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文档简介
1、数字图像处理 曲线和曲面曲线和曲面 2. B 样条曲线 2.1: B样条曲线的定义 2.2: B样条曲线基函数性 质 2.3: B样条曲线的性质 2.4: 二次B样条曲线 2.5: 三次B样条曲线 2.6: 二、三次B样条曲线的 应用 2.7: 非均匀B样条曲线 1. 样条函数的概念 1.1: 一般样条函数的定义 1.2: 三次样条函数 1.3: 二次样条函数 数字图像处理 1. 1. 样条函数概念样条函数概念 样条函数的概念是美国数学家I.J.Schoenberg在 1946年首先提出的,他定义了一种B样条函数。尽管有 10年的时间未受到重视,但从60年代开始,随着电子 计算机技术的飞速发展
2、和数据拟合以及函数逼近在生产 实验中的广泛应用,样条函数的理论和应用已迅速发展 成了一门成熟的学科。由于样条(Spline)函数发展的开始, 就具有广泛而又深刻的实用背景,因此,样条函数及其 参数表示形式的曲线和曲面方法是自由曲线与曲面设计 的基础。 数字图像处理 1.1 一般样条函数的定义一般样条函数的定义 给定一组平面上顶点 (xi,yi) (i=0,1,n),并设在区 间a,b上的:a=x0 x1xn-1xn=b,那么在a,b上的一个 函数 S(x) 称为K阶连续样条函数,如果它满足下面两个条件: (1)在每个小区间xi-1,xi(i=1,2,n)内,S(x) 是具有K阶或K阶以上连续函
3、数。 (2)在xi(i=1,2,n-1)处成立 即S(x)在拼接点处xi(i1,2,n-1)也具有K阶连续, 这也就是S(x)在整个区间a,b上具有K阶连续。 若S(x)满足 ,则称S(x)为插值样条函 数。 ,.,1 , 0),0()0( )()( KkxSxS i k i k nixSy ii .1 , 0)( 数字图像处理 1.2 三次样条函数三次样条函数 假设在区间a,b上给定一个分割 : a=x0 x1xn-1xn=b, 在a,b上的一个函数S(x)称为插值三次样条函数, 如果满足下列条件: (1)在每一小区间xi-1,xi(i=1,2,n)内S(x)分别 是三次多项式函数; (2)
4、在节点xi(i1,2,n-1)处成立 : SxSxk k i k i ()() ()(), , ,000 1 2 即小区间上的三次多项式函数,在拼接点处xi 具有二阶 连续拼接。 (3)满足插值条件yi =S(xi),i=0,1,n. 数字图像处理 1.3 二次样条函数二次样条函数 设定区间a,b上一个分割: a=x0 x1xn-1xn=b, 在a,b上的一个函数S(x)称为插值二次样条函数,如 果满足下列条件: (1)在每个小区间 内,S(x)是二次 多项式函数,这里, nixx ii ,.,1 , 0, 2 1 2 1 x xx in xxxx i ii n n 1 2 1 1 2 01
5、2 2 12(, ,., ),称为半节点; (2)在半节点 (i=1,2,n)处成立 , 1 , 0),0()0( 2 1 )( 2 1 )( kxSxS i k i k 2 1 i x (3)满足插值条件 .,.,1 ,0),(nixSy ii 数字图像处理 2. B 样条曲线样条曲线 以Bernstein基函数构造的Bezier曲线或曲面 有许多优越性,但有两点不足:其一是Bezier曲 线或曲面不能作局部修改,控制多边形的一个 顶点发生了变化,整条Bezier曲线的形状便发生 变化;其二是Bezier曲线或曲面的拼接比较复杂。 因此,1972年,Gordon、Riesenfeld等人提出
6、了 B样条方法,在保留Bezier方法全部优点的同时, 克服了Bezier方法的弱点。 2.1 B 样条曲线的定义样条曲线的定义 给定m+n+1个平面或空间顶点 Pi (i=0,1,m+n), 称n次参数曲线段 : n i nikink ttGPtP 0 , 1 , 0),()( 为第k段n次B样条曲线段 (k=0,1,m),这些曲线段 的全体称为n次B样条曲线,其顶点Pi(i=0,1,n+m) 所组成的多边形称为B样条曲线的特征多边形。 其中,基函数 定义为: nit jintC n tG in j nj n j ni ,.,1 ,0,1 ,0 )()1( ! 1 )( 0 1, )( ,
