初一数学绝对值难题解析

1、初一数学绝对值难题解析初一数学绝对值难题解析绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。绝对值有两个意义：（1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。即|a|a（当a0） , |a|a （当a0）（2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。灵活应用绝对值的基本性质：（1）|a|0；（2）|ab|a|b|；（3）|a/b|a|/|b|(b0)（4）|a|b| |ab|a|b|；（5）|a|b| |ab|a|b|；思考：|ab|a|b|，在什么条件下成立？|

2、ab|a|b|，在什么条件下成立？常用解题方法：（1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况）（2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。（3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。例题解析：第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下列式子：（1）|ab|cb|解：a0，b0 ab0c0，b0 cb0故，原式（ba）(bc) ca（2）|ac|ac|解：a0，c0 ac要分类讨论，ac0 当ac0时，ac，原式（ac）(ac)2a当ac0时，ac，原式（c

3、a）(ac)2c2、设x1，化简2|2|x2| 。解：x1 x20原式2|2（2x）|2|x|2x3、设3a4，化简|a3|a6| 。解：3a4 a30，a60原式（a3）(a6) 34、已知|ab|ab，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？答：当ab0时，ab，|ab|ab，由已知|ab|ab，得abab，解得b0，这时a0；当ab0时，ab，|ab|ba，由已知|ab|ab，得baab，解得a0，这时b0；综上所述，（1）是正确的。第二类：考察对绝对值基本性质的运用5、已知2011|x1|2012|y1|0，求xy2012的值？解：|x1|0，|y1|020

4、11|x1|2012|y1|0又已知2011|x1|2012|y1|0，|x1|0, |y1|0x1，y1，原式11201220126、设a、b同时满足：(1)|a2b|b1|b1(2) |a4|0那么ab等于多少？解：|a2b|0，|b1|0|a2b|b1|b10 （1）式|a2b|b1b1 ，得|a2b|0，即a2b |a4|0 a40，a4 a2b b2 ，ab4287、设a、b、c为非零有理数，且|a|a0，|ab|ab，|c|c0,请化简：|b|ab|cb|ac| 。解：|a|a0，a0 a0|ab|ab0 ，b0，a0b0，ab0|c|c0，c0 c0 ，cb0，ac0原式b（ab

5、）（cb）cab8、满足|ab|ab1的非负整数（a，b）共有几对？解：a，b都是非负整数 |ab|也是非负整数，ab也是非负整数要满足|ab|ab1，必须|ab|1，ab0 或者|ab|0，ab1分类讨论：当|ab|1，ab0时，a0，b1 或者 a1，b0 有两对（a，b）的取值；当|ab|0，ab1时，a1，b1有一对（a，b）的取值；综上所述，（a，b）共有3对取值满足题意。9、已知a、b、c、d是有理数，|ab|9，|cd|16，且|abcd|25，求|ba|dc|的值？分析：此题咋一看无从下手，但是如果把ab和cd分别看作一个整体，并且运用绝对值基本性质：|xy|x|y|即可快速解

6、出。解：设xab，ycd，则|abcd|x-y|x|y|x|9，|y|16 |x|y|25 ,|x-y|x|y|25已知|x-y|25|x|9，|y|16|ba|dc|x|y|x|y|9167第三类：多个绝对值化简，运用零点分段法，分类讨论以上这种分类讨论化简方法就叫做零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合。根据以上材料解决下列问题：（1）化简：2|x2|x4|（2）求|x1|4|x1|的最大值。解：（1）令x20，x40，分别求得零点值：x2，x-4，分区段讨论：当x-4时，原式2（x2）（x4）x8当-4x2时，原式2（x2）（x4）3x当x2时，原式2（x2）（x4）x8综

7、上讨论，原式（略)（2） 使用“零点分段法”将代数式简化，然后在各个取值范围内求出最大值，再加以比较，从中选出最大值。令x10，x10，分别求得零点值：x1，x-1，分区段讨论：当x-1时，原式（x1）4（x1）3x5 ，当x=-1时，取到最大值等于2；当-1x1时，原式（x1）4（x1）5x3，此时无最大值；当x1时，原式（x1）4（x1）3x3，此时无最大值。综上讨论，当x=-1时，原式可以取到最大值等于2。11、若2x|45x|13x|4的值恒为常数，则此常数的值为多少？解：我们知道，互为相反数的两个数，它们的绝对值相等，利用这条性质，可以把绝对值内带x的项的符号由负号都变成正号，以便于

8、区段内判断正负关系。即原式2x|5x4|3x1|4令5x40，3x10，分别求得零点值：x4/5 , x1/3，分区段讨论：当x1/3时，原式2x（5x4）（3x1）46x9，此时不是恒值；当1/3x4/5时，原式2x（5x4）（3x1）47，此时恒为常数7；当x4/5时，原式2x（5x4）（3x1）410x1，此时也不是恒值。综上所述，若原式恒为常数，则此常数等于7 。12、若|a|a1，|x|2ax，且|x1|x5|2|xm|的最小值是7，则m等于多少？解：当a0时，|a|aa1,得到01矛盾a0，|a|aa1，解得a1/2。|x|2axx，即x的绝对值等于它的相反数 x0令x10，x50

9、，xm0，分别求得零点值：x1，x5，xmx0 要对m进行分类讨论，以确定分段区间：（1） 若m0，则x取值范围分成x1和1x0当x1，原式（x1）（x5）2（xm）4x42m， x1时取到最小值82m当1x0，原式（x1）（x5）2（xm）2x62m， x0时取到最小值62m所以当m0时，最小值是62m，令62m7，得m0.5，符合题意（2） 若1m0，则x取值范围分成x1和1xm和mx0当x1，原式（x1）（x5）2（xm）4x42m， x1时取到最小值82m, 因为1m0，所以最小值6当1xm，原式（x1）（x5）2（xm）2x62m， xm时取到最小值6所以当1m0时，最小值是6，和题

10、意不符。（3） 若m1，则x取值范围分成xm和mx1和1x0当xm，原式（x1）（x5）2（xm）4x42m， xm时取到最小值42m当mx1，原式（x1）（x5）2（xm）42m，这时为恒值42m当1x0，原式（x1）（x5）2（xm）2x2m6，无最小值所以当m1时，最小值是42m，令42m 7，得m1.5，符合题意综上所述，m0.5或1.5 。第四类：运用绝对值的几何意义解题1、x的绝对值的几何意义是在数轴上表示 x的点到原点的距离，即|x|=|x0|x1|的几何意义是在数轴上表示 x的点到表示1的点的距离，|x2|的几何意义是在数轴上表示 x的点到表示2的点的距离，|ab|的几何意义是在数轴上表示 a的点到表示b的点的距离。2、设A和B是数轴上的两个点，X是数轴上一个动点，我们研究下，当X在什么位置时，X到A点和B点的距离之和最小？很显然，当X点在A点和B点之间时，X点到两个点的距离之和最小，最小值即为A点到B点的距离。当再增加一个C点时，如何求动点X到三个点的距离之和的最小值呢。经过研究发现，当X点在中间的点即C点时，它到三个点的距离之和最小，最小值也是A点到B点