江西稳派大联考数学理科卷

1、江西稳派大联考数学理科卷 第i卷（选择题共50分）、选择题（本大题共 10小题，每小题 5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1.已知i是虚数单位,a 1已,(2i1)z, b10. 5a. 2i+1 b.2i - 1 c. i 一331.b 由 a b b ,知(2i 1)z 5,所以 z2,5，且 a bd.10.i 355(2i1)22i1(2i)12i 1,所以z2i2.已知向量 a (1,2 x), b = (2x,3）,则向量a与b共线的一个充分不必要条件是（1.)a.x= 1 b.x= 1或 0 c. |a|2d. b (1,3)2 .d 由 a/

2、b 3 (2 x)(2 x) 0 x ab,但反之不成立，故选 d.3 .已知函数 f (x). x2 2x 1lg(3 x)a.1,3)b.1,3c.-1,1) d.(x2 2x 04 .a依题意得 3 x 1,0x23x01,当 x=-1 时，a 1,3 , b (1,3),故此时，则函数f（x-1）的定义域为（,1u(1,3),故在f（x-1）中，令0 x 12，解得1x3.4.在平面直角坐标系 xoy中，角a的终边与单位圆交于点a,点a在第二象限，且点a的横1坐标与纵坐标之比为-,则cos2sin 2的值为（）2a. 8b.0 c.1 d.3552 2cos 2sin cos 1 2

3、tan4 .c 由题息可知 tan 2,所以 cos sin 222 2- 1cos sin1 tan2222225 .若圆 g： x2 y2 2ax a2 9 0（a r）与圆 c2：x y 2by b 1 0（b r）内 切，则a b的最大值为（）a. 2 2 b. 4 c. 4.2 d.85.a 圆g的标准方程为（x a）2 y2 9 ,圆c2的标准方程为x2 （y b）2 1,因为两圆内切，所以&2b22,所以a-ba-b-j2,当且仅当a bj2时等号成2,2立，即a+b的最大值为2 j2x 2 06.已知实数a的值由如图程序框图算出，设 x,y满足约束条件 y 1 0 ，则x 2y

4、 2 0z ja的最小值是（）a. 13b.-1c.d.6.b第1次循环，k2,a8;第 2次循环，k 4, a=-8+4=-4;第 3 次循环，k 6,a=-4+6=2,k6过可行域内的点此时满足条件则输出，故a=2,即目标函数为z -y2 ,其几何意义是点x 1p(x,y)与定点m(-1,2)的直线的斜率值，平面区域的三个顶点分别为a(2,0),b(0,1),c(2,1),易求得直线ma,mb,mc的斜率分别为| ,-1,1 _ _ ,-,其中最小的为3-1,故z-a的最小值是-1.x 11 q的极值点，且7.等差数列an中的a2,a2014是函数f(x) -x 3xax(a为常数)3a.

5、aw09 0 ,则使an的前n项和sn取得最大值的门为()a.1008b.1009c.1008,1009d.2014a2a2014= 2a1008 =6a10087 .a 因为f (x) x2 6x a,而a2,a2014为f(x)的极值点，所以30 ,由aioo83 0090知aioo90 ,故 为数列an的最后一个正数项，所以&的最大值为s1008.8 . 一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为(主(正)视图俯视图2a.4+ 一b. .4+c. .4+238.b显然由三视图我们易知该几何体下面是一个长、 一个圆柱体斜截所得的半个圆柱体，其底面圆半径为12v 2 2 1 -12 2

6、4.2d.以上都不对宽、高分别为2,2,1的长方体，上面为1,圆柱高为2,故所求几何体体积为9 .抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现已知抛物线y2 2px(p 0)的焦点为f ,过抛物线上点p(x0,%)的切线为l ,过p 点作平行于x轴的直线m,过焦点f作平行于l的直线交m于m ,则| pm |的长为()10 1 b. pc. g x0d. p xo22pfmpmf ,所以9.c如图所示，由抛物线的光学性质可知：12,又1ppfm pmf ,贝j pf pm ,所以 pm pf - x0 .10.如图，在空间直角坐标系中有棱长为1的正方体

