季度数据 而且想用一个单项来消除季节自回归，可以输入：而且想用一个单项来消除季节自回归，可以输入：cs c gdp cs(-1) ar(4)。 tttt uuu 4422 37 例例5.1中检验到美国投资方程的残差序列存在一阶序列相中检验到美国投资方程的残差序列存在一阶序列相 关。这里将采用关。这里将采用AR(1)模型来修正投资方程的自相关性：模型

37、来修正投资方程的自相关性： t = 1, 2, , T 回归估计的结果如下：回归估计的结果如下： t = (1.79) （55.36） t = (4.45) R2= 0.86 D.W. = 1.47 tttt ugnprinv)ln()ln( 21 ttt uu 11 )ln(72. 0027. 0)ln( ttt gnprvn i 1 74. 0 tt uu 38 再对新的残差序列进行再对新的残差序列进行LM检验检验(p=2)，最终得到的检，最终得到的检 验结果如下：验结果如下： 检验结果不能拒绝原假设，即修正后的回归方程的残检验结果不能拒绝原假设，即修正后的回归方程的残 差序列不存在序列相

38、关性。因此，用差序列不存在序列相关性。因此，用AR(1)模型修正后的回模型修正后的回 归方程的估计结果是有效的。归方程的估计结果是有效的。 39 例例5.2中检验到带有滞后因变量的回归方程的残差序中检验到带有滞后因变量的回归方程的残差序 列存在明显的序列自相关。而且从相关图看到，可以采列存在明显的序列自相关。而且从相关图看到，可以采 用用AR(3) 模型来修正回归方程的自相关性。模型来修正回归方程的自相关性。 tttt uGDPcCSccCS 2110 ttttt uuuu 332211 回归估计的结果如下：回归估计的结果如下： 40 模型建立如下：模型建立如下： t = (-3.9) (7.

39、29) （13.54） t = (4.85) (3.07) （3.03） R2=0.999 D.W=1.94 tttt uGDP.CS.CS2506508665 1 ttttt uuuu 321 22. 023. 037. 0 41 再对新的残差序列再对新的残差序列 进行进行LM检验，最终得到的检验结果如下：检验，最终得到的检验结果如下： t 给出纠正后的残差序列的给出纠正后的残差序列的Q-统计量和序列相关图，在直观上认识统计量和序列相关图，在直观上认识 到消除序列相关后的残差序列是一个随机扰动序列。到消除序列相关后的残差序列是一个随机扰动序列。 42 当估计某个含有当估计某个含有AR项的模型

40、时，在解释结果时一项的模型时，在解释结果时一 定要小心。在用通常的方法解释估计系数、系数标准误定要小心。在用通常的方法解释估计系数、系数标准误 差和差和t-统计量时，涉及残差的结果会不同于统计量时，涉及残差的结果会不同于OLS的估计的估计 结果。结果。 要理解这些差别，记住一个含有要理解这些差别，记住一个含有AR项的模型有两项的模型有两 种残差：种残差： 第一种是第一种是 bxyu ttt 通过原始变量以及估计参数通过原始变量以及估计参数 算出。在用同期信息算出。在用同期信息 对对 yt 值进行预测时，这些残差是可以观测出的误差，但值进行预测时，这些残差是可以观测出的误差，但 要忽略滞后残差中

41、包含的信息。要忽略滞后残差中包含的信息。 43 第二种残差是估计的第二种残差是估计的 。如。如 名所示，这种残差代表预测误差。名所示，这种残差代表预测误差。 对于含有对于含有AR项的模型，基于残差的回归统计项的模型，基于残差的回归统计 量，如量，如R2 (回归标准误差回归标准误差)和和D-W值都是以一期向前值都是以一期向前 预测误差预测误差 为基础的。含有为基础的。含有AR项的模型独有的统项的模型独有的统 计量是估计的计量是估计的AR系数系数 。 i 44 对于简单对于简单AR(1)模型，模型， 是无条件残差是无条件残差 t 的序列的序列 相关系数。对于平稳相关系数。对于平稳AR(1)模型，模

42、型， 1 在在-1（极端负序（极端负序 列相关）和列相关）和+1（极端正序列相关）之间。（极端正序列相关）之间。 EViews在回归输出的底部给出这些根：在回归输出的底部给出这些根：Inverted AR Roots。如果存在虚根，根的模应该小于。如果存在虚根，根的模应该小于1。 1 01 2 21 p pz zz 45 另外：另外：EViews可以估计带有可以估计带有AR误差项的误差项的 。 例如：将例例如：将例5.4中的模型变为如下的非线性模型，估中的模型变为如下的非线性模型，估 计如下带有附加修正项计如下带有附加修正项AR(3)的非线性方程：的非线性方程： t c ttt uGDPCSc

