三次B样条曲线

1、数字图像处理 曲线和曲面曲线和曲面 2. B 样条曲线 2.1: B样条曲线的定义 2.2: B样条曲线基函数性 质 2.3: B样条曲线的性质 2.4: 二次B样条曲线 2.5: 三次B样条曲线 2.6: 二、三次B样条曲线的 应用 2.7: 非均匀B样条曲线 1. 样条函数的概念 1.1: 一般样条函数的定义 1.2: 三次样条函数 1.3: 二次样条函数 数字图像处理 1. 1. 样条函数概念样条函数概念 样条函数的概念是美国数学家I.J.Schoenberg在 1946年首先提出的，他定义了一种B样条函数。尽管有 10年的时间未受到重视，但从60年代开始，随着电子 计算机技术的飞速发展

2、和数据拟合以及函数逼近在生产 实验中的广泛应用，样条函数的理论和应用已迅速发展 成了一门成熟的学科。由于样条(Spline)函数发展的开始， 就具有广泛而又深刻的实用背景，因此，样条函数及其 参数表示形式的曲线和曲面方法是自由曲线与曲面设计 的基础。 数字图像处理 1.1 一般样条函数的定义一般样条函数的定义 给定一组平面上顶点 (xi,yi) (i=0，1，n)，并设在区 间a,b上的：a=x0 x1xn-1xn=b,那么在a,b上的一个 函数 S(x) 称为K阶连续样条函数，如果它满足下面两个条件： (1)在每个小区间xi-1,xi(i=1，2，n)内，S(x) 是具有K阶或K阶以上连续函

3、数。 (2)在xi(i=1，2，n-1)处成立 即S(x)在拼接点处xi(i1，2，n-1)也具有K阶连续， 这也就是S(x)在整个区间a,b上具有K阶连续。 若S(x)满足 ，则称S(x)为插值样条函 数。 ,.,1 , 0),0()0( )()( KkxSxS i k i k nixSy ii .1 , 0)( 数字图像处理 1.2 三次样条函数三次样条函数 假设在区间a，b上给定一个分割 ： a=x0 x1xn-1xn=b, 在a,b上的一个函数S(x)称为插值三次样条函数， 如果满足下列条件: (1)在每一小区间xi-1,xi(i=1，2，n)内S(x)分别 是三次多项式函数； (2)

4、在节点xi(i1，2，n-1)处成立 : SxSxk k i k i ()() ()(), , ,000 1 2 即小区间上的三次多项式函数，在拼接点处xi 具有二阶 连续拼接。 (3)满足插值条件yi =S(xi),i=0，1，n. 数字图像处理 1.3 二次样条函数二次样条函数 设定区间a,b上一个分割： a=x0 x1xn-1xn=b, 在a,b上的一个函数S(x)称为插值二次样条函数，如 果满足下列条件： (1)在每个小区间 内，S(x)是二次 多项式函数，这里， nixx ii ,.,1 , 0, 2 1 2 1 x xx in xxxx i ii n n 1 2 1 1 2 01

5、2 2 12(, ,., ),称为半节点； (2)在半节点 (i=1，2，n)处成立 , 1 , 0),0()0( 2 1 )( 2 1 )( kxSxS i k i k 2 1 i x (3)满足插值条件 .,.,1 ,0),(nixSy ii 数字图像处理 2. B 样条曲线样条曲线 以Bernstein基函数构造的Bezier曲线或曲面 有许多优越性，但有两点不足：其一是Bezier曲 线或曲面不能作局部修改，控制多边形的一个 顶点发生了变化，整条Bezier曲线的形状便发生 变化；其二是Bezier曲线或曲面的拼接比较复杂。 因此，1972年，Gordon、Riesenfeld等人提出

6、了 B样条方法，在保留Bezier方法全部优点的同时， 克服了Bezier方法的弱点。 2.1 B 样条曲线的定义样条曲线的定义 给定m+n+1个平面或空间顶点 Pi (i=0，1，m+n)， 称n次参数曲线段 ： n i nikink ttGPtP 0 , 1 , 0),()( 为第k段n次B样条曲线段 (k=0，1，m)，这些曲线段 的全体称为n次B样条曲线，其顶点Pi(i=0，1，n+m) 所组成的多边形称为B样条曲线的特征多边形。 其中，基函数 定义为： nit jintC n tG in j nj n j ni ,.,1 ,0,1 ,0 )()1( ! 1 )( 0 1, )( ,