7、abcd ab1cld1 ,点m是线段dci上的动点，设 m(0,x,x)，点m到直线ad1距离为d,则d关于x的函数d=f(x)的图像大致为 ( )a.0x10. ac由题意，设m(0, x,x) (0d1),uuuuad1 ( 1,0,1),直线ad1的一个单位方向向r量s0uuuurmd1(0,x,1x),故点m到直线adi的距离.uuuur, 2md1uuuir rmd1gso2311-x233,1在 6,1)上为增函数，对照各选项,若甲5次获得红包金额的均值为11.3.4甲、乙二人12.已知(x2 6x12.81( x2 6x所以n 2,令x，所以x1 x2乙12 50x2 =13,

8、2 n216x ,乙5次获得红包金额的均值为x2，则x15次获得的红包金额的均值分别为1 2 12 20 309)n的展开式中的所有系数的和为16,则展开式中的常数项为9)n ( 1)n(x 3)2n，令x 1可得，展开式中的所有系数之和为0可得，(1)2(x 3)4的展开式中的常数项为3 4 81 .3.4.1 ，一 一由复合函数单调性可知，函数d=f(x)在(0,1)上为减函数,3只有a符合.第ii卷二、填空题：本大题共 5小题，每小题25分.11.在2014年1月8日是传统的腊八节，大家开始购买年货，某淘宝网店趁势推出了 “抢红包” 的促销活动，已知每人有5次抢红包机会，每次可得到1至3

9、0元不等的红包.甲、乙二人在这5次抢红包活动中获得的红包金额的茎叶图如图所示：m ,则f(x)在区间2x2 3 , x g(x)= 一 tan2 f(x)min 2014,由奇第12题比第11题简单，建议更换位置2x2 3 x _一 一13.若f(x)= tan- 2014在区间一,一上的最大值为x 22 23,3上的最小值为 (用含m的代数式表示)2r2x 3 1 x x ,一 一 一，13.4028m 易判断y 与y tan-均为奇函数，所以函数x2为奇函数，所以 g(x)max f (x)max 2014 m 2014, g(x)min函数的性质可知g(x)max g(x)min m 2

10、014 f(x)min 2014 0,所以 f(x)min 4028 m14.若 f (n)表示 n2-1 (ncn的各位数字之和，如 152-1=224, 2+2+4=8 , f (15) =8,记 fi (n) =f ( n), f2 (n) =ff 1 (n),，fk+1 (n) =ff k (n) , k nx,则 f1(5)f2(5) f3(5) l %(5) 14.847 52-1=24,f1f (5)2 4 6,62 1 35,. f?(5)f (6)3 5 8,一 2一-一一-2一-一一一8163,/. f3(5)f(8)639,91 80,，f,(5) f (9) 8 0 8

11、,82163,，f5(5)f(8)639,，由此可得当k 2时，若k为奇数，则fk(5)9,若 k 为偶数，则 fk(5) 8,故 f(5) f2(5) f3(5) l %。 6 8 50 9 49 847. 15.(理)选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做按其中一题评阅计分。本题共5分。x t 1(1)已知直线l的参数方程为l (其中t为参数)，曲线c的极坐标方程为2cos .y 、3t则直线l与曲线c的交点的极径(取正值)为 .15 .(1) 1, j3 曲线c的极坐标方程化可化为2 2 cos ,化为普通方程为x2 y2 2x,即(x 1)2 y2 1,直线l的普通方程为y j

12、3(x 1)，联立直线与圆的方程可求得交点为(工，叵),(3 y3),易求得这两点的极径分别为1, b222 2(2)若存在实数x,使不等式|2x 1| |2x 3| a 0(a z)成立，则a的最小值为 215. (2) -2 令 f(x)=a f ( x)min ,而 f(x)3|2x 1| |2x -|,不等式 |2x 1|53,x ,221314x -, 一 x 一，故 f(x) min=22251一,x ,223|2x - | -a 0 有解255一一,即a,又a z ,所22以a的最小值为一2.三.解答题：本大题共 6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16 .