43、cCS 2 110 用公式法输入：用公式法输入： cs=c(1)+gdpc(2)+c(3)*cs(-1)+ ttttt uuuu 332211 46 输出结果显示为：输出结果显示为： 47 本节将不再仅仅以一个回归方程的扰动项序列为本节将不再仅仅以一个回归方程的扰动项序列为 研究对象，而是直接讨论一个平稳时间序列的建模问研究对象，而是直接讨论一个平稳时间序列的建模问 题。在现实中很多问题，如利率波动、收益率变化及题。在现实中很多问题，如利率波动、收益率变化及 汇率变化等通常是一个平稳序列，或者通过差分等变汇率变化等通常是一个平稳序列，或者通过差分等变 换可以化成一个平稳序列。换可以化成一个平稳

44、序列。 本节中介绍的本节中介绍的ARMA模型模型(autoregressive moving average models)可以用来研究这些经济变量的变化规可以用来研究这些经济变量的变化规 律，这样的一种建模方式属于时间序列分析的研究范律，这样的一种建模方式属于时间序列分析的研究范 畴。畴。 48 经济时间序列不同于横截面数据存在重复抽样的情经济时间序列不同于横截面数据存在重复抽样的情 况，它是一个随机事件的惟一记录，如中国况，它是一个随机事件的惟一记录，如中国1980年年 2004年的进出口总额是惟一的实际发生的历史记录。从年的进出口总额是惟一的实际发生的历史记录。从 经济的角度看，这个过程

45、是不可重复的。横截面数据中经济的角度看，这个过程是不可重复的。横截面数据中 的随机变量可以非常方便地通过其均值、方差或生成数的随机变量可以非常方便地通过其均值、方差或生成数 据的概率分布加以描述，但是在时间序列中这种描述很据的概率分布加以描述，但是在时间序列中这种描述很 不清楚。因此，经济时间序列需要对均值和方差给出明不清楚。因此，经济时间序列需要对均值和方差给出明 晰的定义。晰的定义。 为了叙述方便，本节中的为了叙述方便，本节中的ut代表平稳时间序列，代表平稳时间序列， 而不是残差序列。而不是残差序列。 49 如果随机过程如果随机过程 的均值和方差、自协方差都不取决于的均值和方差、自协方差都

46、不取决于 t，则称，则称ut是协方差平是协方差平 稳的或弱平稳的：稳的或弱平稳的： , 12101 TTt uuuuuuu 注意，如果一个随机过程是弱平稳的，则注意，如果一个随机过程是弱平稳的，则 ut 与与 u t-s 之间之间 的协方差仅取决于的协方差仅取决于s ，即仅与观测值之间的间隔长度，即仅与观测值之间的间隔长度 s 有关，有关， 而与时期而与时期 t 无关。一般所说的无关。一般所说的“平稳性平稳性”含义就是上述的弱含义就是上述的弱 平稳定义。平稳定义。 )( t uE 2 )var( t u 对所有的对所有的 t 对所有的对所有的 t 对所有的对所有的 t 和和 s sstt uu

47、E )( (5.2.1) (5.2.2) (5.2.3) 50 p 阶自回归模型记作阶自回归模型记作AR(p)，满足下面的方程：，满足下面的方程： (5.2.4) 其中：参数其中：参数 c 为常数；为常数； 1 , 2 , p 是自回归模型系数；是自回归模型系数； p为自回归模型阶数；为自回归模型阶数； t 是均值为是均值为0，方差为，方差为 2 的白噪声的白噪声 序列。序列。 tptpttt uuucu 2211 51 q 阶移动平均模型记作阶移动平均模型记作MA(q) ，满足下面的方，满足下面的方 程：程： (5.2.5) 其中：参数其中：参数 为常数；参数为常数；参数 1 , 2 , q

48、 是是 q 阶移动阶移动 平均模型的系数；平均模型的系数； t 是均值为是均值为0，方差为，方差为 2的白噪声的白噪声 序列。序列。 qtqttt u 11 52 (5.2.6) 显然此模型是模型显然此模型是模型(5.2.4)与与(5.2.5)的组合形式，称为混合的组合形式，称为混合 模型，常记作模型，常记作ARMA(p,q)。 当当 p=0 时，时，ARMA(0, q) = MA(q) 当当q = 0时，时，ARMA(p, 0) = AR(p) qtqttptptt uucu 1111 53 为了理解为了理解AR(p)、MA(q)和和ARMA(p,q)模型的理论结构，模型的理论结构， 简单的

