问题分析2.1.

1、数学建模数学建模 - -问题前期分析问题前期分析 数学模型数学模型(E.A.Bendar 定义定义)： 关于部分现实世界为一定目的而做关于部分现实世界为一定目的而做 的抽象、简化的数学结构。的抽象、简化的数学结构。 数学模型是对于现实世界的一个数学模型是对于现实世界的一个特定特定 对象对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据特有的内，根据特有的内 在规律在规律,做出必要的做出必要的简化假设简化假设，运用适当，运用适当 的数学工具建立的一个的数学工具建立的一个数学结构数学结构. 问题的前期分析问题的前期分析 包括：包括： 明确问题、分析条件、分析数据等。明确问题、分析条件、分析数据等。 为

2、什么问题前期分析至关重要？为什么问题前期分析至关重要？ 数学建模问题往往含混不清数学建模问题往往含混不清, ,可能的原因有可能的原因有: : * 提出问题的人未能清楚地表述问题提出问题的人未能清楚地表述问题 . * 不同领域的人交流出现故障不同领域的人交流出现故障. * *各领域的应用者提出问题时各领域的应用者提出问题时, ,未给出恰当未给出恰当 的条件的条件. . 对问题进行充分的前期分析以前对问题进行充分的前期分析以前,过早过早 着手决问题着手决问题,往往会陷入一些意想不到的往往会陷入一些意想不到的 陷阱陷阱,或者偏离解决问题的方向或者偏离解决问题的方向. 一一. 明确问题明确问题 例例3

3、.3.1 一家大商业印刷公司的经理就关于应一家大商业印刷公司的经理就关于应 该雇多少推销员的问题征询你的意见该雇多少推销员的问题征询你的意见. . “究竟需要做什么？究竟需要做什么？” 遇到一个新问题时遇到一个新问题时, ,首先应问自己首先应问自己 * 未能准确理解问题未能准确理解问题. 着眼点着眼点是对各类推销队伍的工作效果进行是对各类推销队伍的工作效果进行 分析。分析。 原问题原问题“推销员人数问题推销员人数问题” ” 明确为：明确为： (1) 不同规模的销售队伍会有什么影响；不同规模的销售队伍会有什么影响； (2) 怎样从他们的销售工作中获取最大的收益怎样从他们的销售工作中获取最大的收益

4、. . 明确了工作的目标明确了工作的目标, 即设置好问题的目标态即设置好问题的目标态. 为明确问题为明确问题 ,可向有关人员询问如下问题：可向有关人员询问如下问题： 1. 公司的规模有多大？公司的规模有多大？ 2. 该公司的推销员的工作方式？该公司的推销员的工作方式？ 推销员人数推销员人数 获取较大的投获取较大的投 入产出比。入产出比。 顾客顾客 地域地域 分析确定出各有关因素分析确定出各有关因素,画出问题的层次结构图画出问题的层次结构图 顾客容量顾客容量 市场份额市场份额 现有现有定货量定货量潜在潜在 转移转移 概率概率 转变转变 概率概率 现有现有潜在潜在 二二. 条件及数据分析条件及数据

5、分析 设置好问题的目标态设置好问题的目标态, 着手工作还需要做着手工作还需要做 以下工作：以下工作： 1. 收集必要的资料和数据。收集必要的资料和数据。 2. 分析现有的数据和条件分析现有的数据和条件, ,使问题进一步使问题进一步 明确化明确化. . 我国淡水资源有限我国淡水资源有限. .节约用水人人有责节约用水人人有责, ,洗衣洗衣 机在家庭用水中占有相当大的份额机在家庭用水中占有相当大的份额, ,目前洗衣目前洗衣 例例3.3.2 节水洗衣机问题节水洗衣机问题 机已非常普及机已非常普及, ,节约洗衣机用水十分重要节约洗衣机用水十分重要. .假假 设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程设在放入

