人教版数学九年级上册《24.2.2 直线和圆的位置关系（3）》课件（共33张PPT）

1、人教版数学九年级上册人教版数学九年级上册 2. 初步学会运用切线长定理进行计算与初步学会运用切线长定理进行计算与证明。证明。 1. 掌握切线长的定义及切线长掌握切线长的定义及切线长定理。定理。 学习目标学习目标 问题问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如如 左图所示左图所示)，如果点，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线是圆外一点，又怎么作该圆的切线 呢？过圆外的一点呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？作圆的切线，可以作几条？ P O B A O. P A B 探究新知探究新知 P 1.切线长的定义： 切线上一点到切点之间的线段的长叫

2、作这点到圆的切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的 切线长切线长 A O切线是直线，不能度量切线是直线，不能度量. . 切线长是线段的长，这条线段的两个切线长是线段的长，这条线段的两个 端点分别是圆外端点分别是圆外一点一点和切点，可以度量和切点，可以度量 2.切线长与切线的区别在哪里？切线长与切线的区别在哪里？ 问题问题2 PA为为O的一条切线，沿着直线的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点对折，设圆上与点 A重合的点为重合的点为B OB是是O的一条半径吗？的一条半径吗？ PB是是O的切线吗？的切线吗？ （利用图形轴对称性解释） PA、PB有何关系？有何关系？ APO和和BPO有何关系

3、？有何关系？ O. P A B P O 切线长定理 过圆外一点作圆的两条切过圆外一点作圆的两条切 线，线，两条切线长相等两条切线长相等. .圆心与圆心与 这一点这一点的连线的连线平分两条切线的平分两条切线的 夹角夹角. . PA、PB分别切分别切O于于A、B PA = PB OPA=OPB 几何语言几何语言: : O. P 已知，如图已知，如图PA、PB是是O的两条切线，的两条切线，A、B为切点为切点. 求证：求证：PA=PB，APO=BPO. 证明：证明：PA切切O于点于点A， OAPA. 同理可得同理可得OBPB. OA=OB，OP=OP， RtOAP RtOBP（HL），）， PA=PB

4、，APO=BPO. 推理验证推理验证 A B 想一想：想一想：若连结两切点若连结两切点A、B，AB交交OP于点于点M.你又能得出你又能得出 什么新的结论什么新的结论?并给出证明并给出证明. OP垂直平分AB. 证明：证明：PA，PB是是 O的切线的切线,点点A，B是切点是切点 PA = PB ，OPA=OPB PAB是等腰三角形，是等腰三角形，PM为顶角的平分线为顶角的平分线 OP垂直平分垂直平分AB. O. P A B M 想一想：想一想：若延长若延长PO交交 O于点于点C，连结，连结CA、CB，你又能得，你又能得 出什么新的结论出什么新的结论?并给出证明并给出证明. 证明：证明：PA，PB

5、是是 O的切线的切线,点点A，B是切点是切点， PA = PB ，OPA=OPB. PC=PC. PCA PCB， AC=BC. CA=CB O. P A B C 例例1 已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCD的边的边AB、BC、CD、DA与与 O分别相分别相切于点切于点E、F、G、H. 求证：求证：AB+CD=AD+BC. AB C D O 证明：证明：AB、BC、CD、DA与与 O分别相分别相切于点切于点E、F、G、H， E F G H AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH. AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH. AB+CD=AD+BC. 考点考点探究探究1 切

6、线长切线长定理的应用定理的应用 P 1. PA、PB是是O的两条切线，的两条切线，A,B是切点，是切点，OA=3. （1）若）若AP=4,则则OP= ; （2）若）若BPA=60 ,则则OP= . 5 6 巩固练习巩固练习 例例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法： 将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30的三角板和一个的三角板和一个 刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的 半径，若三角板与圆相切且测得半径，若三角板与圆相切