49、算子理论是必不可少的。对于简单的算子理论是必不可少的。对于AR(p)模型模型 (5.2.7) 设设L为滞后算子，则有为滞后算子，则有Lut ut-1, Lput ut-p，特别地，特别地， L0ut ut。则式（则式（5.2.7）可以改写为：）可以改写为： tptpttt uuucu 2211 tt p p cuLLL)1 ( 2 21 (5.2.8) 54 若设若设 (L) 1 - 1 L - 2 L2 - - p Lp ，令，令 (5.2.9) 则则 (z) 是一个关于是一个关于 z 的的 p 次多项式，次多项式， 。式。式(5.2.7)可以改写可以改写 为滞后算子多项式的形式为滞后算子多

50、项式的形式 可以证明如果可以证明如果AR(p)模型满足平稳性条件，则式模型满足平稳性条件，则式(5.2.10) 可以表示为可以表示为MA( )的形式，从而可以推导出来任何一个的形式，从而可以推导出来任何一个 AR(p)模型均可以表示为白噪声序列的线性组合。模型均可以表示为白噪声序列的线性组合。 01)( 2 21 p P zzzz tt cuL)(5.2.10) 55 考察考察MA(q) 模型模型 若若 尽管不可逆时也可以表征任何给定的数据，但是一些参尽管不可逆时也可以表征任何给定的数据，但是一些参 数估计和预测算法只有在使用可逆表示时才有效。数估计和预测算法只有在使用可逆表示时才有效。 t

51、q qt LLLu)1 ( 2 21 (5.2.16) t t E t 0 )( 2 01 2 21 q q zzz 56 ARMA(p,q) 模型包括了一个自回归模型模型包括了一个自回归模型AR(p)和一个移和一个移 动平均模型动平均模型MA(q) 或者以滞后算子多项式的形式表示或者以滞后算子多项式的形式表示 qtqttptptt uucu 1111 (5.2.19) t q q t p p LLLc uLLL )1 ( )1 ( 2 21 2 21 (5.2.20) 57 若令若令 则则 。 01)( 2 21 p p zzzz (5.2.21) ARMA模型构造了一种更为复杂的白噪声序列

52、的线性模型构造了一种更为复杂的白噪声序列的线性 组合，近似逼近一个平稳序列。组合，近似逼近一个平稳序列。 58 ARMA(p,q)模型中模型中AR和和MA部分应使用关键词部分应使用关键词ar和和ma 定义。在上面定义。在上面AR定义中，我们已见过这种方法的例子，这定义中，我们已见过这种方法的例子，这 对对MA也同样适用。也同样适用。 例如，估计因变量为例如，估计因变量为LS的一个的一个2阶自回归和阶自回归和1阶动平均阶动平均 过程过程ARMA(2,1)，应将，应将AR(1), MA(1), AR(2) 包含在回归因包含在回归因 子列表中：子列表中： LS c ar(1) ar(2) ma(1)

53、 如果采用公式法输入方程，要将如果采用公式法输入方程，要将AR项系数明确列出，项系数明确列出， 形式为：形式为： LS = c(1)+ar(1)=c(2),ar(2)=c(3)。 含有含有MA项只能用列表法。项只能用列表法。 59 本例取我国上证收盘指数（时间期间：本例取我国上证收盘指数（时间期间：1991年年1 月月2007年年8月）的月度时间序列月）的月度时间序列S作为研究对象，用作为研究对象，用 AR(1)模型描述其变化规律。首先对其做变化率，模型描述其变化规律。首先对其做变化率， srt = 100(St-St-1)/S t-1（t = 1, 2, , T） 这样便得到了变化率序列。一

54、般来讲，股价指数序列这样便得到了变化率序列。一般来讲，股价指数序列 并不是一个平稳的序列，而通过变换后的变化率数据，并不是一个平稳的序列，而通过变换后的变化率数据， 是一个平稳序列，可以作为我们研究、建模的对象。是一个平稳序列，可以作为我们研究、建模的对象。 记上证股价指数变化率序列为记上证股价指数变化率序列为sr。 60 建立如下模型：建立如下模型： t = 1, 2, , T 估计输出结果显示为：估计输出结果显示为： ttt usrcsr 1 61 如果建立如下模型：如果建立如下模型： t = 1, 2, , T 估计输出结果显示为：估计输出结果显示为： ttt uu 1 tt ucsr