7、tG ni 数字图像处理 B 样条曲线示例样条曲线示例 二次二次B 样条曲线示例样条曲线示例 数字图像处理 B 样条曲线示例样条曲线示例 二次二次B 样条曲线示例样条曲线示例 数字图像处理 B 样条曲线示例样条曲线示例 三次三次B 样条曲线示例样条曲线示例 数字图像处理 B 样条曲线示例样条曲线示例 三次三次B 样条曲线示例样条曲线示例 数字图像处理 B 样条曲线示例样条曲线示例 四次四次B 样条曲线示例样条曲线示例 数字图像处理 B 样条曲线示例样条曲线示例 五次五次B 样条曲线示例样条曲线示例 数字图像处理 2.2 B 样条曲线基函数的性质样条曲线基函数的性质 B样条函数基函数为: nit
8、 jintC n tG in j nj n j ni ,.,1 ,0,1 ,0 )()1( ! 1 )( 0 1, 具有如下性质: 1)有界正性:当 时, 2)权性: 即 3)对称性:当 时, 4)递推性: 1 , 0t),.,1 , 0(, 1)(0 , nitG ni 1 , 0, 1)( 0 , ttG n i ni 1 , 0t),.,1 , 0(),1 ()( , nitGtG ninni 1;,.,1 , 0,1 , 0 )()( 1 )()1( 1 )( 1, 11, nnit tGtin n tGti n tG ninini 数字图像处理 B 样条曲线的基函数样条曲线的基函数
9、一次一次B 样条曲线的基函数样条曲线的基函数 二次二次B 样条曲线的基函数样条曲线的基函数 数字图像处理 B 样条曲线的基函数样条曲线的基函数 三次三次B 样条曲线的基函数样条曲线的基函数 四次四次B 样条曲线的基函数样条曲线的基函数 数字图像处理 2.3 B 样条曲线的性质样条曲线的性质 1. 局部性局部性 根据定义式可知,第 k 段n次B样条曲线只与 n+1 个 顶点Pi(i=0,1,n)有关,因此,当改动其中一个 控制顶点时,只会对相邻的n+1段产生影响,不会对 整条曲线(当 m n)产生影响。这就为设计曲线时修 改某一局部的形状带来了很大的方便。 如左图所示,六个 控制顶点控制的三 次
10、B样条曲线由三 段B样条曲线段组 成。其中,每一条 曲线段由四个顶点 控制。 数字图像处理 B 样条曲线的性质样条曲线的性质 2.几何不变性 由于定义式所表示的B样条曲线是参数形式,因此,和 Bezier曲线一样,B样条曲线的形状和位置与坐标系选 择无关。 3. 连续性 当给定的m+n+1个控制顶点Pi (i=0,1,m+n)互不 相重,则所控制的整条B样条曲线具有n-1阶几何连续 (G n-1)。当给定的控制顶点相邻最大重顶点数为h(即h 个控制顶点重合在一起),则整条B样条曲线具有n-h- 1阶几何连续(G n-h-1)。 数字图像处理 B 样条曲线的性质样条曲线的性质 4. 对称性 根据
11、B样条曲线的基函数的对称性可推导 n i ninki n i nikink ttGP tGPtP 0 , 0 , )1 ,0()( )1()1( 它表明了B样条曲线段的起点和终点的几何性质完全 相同。 数字图像处理 B 样条曲线的性质样条曲线的性质 5.递推性 n次B样条曲线段的递推曲线表示形式: nllnit tiln ln t ti ln t mk nltPttPt lP tP li li i lkli i lkli ki i lk ,.,2 , 1;,.,1 , 0;1 , 0 );( 1 1 )( );1( 1 1 )( ,.,1 , 0 ,.,2 , 1),()()()( 0 )(
12、, , 1 1,1, , 其中: 数字图像处理 B 样条曲线的性质样条曲线的性质 6. 保凸性 B样条曲线和Bezier曲线一样,也具有保凸性。即 当所有的控制顶点形成一个平面凸的闭多边形时, Pk,n(t) 是一条平面凸曲线。 数字图像处理 B 样条曲线的性质样条曲线的性质 7. 凸包性 当t0,1时,有0Gi,n(t)1 (i=0,1,n) 和 ,因此,根据凸包定义可知,对任何 t0,1,Pk,n(t) 必定在控制顶点构成的凸包之中。 n i ni tG 0 , 1)( 如左图所示,六个控制 顶点控制的三次B样条 曲线由三段B样条曲线 段组成。其中,每一条 曲线段由四个顶点控制 且包含在四
