高三学生必须掌握的数学诱导公式及口诀汇总

1、高三学生必须掌握的数学诱导公式及口诀汇总 数学诱导公式 公式一： 设为任意角，终边一样的角的同一三角函数的值相等： sin2k+=sin kZ cos2k+=cos kZ tan2k+=tan kZ cot2k+=cot kZ 公式二： 设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系： sin+=-sin cos+=-cos tan+=tan cot+=cot 公式三： 任意角与 -的三角函数值之间的关系： sin-=-sin cos-=cos tan-=-tan cot-=-cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系： sin-=sin cos-=-cos t

2、an-=-tan cot-=-cot 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系： sin2-=-sin cos2-=cos tan2-=-tan cot2-=-cot 公式六： /2及3/2与的三角函数值之间的关系： sin/2+=cos cos/2+=-sin tan/2+=-cot cot/2+=-tan sin/2-=cos cos/2-=sin tan/2-=cot cot/2-=tan sin3/2+=-cos cos3/2+=sin tan3/2+=-cot cot3/2+=-tan sin3/2-=-cos cos3/2-=-sin tan3/2-=cot

3、 cot3/2-=tan 以上kZ 留意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。诱导公式记忆口诀 规律总结 上面这些诱导公式可以概括为： 对于/2*k kZ的三角函数值， 当k是偶数时，得到的同名函数值，即函数名不转变； 当k是奇数时，得到相应的余函数值，即sincos；cossin；tancot，cottan. 奇变偶不变 然后在前面加上把看成锐角时原函数值的符号。 符号看象限 例如： sin2-=sin4/2-，k=4为偶数，所以取sin。 当是锐角时，2-270，360，sin2-0，符号为-。 所以sin2-=-sin 上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限。 公式右边的符号为把视

4、为锐角时，角k360+kZ，-、180，360- 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 程度诱导名不变；符号看象限。 # 各种三角函数在四个象限的符号如何推断，也可以记住口诀一全正；二正弦余割；三两切；四余弦正割. 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是+； 其次象限内只有正弦是+，其余全部是-； 第三象限内切函数是+，弦函数是-； 第四象限内只有余弦是+，其余全部是-. 上述记忆口诀，一全正，二正弦，三内切，四余弦 # 还有一种根据函数类型分象限定正负： 函数类型 第一象限 其次象限 第三象限 第四象限 正弦 .+.+. 余弦 .+.+. 正切 .+.+. 余切

5、.+.+. 同角三角函数根本关系 同角三角函数的根本关系式 倒数关系： tancot=1 sincsc=1 cossec=1 商的关系： sin/cos=tan=sec/csc cos/sin=cot=csc/sec 平方关系： sin+cos=1 1+tan=sec 1+cot=csc 同角三角函数关系六角形记忆法 六角形记忆法：参看图片或参考资料链接 构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边形为模型。 1倒数关系：对角线上两个函数互为倒数； 2商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。 主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积。由此，可得商数关系式。

6、3平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 两角和与差的三角函数公式 sin+=sincos+cossin sin-=sincos-cossin cos+=coscos-sinsin cos-=coscos+sinsin tan+=tan+tan/1-tantan tan-=tan-tan/1+tantan 二倍角公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式升幂缩角公式 sin2=2sincos cos2=cos-sin=2cos-1=1-2sin tan2=2tan/1-tan 半角公式 半角的正弦、余弦和正切公式降幂扩角公式

7、 sin/2=1-cos/2 cos/2=1+cos/2 tan/2=1-cos/1+cos 另也有tan/2=1-cos/sin=sin/1+cos 万能公式 sin=2tan/2/1+tan/2 cos=1-tan/2/1+tan/2 tan=2tan/2/1-tan/2 万能公式推导 附推导： sin2=2sincos=2sincos/cos+sin.*， 由于cos+sin=1 再把*分式上下同除cos，可得sin2=2tan/1+tan 然后用/2代替即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。 三倍角公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin3=3sin-

8、4sin cos3=4cos-3cos tan3=3tan-tan/1-3tan 三倍角公式推导 附推导： tan3=sin3/cos3 =sin2cos+cos2sin/cos2cos-sin2sin =2sincos+cossin-sin/cos-cossin-2sincos 上下同除以cos，得： tan3=3tan-tan/1-3tan sin3=sin2+=sin2cos+cos2sin =2sincos+1-2sinsin =2sin-2sin+sin-2sin =3sin-4sin cos3=cos2+=cos2cos-sin2sin =2cos-1cos-2cossin =2c

9、os-cos+2cos-2cos =4cos-3cos 即 sin3=3sin-4sin cos3=4cos-3cos 三倍角公式联想记忆 记忆方法：谐音、联想 正弦三倍角：3元 减 4元3角欠债了被减成负数，所以要挣钱音似正弦 余弦三倍角：4元3角 减 3元减完之后还有余 留意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。 另外的记忆方法： 正弦三倍角： 山无司令 谐音为 三无四立 三指的是3倍sin， 无指的是减号， 四指的是4倍， 立指的是sin立方 余弦三倍角： 司令无山 与上同理 和差化积公式 三角函数的和差化积公式 sin+sin=2sin+/2cos-/2 sin

10、-sin=2cos+/2sin-/2 cos+cos=2cos+/2cos-/2 cos-cos=-2sin+/2sin-/2 积化和差公式 三角函数的积化和差公式 sincos=0.5sin+sin- cossin=0.5sin+-sin- coscos=0.5cos+cos- sinsin=-0.5cos+-cos- 和差化积公式推导 附推导： 首先，我们知道sina+b=sina*cosb+cosa*sinb，sina-b=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到sina+b+sina-b=2sina*cosb 所以，sina*cosb=sina+b+sina-b/2

11、 同理，假设把两式相减，就得到cosa*sinb=sina+b-sina-b/2 同样的，我们还知道cosa+b=cosa*cosb-sina*sinb，cosa-b=cosa*cosb+sina*sinb 所以，把两式相加，我们就可以得到cosa+b+cosa-b=2cosa*cosb 所以我们就得到，cosa*cosb=cosa+b+cosa-b/2 同理，两式相减我们就得到sina*sinb=-cosa+b-cosa-b/2 这样，我们就得到了积化和差的四个公式： sina*cosb=sina+b+sina-b/2 cosa*sinb=sina+b-sina-b/2 cosa*cosb=cosa+b+cosa-b/2 sina*sinb=-cosa+b-cosa-b/2 有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式。 我们把上述四个公式