13、(本题?黄分12分)在 abc中，a,b,c分别为角a、b、c的对边，且2 b c冗 冗10sin 5sin(2014 a) 12 , - a -242.(1)求cos a的值； uuu uuu(2)若a 8,b 5,求向量ba在bc方向上的射影.16.解：(1)因为 a+b+c=, 2 b c2 a2 a所以 10sin - 5sin(2014 a) = 10sin ( ) 5sin a 10cos 5sin a1 cos a.10 5sina 5cos a 5sin a 5 12 , (2 分)2即 cos a sin a 72sin( a )-,所以 sin(a )45410因为 a ，

14、且sin(a -) 乙正, 42410匕l i、冗tt 3 7t/ “ tt. 22.所以a _, cos(a ).(4 分)244410因为 cos a cos( a,2 .2 7.210 210冗 冗冗冗一) cos(a -)cos 一4444.2 33.所以 cos a .255冗冗sin( a )sin 44(6分)4（2）由（1）可得sin a -.由正弦定理得sin b5bsina 1 -,因为 ba,所以 ba ,a 22所以b=1, (8分) oo oo o o3根据余弦th理，有 a b c 2bc cos a ,即 85 c 2 5c ,5解得c=3 4j3,或c=3- 4

15、(舍去).(10分)uuu uuuuuu3j33j312所以向量ba在bc方向上的射影为bacos b 3 40.(12分)2217.（本小题满分12分）已知正项等比数列an的前n项和为sn,公比为q,若q（s6 . 1，且10是a2,a4的等差中s9 s64项.求an的通项公式；n一一一 .* 数列bn满足bn一，记数列bn的前n项和为tn,若对于彳j意的n n ，恒有ann 1 2nt2n ( 1) t -n,试求t的取值范围.4 ,q(s6 s3) 1 q(a4 a5 a6)1 _ 117.解:由 小6- -可得 5 - ,gp s9 s64a7 a8 a94 q故 q=2.由10是a2

16、,a4的等差中项可得 a2 a4 20 ,即2al 8ala12, ，an的通项公式为an 2n1一，又数列an为正项等比数歹u,420,（6分）由得，bn 4, 2ntn122 322tn21_3123(nl (n1)2n1)2n 1两式相减得2n 1tn11111 n 2 l n 1 2222 232n22n 22n 2 八tn 2 ,t2n 2 n.(9 分)2n4nn1 2nn 12八t2n ( 1) t t ( 1) t 2 广，(10 分) 44158 ；一 2 ,一，、215 1-若n为偶数，则t 2 二恒成立，t 2 -22 15,即t 4n42822 3若n为奇数，则t 2二

17、恒成立，t 2 . 3,44 21583 八-.(12 分)218.（本小题满分12分）2013年11月27日，国家假日办公布了 2014年假期的三套方案.为了了 解老师对假期的看法，某中学对全校300名教师进行了问卷调查（每人选择其中的一项，得到 如下数据：所持态度售欢力某a售欢方某b售欢方某c二种方家都小售欢人数（单位:人）609012030（1）若从这300人中按照分层抽样的方法随机抽取10人进行座谈，再从这10人中随机抽取3人探讨学校假期的安排，求这3人中喜欢方案 a与b的人数之和恰好为 2人的概率；（2）若（1）所抽取的10人,对学生的寒假放假时间（15天或20天,每人选择其中的一项

18、）进行投票， 规定:若这10人中有7人或7人以上都支持其中的一项，则规定寒假放假的天数为对应的投票天数，若这两种情况的投票数都达不到7票，则规定放假25天，求该校寒假放假天数的分布列与期望值（精确到整数天）.18 .解:（1）根据分层抽样可知，这10人中，“喜欢方案a”，“喜欢方案b”，“喜欢方案c，“三 种方案都不喜欢”的人数分别为：2,3,4,1.设“这3人中喜欢方案a与b的人数之和恰好为2人”为事件m,从10人中任选3人选法共有c130种淇中事件m包含的#况有：cc|c5c2c3c12015c2c3c5 ,则 p(m)0 2 11 c 2 0 1 ;c2 c3 c5c2c3c5c2 c3

19、 c5512(6分)（n ）设该校放假天数为x,则x的可能取值为15,20,25.且c17)c80)c190 c1017611p(x 15)10，210246478c10c1_9_100 cio cio17611p( x 20)10一. ,21010246411114221p(x 25) 1 -,6464 64 32所以,x的分布列为c1305x152025p111121646432e(x) u 111121152025 -64643222(天).(12 分)则x的期望值为19 .（本小题满分12分）已知直角梯形 abcd的下底与等腰直角三角形 abe的斜边重合，ab bc且ab=2cd=2b