7、且测得PA=5cm，求铁环的半径，求铁环的半径 分析分析：欲求半径欲求半径OP，取圆的圆心为，取圆的圆心为O， 连连OA、OP，由切线性质知，由切线性质知OPA为为 直角三角形，从而在直角三角形，从而在RtOPA中由勾中由勾 股定理易求得半径股定理易求得半径 O 考点考点探究探究2 切线长定理在生活切线长定理在生活中的应用中的应用 探究新知探究新知 在在RtOPA中，中，PA5，POA30， O Q 解：解：过过O作作OQAB于于Q，设铁环的圆心为，设铁环的圆心为O，连接，连接OP、OA. AP、AQ为为 O的切线，的切线， AO为为PAQ的平分线，即的平分线，即PAOQAO. 又又BAC60

8、，PAOQAOBAC180， PAOQAO60. =5 3cm.OP 即铁环的半径为即铁环的半径为 5 3cm. 2. 如图如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美装修时为了美 观观,准备用木板从准备用木板从AB处将水管密封起来处将水管密封起来,互相垂直的两墙面互相垂直的两墙面 与水管分别相切于与水管分别相切于D、E两点两点,经测量发现经测量发现AD和和BE的长恰的长恰 是方程是方程x2-25x+150=0的两根的两根(单位单位:cm),则该自来水管的半则该自来水管的半 径为径为 cm(ADBE). 解析解析：设圆心设圆心为为O,连接连接OD、OE,x2

9、-25x+150=0,(x-10)(x-15)=0, 解得解得:x1=10,x2=15,ADBE,AD=10,BE=15, 设半径为设半径为r,又又AB=AD+BE=25,(AD+r)2+(BE+r)2=AB2, (10+r)2+(15+r)2=252,解得解得r=5. 5 巩固练习巩固练习 小小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三 角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能 使裁下的圆的面积尽可能大呢？使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 探究新知探究新知 问题问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎如果最

10、大圆存在，它与三角形三边应有怎 样的位置关系？样的位置关系？ O O O O 最大的圆与三角形最大的圆与三角形 三边都相切三边都相切 三角形角平分线的这个 性质，你还记得吗？ 问题问题2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？ (1) 如果半径为如果半径为r的的I与与ABC的三边都相切，那么圆心的三边都相切，那么圆心I 应满足什么条件？应满足什么条件？ (2) 在在ABC的内部，如何找到满足条件的圆心的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？呢？ 圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r. 三角形三条角平分线交 于一点，这一点与三角 形的三边距离相

11、等. 圆心I应是三角形的三条 角平分线的交点. 为什么呢？ 已知：已知：ABC. 求作：求作：和和ABC的各边都相切的圆的各边都相切的圆. A B C O M N D 作法： 1.作B和C的平分线BM和CN， 交点为O. 2.过点O作ODBC.垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. O就是所求的圆. 做一做做一做 1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心内心. 3.这个三角形叫做这个圆的这个三角形叫做这个圆的外切三角形外切三角形. B A C I I是是ABC的内

12、切圆，点的内切圆，点I 是是ABC的内心，的内心，ABC是是 I的外切三角形的外切三角形. 例例3 已知已知:ABC(如图如图), (1)求作求作ABC的内切圆的内切圆I(要求要求:用尺规作图用尺规作图,保留作图痕迹保留作图痕迹, 写出作法写出作法,不要求证明不要求证明). (2)在题在题(1)已经作好的图中已经作好的图中,若若BAC=88,求求BIC的度数的度数. 考点考点探究探究3 三角形三角形的内切圆的作法的内切圆的作法 解析：解析：(1)以以A为圆心、任意长为半径画圆为圆心、任意长为半径画圆,分别交分别交AC、 AB于点于点H、G; 分别以分别以H、G为圆心为圆心,以大于以大于 HG的