6、衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程 为：加水为：加水漂洗漂洗脱水脱水加水加水漂洗漂洗脱脱 水水加水加水漂洗漂洗脱水脱水( (称称“加水加水漂漂 洗洗脱水脱水”为运行一轮为运行一轮).).请为洗衣机设计一请为洗衣机设计一 种程序（包括运行多少轮、每轮加水量等种程序（包括运行多少轮、每轮加水量等),), 使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水 量最少量最少. .选用合理的数据进行运算，对照目前选用合理的数据进行运算，对照目前 常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结 果出评价果出评价. . *衣服的洗净效果指标衣服的洗净效果指标

7、(包括污物和残留洗涤包括污物和残留洗涤 剂剂)； * *不同质地衣物的脱水率或衣物的含水量不同质地衣物的脱水率或衣物的含水量C； * 洗衣机的最高水位洗衣机的最高水位H、最低水位、最低水位L； * 各类污物各类污物(泥土、油腻等泥土、油腻等)和洗涤剂在水中和洗涤剂在水中 的溶解特性。的溶解特性。 怎样收集数据和资料？怎样收集数据和资料？ 分析：分析：题目中没有一个数据题目中没有一个数据, ,但问题却需要比但问题却需要比 较多的数据及条件较多的数据及条件, ,如如 可在各类图书馆、网上查阅、向专家询问、可在各类图书馆、网上查阅、向专家询问、 通过试验来得到通过试验来得到。 收集数据应列入工作计划

8、，并注意：收集数据应列入工作计划，并注意： 1. 向有关人员调查情况应事先设计好问题；向有关人员调查情况应事先设计好问题； 2. 事先确定所需资料清单、资料来源、收集事先确定所需资料清单、资料来源、收集 方式。方式。 有条理的收集计划可以为后期的工作有条理的收集计划可以为后期的工作 创造良好的条件创造良好的条件 对收集到的或者现有的资料和数据要做对收集到的或者现有的资料和数据要做 仔细分析，使问题进一步明确仔细分析，使问题进一步明确. . 为了保护人类赖以生存的自然环境为了保护人类赖以生存的自然环境, ,可再可再 生资源生资源( (如渔业、林业资源如渔业、林业资源) )的开发必须适的开发必须适

9、 度度, ,一种合理、简化的策略是，一种合理、简化的策略是，在实现可持在实现可持 续收获续收获的前提下，追求的前提下，追求最大产量最大产量或或最佳效最佳效 益益. . 例例3.3.3 最优捕鱼策略最优捕鱼策略 考虑对某种鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分考虑对某种鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分 4个年龄组，称个年龄组，称1龄鱼，龄鱼，4龄鱼龄鱼,各年龄组每各年龄组每 条鱼的平均重量（单位：条鱼的平均重量（单位：g）分别为）分别为5.07、 11.55、17.86、22.99，各个年龄组的鱼的自然，各个年龄组的鱼的自然 死亡率均为死亡率均为0.8(1/年年),这种鱼为这种鱼为季节性集中产卵季节性集中

10、产卵 繁殖繁殖,平均每条平均每条4龄鱼的产卵量为龄鱼的产卵量为1.109105个个,3 龄鱼的产卵量为这个数的一半，龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和龄鱼和1龄鱼龄鱼 不产卵，不产卵，产卵和孵化期为每年的最后产卵和孵化期为每年的最后4个月个月,卵卵 孵化并成活为孵化并成活为1龄鱼龄鱼,成活率（成活率（1龄鱼条数与产龄鱼条数与产 卵总量卵总量n之比）为之比）为 1.221011/（1.221011+n） 渔业管理部门规定渔业管理部门规定,每年只允许在产卵孵化期每年只允许在产卵孵化期 前的前的8个月内进行捕捞作业个月内进行捕捞作业.如果每年投入的捕如果每年投入的捕 捞能力捞能力(如渔船数、下网次

11、数等如渔船数、下网次数等)固定不变固定不变,这这 时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正 比比,比例系数不妨称捕捞强度系数比例系数不妨称捕捞强度系数.通常使用通常使用 13mm 网眼的拉网网眼的拉网,这种网只能捕这种网只能捕3龄鱼和龄鱼和4龄龄 鱼，其两个强度系数之比为鱼，其两个强度系数之比为0.42 : 1.渔业上称渔业上称 这种方式为固定努力捕捞这种方式为固定努力捕捞. 建立数学模型分析如何实现可持续捕获建立数学模型分析如何实现可持续捕获( (即每即每 年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变),), 并且在此前