7、tG ni 数字图像处理 B 样条曲线示例样条曲线示例 二次二次B 样条曲线示例样条曲线示例 数字图像处理 B 样条曲线示例样条曲线示例 二次二次B 样条曲线示例样条曲线示例 数字图像处理 B 样条曲线示例样条曲线示例 三次三次B 样条曲线示例样条曲线示例 数字图像处理 B 样条曲线示例样条曲线示例 三次三次B 样条曲线示例样条曲线示例 数字图像处理 B 样条曲线示例样条曲线示例 四次四次B 样条曲线示例样条曲线示例 数字图像处理 B 样条曲线示例样条曲线示例 五次五次B 样条曲线示例样条曲线示例 数字图像处理 2.2 B 样条曲线基函数的性质样条曲线基函数的性质 B样条函数基函数为： nit

8、 jintC n tG in j nj n j ni ,.,1 ,0,1 ,0 )()1( ! 1 )( 0 1, 具有如下性质： 1）有界正性：当 时， 2）权性： 即 3）对称性：当 时， 4）递推性： 1 , 0t),.,1 , 0(, 1)(0 , nitG ni 1 , 0, 1)( 0 , ttG n i ni 1 , 0t),.,1 , 0(),1 ()( , nitGtG ninni 1;,.,1 , 0,1 , 0 )()( 1 )()1( 1 )( 1, 11, nnit tGtin n tGti n tG ninini 数字图像处理 B 样条曲线的基函数样条曲线的基函数

9、一次一次B 样条曲线的基函数样条曲线的基函数 二次二次B 样条曲线的基函数样条曲线的基函数 数字图像处理 B 样条曲线的基函数样条曲线的基函数 三次三次B 样条曲线的基函数样条曲线的基函数 四次四次B 样条曲线的基函数样条曲线的基函数 数字图像处理 2.3 B 样条曲线的性质样条曲线的性质 1. 局部性局部性 根据定义式可知，第 k 段n次B样条曲线只与 n+1 个 顶点Pi(i=0，1，n)有关，因此，当改动其中一个 控制顶点时，只会对相邻的n+1段产生影响，不会对 整条曲线(当 m n)产生影响。这就为设计曲线时修 改某一局部的形状带来了很大的方便。 如左图所示，六个 控制顶点控制的三 次

10、B样条曲线由三 段B样条曲线段组 成。其中，每一条 曲线段由四个顶点 控制。 数字图像处理 B 样条曲线的性质样条曲线的性质 2.几何不变性 由于定义式所表示的B样条曲线是参数形式，因此，和 Bezier曲线一样，B样条曲线的形状和位置与坐标系选 择无关。 3. 连续性 当给定的m+n+1个控制顶点Pi (i=0，1，m+n)互不 相重，则所控制的整条B样条曲线具有n-1阶几何连续 (G n-1)。当给定的控制顶点相邻最大重顶点数为h（即h 个控制顶点重合在一起），则整条B样条曲线具有n-h- 1阶几何连续(G n-h-1)。 数字图像处理 B 样条曲线的性质样条曲线的性质 4. 对称性 根据

11、B样条曲线的基函数的对称性可推导 n i ninki n i nikink ttGP tGPtP 0 , 0 , )1 ,0()( )1()1( 它表明了B样条曲线段的起点和终点的几何性质完全 相同。 数字图像处理 B 样条曲线的性质样条曲线的性质 5.递推性 n次B样条曲线段的递推曲线表示形式： nllnit tiln ln t ti ln t mk nltPttPt lP tP li li i lkli i lkli ki i lk ,.,2 , 1;,.,1 , 0;1 , 0 );( 1 1 )( );1( 1 1 )( ,.,1 , 0 ,.,2 , 1),()()()( 0 )(

12、, , 1 1,1, , 其中： 数字图像处理 B 样条曲线的性质样条曲线的性质 6. 保凸性 B样条曲线和Bezier曲线一样，也具有保凸性。即 当所有的控制顶点形成一个平面凸的闭多边形时， Pk,n(t) 是一条平面凸曲线。 数字图像处理 B 样条曲线的性质样条曲线的性质 7. 凸包性 当t0，1时，有0Gi,n(t)1 (i=0，1，n) 和 ，因此，根据凸包定义可知，对任何 t0，1，Pk,n(t) 必定在控制顶点构成的凸包之中。 n i ni tG 0 , 1)( 如左图所示，六个控制 顶点控制的三次B样条 曲线由三段B样条曲线 段组成。其中，每一条 曲线段由四个顶点控制 且包含在四