13、长为半的长为半 径画圆径画圆,两圆相交于两圆相交于K点点,连接连接AK,则则AK即为即为 BAC的平分线的平分线; 同理作出同理作出ABC的平分线的平分线BF,交交AK于点于点I,则则I即为即为ABC 内切圆的圆心内切圆的圆心; 过过I作作IMBC于于M,以以I为圆心为圆心,IM为半径画圆为半径画圆,则则I即为即为 所求圆所求圆. 1 2 (2)BAC=88, ABC+ACB=180-88=92, IBC+ICB= (ABC+ACB)= 92=46, BIC=180-46=134. 1 2 1 2 3. ABC的内切圆半径为的内切圆半径为r， ABC的周长为的周长为l， 求求ABC的面积的面积

14、.（提示：设内心为（提示：设内心为O，连接，连接OA、 OB、OC.） 解解： 设设AB = c，BC = a，AC = b. C A B O D M N r r r 则则S OBC= ar, SOBA= cr, SOAC= br, 2 1 2 1 2 1 SABC=SOBC +SOBA +SOAC = ar + cr + br = r（a+c+b） = lr 2 1 2 1 2 1 2 12 1 巩固练习巩固练习 B A C I 问题问题1 如图，如图，I是是ABC的内切圆，那么线段的内切圆，那么线段IA， IB ,IC有什么特点？有什么特点？ 线段线段IA，IB ,IC 分分 别是别是A，

15、B， C的平分线的平分线. 探究新知探究新知 B A C I 问题问题2 如图，分别过点作如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂的垂线，垂 足分别为足分别为E、F，G，那么线段，那么线段IE、IF、IG之间有什之间有什 么关系？么关系？ E F G IE=IF=IG u三角形内心的性质三角形内心的性质 三角形的内心在三角形的角平分线上. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. B A C I E F G IA，IB，IC是是ABC的角的角 平分线，平分线，IE=IF=IG. 例例4 如图，如图，ABC中，中， B=43，C=61 ，点，点I是是 ABC的内心，求的内心，求 BIC的度数的度数

16、. 解：解：连接连接IB，IC. A B C I 点点I是是ABC的内心的内心， IB，IC分别分别是是 B，C的平分线的平分线， 在在IBC中中， 180() BICIBCICB 1 180() 2 BC 1 180(4361 ) 2 128 . 考点考点探究探究4 利用利用三角形内心的性质求角度三角形内心的性质求角度 4.如如图图,在在ABC中中,点点P是是ABC的内心的内心,则则 PBC+PCA+PAB= . 解析：解析：点点P是是ABC的内心的内心, PB平分平分ABC,PA平分平分BAC,PC平分平分ACB, PBC+PCA+PAB=90. 90 巩固练习巩固练习 名称确定方法图形性

17、质 外心：三 角形外接 圆的圆心 内心：三 角形内切 圆的圆心 三角形三 边中垂线 的交点 1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三角 形的内部 三角形三条 角平分线的 交点 1.到三边的距离相等； 2.OA、OB、OC分别 平分BAC、ABC、 ACB 3.内心在三角形内部 A B O A B C O 探究新知探究新知 2.如图，已知点如图，已知点O是是ABC 的内心，且的内心，且ABC= 60 , ACB= 80 ,则则BOC= . 1.如图，如图，PA、PB是是O的两条切线，切点分别是的两条切线，切点分别是A、B， 如果如果AP=4, APB= 40 ,则则APO= ,PB= . P 第

18、1题 第2题 20 4 110 课堂练习课堂练习 （3）若）若BIC=100 ，则，则A = 度度. （2）若）若A=80 ，则，则BIC = 度度.130 20 3.如图，在如图，在ABC中，点中，点I是内心，是内心， （1）若）若ABC=50， ACB=70，BIC=_. A B C I （4）试探索：）试探索： A与与BIC之间存在怎样的数量关系？之间存在怎样的数量关系？ 120 1 90. 2 BICA 4.如如图所示，已知在图所示，已知在ABC中，中，B90，O是是AB上一上一 点，以点，以O为圆心，为圆心，OB为半径的圆与为半径的圆与AB交于交于E，与与AC相切于点相切于点 D.求证：求证：DEOC. 证明：证明：连接连接OD， AC切切 O于点于点D，O