13、个顶点构成 的凸包之中。 数字图像处理 B 样条曲线的性质样条曲线的性质 8.变差缩减性 数字图像处理 2.4 二次二次B样条曲线样条曲线 取n=2,则有二次B样条曲线的基函数如下 : 1 , 0, 2 1 )( ) 122( 2 1 )( ) 1( 2 1 )( 2 2, 2 2 2, 1 2 1 , 0 t ttG tttG ttG 二次B样条曲线段 是一段抛物线。 2 0 2,2,0 )()( i ii tGPtP 数字图像处理 二次二次B 样条曲线样条曲线 二次B样条曲线的矩阵表示为: 1 , 0 121 022 011 1 2 1 )( 2 1 0 2 2,0 t P P P ttt
14、P 它具有如下性质: 1. 端点位置: )( 2 1 ) 1 (),( 2 1 )0( 122, 0102, 0 PPPPPP 2. 端点切矢: 12 2,001 2,0 ) 1 (,)0(PPPPPP 数字图像处理 二次二次B 样条曲线样条曲线 如左图所示,六个控制 顶点控制的二次B样条 曲线由四段B样条曲线 段组成。其中,每一条 曲线段由相邻的三个顶 点控制。曲线段的起点 和终点同控制顶点的连 接边相切于连接边的终 点位置。 数字图像处理 二次二次B 样条曲线样条曲线 3. 当P0,P1,P2三顶点共线时,P0,2(t)(t0,1) 即蜕化为一段直线。 4. 当给定一组顶点P0,P1,Pm
15、(m2),若存在 Pi=Pi+1(0im-2),则二次B样条曲线经过顶点Pi, 且在此处是尖点。 三点共线的情况三点共线的情况 尖点的情况尖点的情况 数字图像处理 2.5 三次三次B样条曲线样条曲线 取n=3,则有三次B样条曲线的基函数如下: Gtttt Gttt Gtttt Gtt t 0 3 32 1 3 32 2 3 32 3 3 3 1 6 331 1 6 364 1 6 3331 1 6 01 , , , , ( )(), ( )(), ( )(), ( ), , 三次B样条曲线段 为: 1, 0, 1331 0363 0303 0141 1 6 1 )( 3 2 1 0 32 3
16、, 0 t P P P P ttttP )( 3,0 tP 数字图像处理 三次三次B样条曲线样条曲线 性质1:端点位置 PPPP PP P PPPP PP P 0 3012 02 1 0 3123 13 2 0 1 6 4 1 32 2 3 1 1 6 4 1 32 2 3 , , ( )(), ( )(), 性质2:端点切矢及二阶导数 ,2)1( ,2)0( ),( 2 1 )1( ),( 2 1 )0( 1233,0 0123,0 133,0 023,0 PPPP PPPP PPP PPP 数字图像处理 三次三次B样条曲线样条曲线 P0P3 P2P1 三次B样条曲线的顶点位置和顶点切矢 数
17、字图像处理 2.6 二、三次二、三次B样条曲线的应用样条曲线的应用 在曲线拟合设计中,B样条曲线主要可用于实验数据 平滑和要求局部交互式修改的自由曲线设计。当然,二、 三次B样条曲线及其变型,几乎可以应用到所有的要求具 有一次或二次几何连续的曲线造型场合。 (1)要求过插值端点; (2)封闭的二、三次B样条曲线; (3)插值二、三次B样条曲线; 数字图像处理 2.7 非均匀非均匀 B 样条曲线样条曲线 前面介绍的B样条曲线实际上称为均匀(或等距节点)B 样条曲线。B样条曲线是由B样条函数演化而来的。关于 B样条函数的理论十分的丰富,现在简单的给出B样条基 函数的递推公式: 给定参数 t 轴上的一个分割, 由下列递推关系所定义的 称为T 的 k阶(或k-1次)B 样条基函数: ,.)1,0,( 1 itttT iiii )( , tB ki otherwise ttt tB ii i
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