55、注意到两种方法计算的常数项不同，差在注意到两种方法计算的常数项不同，差在 上。上。cc 62 从图从图5.2可以看出我国上证股价指数变化率序列在可以看出我国上证股价指数变化率序列在1991 年年1994年之间变化很大，而后逐渐变小，基本在年之间变化很大，而后逐渐变小，基本在3%上下波上下波 动。近年来波动平缓，并且大多在动。近年来波动平缓，并且大多在3%下面波动。拟合曲线基下面波动。拟合曲线基 本代表了这一时期的均值。本代表了这一时期的均值。 63 对例对例5.5中我国上证收盘指数（时间期间：中我国上证收盘指数（时间期间：1991年年1月月 2007年年8月）的月度时间序列月）的月度时间序列S

56、的对数差分变换的对数差分变换LS=dlog(S)， 即股票收益率用即股票收益率用ARMA(1,1)模型来估计，来说明模型来估计，来说明EViews是是 如何估计一个如何估计一个ARMA(p，q)模型的。模型的。 建立方程，输入建立方程，输入 LS c ar(1) ma(1) tt ucLS 11 tttt uu 64 估计输出显示：估计输出显示： 65 11 11 1111 32. 0 39. 0)39. 01 (0186. 0 32. 0)0186. 0 (39. 00186. 0 ttt ttt tttt SL SL ucSL 估计方程可写为：估计方程可写为： t = (1.87) t =

57、 (-0.43) （0.35） R2= 0.00476 D.W. = 1.98 也可写为：也可写为： tt uSL0186. 0 11 32. 039. 0 tttt uu 66 一个含有一个含有AR项的模型有两种残差：第一种是无条件项的模型有两种残差：第一种是无条件 残差残差 ，第二种残差是估计的一期向前预测误差，第二种残差是估计的一期向前预测误差 。如名。如名 所示，这种残差代表预测误差。实际上，通过利用滞后残所示，这种残差代表预测误差。实际上，通过利用滞后残 差的预测能力，改善了无条件预测和残差。差的预测能力，改善了无条件预测和残差。 对于含有对于含有ARMA项的模型，基于残差的回归统计

58、量，项的模型，基于残差的回归统计量， 如如 R2 和和D.W.值都是以一期向前预测误差为基础计算的。含值都是以一期向前预测误差为基础计算的。含 有有AR项的模型独有的统计量是估计的项的模型独有的统计量是估计的AR系数。对于简单系数。对于简单 AR(1)模型，模型， 1是无条件残差的一阶序列相关系数。在输出是无条件残差的一阶序列相关系数。在输出 表中表中 1用用AR(1)表示，表示，MA(1) 模型的系数模型的系数 1用用MA(1)表示。表示。 对于平稳对于平稳AR(1)模型，模型， 1在在-1和和+1之间。之间。 t u t 67 含有含有AR或或MA项的模型的估计输出和项的模型的估计输出和O

59、LS模型一样，模型一样， 只是在回归输出的底部增加了一个只是在回归输出的底部增加了一个AR，MA多项式的根多项式的根 的倒数（的倒数（inverted AR roots 或或 inverted MA roots）。我）。我 们利用滞后算子多项式写一般的们利用滞后算子多项式写一般的ARMA模型：模型： 如果如果AR模型滞后多项式有实根或一对复根的倒数模型滞后多项式有实根或一对复根的倒数 在单位圆外（即在单位圆外（即，或，或），这意味着），这意味着 自回归过程是自回归过程是的。如果的。如果MA模型滞后多项式的根的模型滞后多项式的根的 倒数有在单位圆外的，说明倒数有在单位圆外的，说明MA过程是过程是

60、的，应使的，应使 用不同的初值重新估计模型，直到得到满足可逆性的动用不同的初值重新估计模型，直到得到满足可逆性的动 平均。平均。 tt LcuL)()( 68 EViews估计估计AR模型采用非线性回归方法，模型采用非线性回归方法， (Box and Jenkins,1976)。这种方法的优点。这种方法的优点 在于：易被理解，应用广泛，易被扩展为非线性定义的模在于：易被理解，应用广泛，易被扩展为非线性定义的模 型。注意：非线性最小二乘估计渐进等于极大似然估计且型。注意：非线性最小二乘估计渐进等于极大似然估计且 渐进有效。渐进有效。 非线性估计方法对所有系数估计都要求初值。非线性估计方法对所有系