13、个顶点构成 的凸包之中。 数字图像处理 B 样条曲线的性质样条曲线的性质 8.变差缩减性 数字图像处理 2.4 二次二次B样条曲线样条曲线 取n=2，则有二次B样条曲线的基函数如下 ： 1 , 0, 2 1 )( ) 122( 2 1 )( ) 1( 2 1 )( 2 2, 2 2 2, 1 2 1 , 0 t ttG tttG ttG 二次B样条曲线段 是一段抛物线。 2 0 2,2,0 )()( i ii tGPtP 数字图像处理 二次二次B 样条曲线样条曲线 二次B样条曲线的矩阵表示为： 1 , 0 121 022 011 1 2 1 )( 2 1 0 2 2,0 t P P P ttt

14、P 它具有如下性质： 1. 端点位置： )( 2 1 ) 1 (),( 2 1 )0( 122, 0102, 0 PPPPPP 2. 端点切矢： 12 2,001 2,0 ) 1 (,)0(PPPPPP 数字图像处理 二次二次B 样条曲线样条曲线 如左图所示，六个控制 顶点控制的二次B样条 曲线由四段B样条曲线 段组成。其中，每一条 曲线段由相邻的三个顶 点控制。曲线段的起点 和终点同控制顶点的连 接边相切于连接边的终 点位置。 数字图像处理 二次二次B 样条曲线样条曲线 3. 当P0，P1，P2三顶点共线时，P0,2(t)(t0，1) 即蜕化为一段直线。 4. 当给定一组顶点P0，P1，Pm

15、(m2)，若存在 Pi=Pi+1(0im-2)，则二次B样条曲线经过顶点Pi， 且在此处是尖点。 三点共线的情况三点共线的情况 尖点的情况尖点的情况 数字图像处理 2.5 三次三次B样条曲线样条曲线 取n=3，则有三次B样条曲线的基函数如下： Gtttt Gttt Gtttt Gtt t 0 3 32 1 3 32 2 3 32 3 3 3 1 6 331 1 6 364 1 6 3331 1 6 01 , , , , ( )(), ( )(), ( )(), ( ), , 三次B样条曲线段 为： 1, 0, 1331 0363 0303 0141 1 6 1 )( 3 2 1 0 32 3

16、, 0 t P P P P ttttP )( 3,0 tP 数字图像处理 三次三次B样条曲线样条曲线 性质1：端点位置 PPPP PP P PPPP PP P 0 3012 02 1 0 3123 13 2 0 1 6 4 1 32 2 3 1 1 6 4 1 32 2 3 , , ( )(), ( )(), 性质2：端点切矢及二阶导数 ,2)1( ,2)0( ),( 2 1 )1( ),( 2 1 )0( 1233,0 0123,0 133,0 023,0 PPPP PPPP PPP PPP 数字图像处理 三次三次B样条曲线样条曲线 P0P3 P2P1 三次B样条曲线的顶点位置和顶点切矢 数

17、字图像处理 2.6 二、三次二、三次B样条曲线的应用样条曲线的应用 在曲线拟合设计中，B样条曲线主要可用于实验数据 平滑和要求局部交互式修改的自由曲线设计。当然，二、 三次B样条曲线及其变型，几乎可以应用到所有的要求具 有一次或二次几何连续的曲线造型场合。 (1)要求过插值端点； (2)封闭的二、三次B样条曲线； (3)插值二、三次B样条曲线； 数字图像处理 2.7 非均匀非均匀 B 样条曲线样条曲线 前面介绍的B样条曲线实际上称为均匀(或等距节点)B 样条曲线。B样条曲线是由B样条函数演化而来的。关于 B样条函数的理论十分的丰富，现在简单的给出B样条基 函数的递推公式： 给定参数 t 轴上的一个分割， 由下列递推关系所定义的 称为T 的 k阶(或k-1次)B 样条基函数： ,.)1,0,( 1 itttT iiii )( , tB ki otherwise ttt tB ii i