20、c（如图1）,将此图形沿 ab折叠成直二面角，连结 ec、ed,得到四棱锥e-abcd （如图2）.图2（1）线段ea上是否存在点f ,使ec平面fbd ?若存在，求出 空；若不存在，说fa明理由.（2）在（1）的条件下，求平面 abe与平面fbd的夹角的余弦值.19.解：（1）假设存在点 f,使ec平面fbd,连结ac交bd于点g,贝u由ec平面fbd,得ecfg,ef cg 八所以.（3分）fa ga因为ab/cd,所以cgcd1 ,所以ef1.（5分）gaab2 fa2ef 1即存在点f,使ec/平面fbd 此时 ，（6分） fa 2（2）过点e作eo ab于点o,因为平面 abe 平面

21、abcd ,平面abe i平面abcd ab ,且 eo ab ,所以eo 平面abcd,所以eo od .由ob,od,oe两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系o xyz . （7分）12f( 一,。, 一).33因为三角形eab为等腰直角三角形，所以 oa ob od oe ,设ob 1,则 o(0,0,0), a( 1,0,0), b(1,0,0), c(1,1,0),d(0,1,0), e(0,0,1),uur所以ec (1,1, 1),平面abe的一个法向量为od (0,1,0). uuur uur设平面fbd的一个法向量为n (x,y,z)un bd,n bf ,uuiruu

22、r 42又 bd ( 1,1,0),bf ( 4,0,2), 33uurn bd x y 0,所以 uur 42 ，令 x=3,得 n (3,3,6) , (10 分)n bf x z 0.33uuur一uuur ngod 0 3 1 3 0 66所以 cos n,odutu|n|od|32 32 6 266即平面abe与平面fbd的夹角的余弦值为(12 分)20.（本小题满分13分）e也，椭圆上的点p与两个焦222已知椭圆c：与 4 1（a b 0）的离心率为 a b点fi,f2构成的三角形的最大面积为1.（1）求椭圆c的方程；（2）若点q为直线x+y-2=0上的任意一点，过点 q作椭圆c的

23、两条切线 qd、qe（切点分 别为d、e）,试证明动直线 de恒过一定点，并求出该定点的坐标.解：（1）当点p为短轴的端点时，pf1f2的面积最大，于是有c 2a万a2 b2 c2,解彳# a2 2,b2 c2 1,12cbi22所以椭圆c的方程为y2 1 . （4分）2(2)设 d(x1,y1),e(x2,y2), p(xo, yo)又设切线qd的方程为：y-y 1=k(x-x 1),y y k(x %)2、2 由 c c得(1 2k )x 4k(kx1x2 2y2 2从而16k2 x1 ky1 2 4(1 2k2)(2k2x2分)因此qd的方程为y-y 1-x(x x1),2y1整理得 2

24、yly x1x x12 2y2 , 2又点d（x1,y1）在y21上，所以x；2 y222 2-2y1)x 2k x1 2yi 4kxy1 2 0 ,2y2 4kx1yl 2) 0,解得 k , (62y2,所以qd勺方程为 xx 2y1y 2 0,同理qe的方程为x2x 2 y2 y 2 0,( 8分)又q x0, y0在qd qe上，所以x1x02 y1 y020 ,x2x02 y2 y0200,1, 1.2所以直线de的方程为x0x 2yoy 2 0 .（10分）又点q %,丫0在直线x+y-2=0上，所以y 2 x0,代入得 xx 2(2 x0)y 2 0,即(x 2y)x0 2(2y

25、 1) 0,x 2y令 y2y 11即直线de恒过一定点，且该定点的坐标为（1, 1）.（13分）21.(本小题满分14分)12已知函数f(x) ax ln x 2若曲线yf(x)在 x1处的切线与直线x 2y 0垂直，求2a 1a q5 ln(x 1) f(x 1)dx的值;1(2)若函数f (x)在(，e)内有两个零点，求实数a的取值范围en 21n(n1)都成立.(3)证明：对任意的正整数 n ,不等式4 9 16 l()249n21.解:(1) f (x)的定义域为(0,)12_1由 f (x) - ax ln x ,可得 f (x) ax 一 , 2x根据条件可得f(1) a 1 2,12.j (x 1)2dx2一一一，一一一y 1(y 0)与直线x=1,x=2 , x轴所围成的图形的2a 1a . 2 ln(x 1) f(x 1)dxq 1 j1 (x12dx表示半圆(x 1)2面积,3(x_t)2dx 1 ，即 a j2 ln(x 1) f (x 1)dx 看 .(4 分)1 2一一 . .1ax2 1(2)由 f(x) -axln x可彳导 f (x