12、提下得到最高的年收获量并且在此前提下得到最高的年收获量( (捕捞总捕捞总 重量重量) ) 渔业公司承包这种鱼的捕捞业务渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年年, ,合合 同要求同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大年后鱼群的生产能力不能受到太大 破坏破坏. .已知承包时各年龄组鱼群的数量分别已知承包时各年龄组鱼群的数量分别 为为: :122, 29.7，10.1，3.29（109为）条），为）条）， 如果仍用固定努力量的捕捞方式如果仍用固定努力量的捕捞方式, ,该公司该公司 应采取怎样的策略才能使总收获量最高应采取怎样的策略才能使总收获量最高. . 分析：分析：此题中的数据、条件特别多此题中的数据、

13、条件特别多,有的有的 难于把握难于把握, 有的会直接影响到所建模型是有的会直接影响到所建模型是 否正确否正确. 1. 捕捞强度系数捕捞强度系数 q 单位时间捕捞量与鱼群条数成正比时的比单位时间捕捞量与鱼群条数成正比时的比 例系数例系数 可否理解为捕捞量占总鱼群量的可否理解为捕捞量占总鱼群量的百分率？百分率？ 否！否！ 将捕捞强度系数将捕捞强度系数 q 的定义用数学表达式写出的定义用数学表达式写出. 设设i 龄鱼在龄鱼在 t ,t+t 时间段内由捕捞产生时间段内由捕捞产生 的变化量（捕捞量）为的变化量（捕捞量）为 )()(ttNtN ii 单位时间的捕捞量是单位时间的捕捞量是 tttNtN ii

14、 / )()( 对任何时间间隔对任何时间间隔 t都有都有 )(/ )()(tqNtttNtN iii 令令t 0 , ,得到微分方程得到微分方程 0, 1 qq dt dN N i i 或或, i i qN dt dN 2. 考虑考虑 q 是否有量纲（或单位）？是否有量纲（或单位）？ 思考：思考： 1. 此模型可与哪一个模型类比？此模型可与哪一个模型类比？ 3. 怎样理解捕捞强度系数怎样理解捕捞强度系数q？ 2. 自然死亡率自然死亡率r ( (0.8（1/ /年）年）) ) 是否理解为鱼死亡的概率为是否理解为鱼死亡的概率为0.8 ？ 不对！不对！ 类似于人口增长模型中的类似于人口增长模型中的“

15、自然（相对）自然（相对） 增长率增长率” ，理解为鱼群未受其他外界影响下理解为鱼群未受其他外界影响下 的的“自然增长率自然增长率”. 即单位时间内死亡鱼的数量与鱼的总量之即单位时间内死亡鱼的数量与鱼的总量之 比，可得描述鱼群自然死亡的微分方程：比，可得描述鱼群自然死亡的微分方程： ;4 , 3 , 2 , 1, 1 ir dt dN N i i 请考虑在捕捞的情况下，鱼群数量请考虑在捕捞的情况下，鱼群数量 变化的规律？变化的规律？ 思考：思考： 3. 成活率成活率c 的影响的影响 成活率成活率c 为为1 龄鱼条数与产卵总量龄鱼条数与产卵总量n 之比之比 c =1.221011/（1.221011+n） 设设t 年的产卵量为年的产卵量为n，则，则t + 1年的年的1 龄鱼数龄鱼数 目为目为 N1(t+1)= n c ) 1022. 1 1/(1022. 1 1022. 1 1022. 1 11 11 11 11 n n n 因因3、4龄鱼的数量级及产卵量的数量级分龄鱼的数量级及产卵量的数量级分 别是别是 109 和和1014 n1.221011 当当 n 变动变动(即即N3(t), N4(t)变动变动)时时 N1(t+1)的反应不敏感的反应不敏感. 说明下一年说明下一年