空间几何典型例题及相关知识点

1、空间几何高考题型及相关知识点题型1利用向量证明直线的位置关系及空间中的角【例1】(20XX年山东理)在如图所示的几何体中，四边形 ABCD是等腰梯形，AB/CD,/DAB=60 ,FC丄平面 ABCD, AE丄 BD, CB=CD=CF。(I)求证：BD丄平面AED;()求 二面角F-BD-C的余弦值2 2v-z = 0例1解析:(I)在等樓梯形ABCD电AB / CD,上DAB二60 , CB二由余弦定理可BD: =CD: +CB2 _2CDCBcosQ80 -乙D肋)=3CD即 BD = *CD = *AD,在 MBD 中,上DAB二60 , BD = *AD,则 MBD 为直角 三角形，

2、且2D丄D5又AE丄BD4Du平面AED, AE c平面AED,且EDPl AE = A, 故BD丄平面AED;(U)由(I)可知,4C丄CB,设CB = lf则C4二別?二狗，建立如图所示的空间宜角Jj 1-坐标系，F(0.01).B(010).D(.0),向量n = (0.0.1)为平面BDC的一个注向2 2设向量心(:jz)为平面BDF的法向量，则m FB = 0二1,则U Gz = 1,则 (皿1)为平面BDF的一个进向量.而二面角F-BD-C的平面角为税角，则题型2利用向量解决立体几何的探索问题【例11(2012年福建理)如图，在长方体A BCD- ABC_D-中，AAAD=l .

3、E为CD中点(I )求证:B.E 丄 AD ；(II )在棱AA_是否存在一点P,使得DP 平面民HE ?若存在，求卫尸的长；若不存 在，说明理由。(III)若二面角A - B1A-A1的大小为30 ,求43的长。例1解：以点A为原点建立空间直角坐标系，设松=4则A(0 QOhZXOJQlDQlJLiXqi,。),(么0,1)2 To =(o 丄 1),乖=(一纟丄一1),亟=(。,0,1),爼=(-?i?o) 2ADy = 一斗 x 0 + 1x1 + (-1)x1 = 0 $ 故 B、E 丄 AD-ax+ v = 0 ?(2)假设在棱上存在一点P(OQr),使得DPI/平面BAE,则DP

4、= (0,-1 J)_H AB = 0设平面B.AE的法向量为n = (x? v:z),则有vn-AE = 0c 得n = (l,_,_d),要使DP! I平面B.AE,只要QP丄諾_皿=0=片= ,又DP h 平面B.AE, 存在点P 使DPI I平面B.AE,此时 =二2(3)连接 4Q,马由长方体么4： =AJD=i ,得 4D 丄4卩 B.C / /冬D AD.丄由(1)矢口 B、E 丄 AD 故 ND：丄 平面 DCB.A.AD.是平面DCB A的法向量，而4D、= (0,1,1),则二面角是30。，所以，即AB = 2题型3平面图形折叠成空间图形试题探究2.(2011 陕西文)如图

5、，在 AABC 中，ABC = 45。，ZBAC , AD 是 BC 的高, 沿AD把4ABD折起，使ZBDC=9O(I )证明：平面ADB丄平面BDC;(II )设BD = 1,求三棱锥D-ABC的表面积.注：图形不标准，与题目描述不一致（1） v折起前AD是E C边上的高，二当厶ABD折起后，AD1D 0,如丄D B,又 DB C D C = D p.AD丄平面B D C ,又TAD 9平面EDC.二平面ABD丄平面BDC.（2）由（1）知，gDB, DB !_ DC 3 DC 丄 ZX4,*/DB=DA=DC-ls 二 AB二BC二CA二题型4用综合法解决空间几何问题1、如图，已知PA丄

6、矩形ABCD所在平面，1、K分别为AB、PC的中点; 求证：平面PAD(2)若Z：PDA=45 ,求证：丄平面 PCD解:20证明：（1）取PD的中点E,连AEtNE,* V |v NftPC 的中点.A NEZjCD.W | 申! K 1又四边形ABCD为矩形且M是HA中点；-yCDA MA 3r-NEZMA.即四边形MAEN是平行四边形, A MNAE*由于AEU平面PAD.MNd平面PAD,A MN平面PAD,6T PA 丄平面 ABCD，ZPDA = 45tPAD是尊H三角骸故AE1PD由題竄，CD丄AD.CD丄PA:.CD丄平面 PAD.从而 AE1CD.if AE丄平面PCD故 M

7、N丄平面PCD12题型5 用坐标法解决空间几何问题例化010重庆卷20）如亂四讎P-帕CD札底面MCD为矩形也丄踊4BCD,PAB品氏璨様FB的鹹证明：肚丄fSPBC；仞若九） = 1,求二面角B-EC-DKl平而角曲钢姻注：此为答案图例4解：(1)证明：如图建立空间坐标系，设AD二aA(0,0, 0), E(0,), P (0,0,迈)2 2B (0,Vi, o),C (a, V2, 0) AE =(0,9返),22亦=(0, V2 ,/2*) BC = ( q 9 00).-.Ze- Fs = oxo + xVi+x(-/2)= oAE BC = 0x0 +xO = 0AE丄PB, AE丄

8、BC 而 PBCIBC = B/. AE丄平面PBC(2) T加E丄平面PBC ,72平面BEC的一个法向量w? =(0, 1, 1)设平面DEC的一个法向量卩=(x , z)/J /JE(0,)，C (1, Q 0), D (1, 0, 0).-.D = (1,) =(/2 , -1, -1)2 2 2Z)C = (0 , V2 9 0) =0 19 0)由 Hr ED = 0 ,m DC = 0 ,得：AA取X = 1 ,彳寻Z = yfl.Oxl + lxO + lx 逅 /3cos =“V2-V3二面角B-EC-D的平面角为钝角 二面角-込。的平面角的余弦值为一络些特殊棱柱、棱锥、棱台

9、的概念和主要性质名称直棱桂正棱柱图形1|11 占 百|4* 9 JW 濟*k./定义有两个面互相平 行，而其余每相 邻两个面昂荧线 都互相平行的多耐 1侧棱垂直于底面的瞬底面是正寥边形的直棱柱测棱平行且相奪平行且相等平行且相等侧面的腦状平行四边形矩形全等的矩形对甫面的形状平行四边形矩形矩形平行于底茴的栽面的形状与底面全等的多局底而全等的多边形与底而全等的正多边形正揍惟梭台正棱台图形a傀Jtx有一个面是案 边形.其余各面 是有一共 顶点的三角形 的雾面棒廳面是正案边 形，且丁页点在底 面的时影是病 面的対序是底 面和戯面之阖 的部分用一个平行于 核惟鹿面的平 面去戯棱卓*宸 面甜戡面之间 的部分

10、由正梭锥戡得的棱台Mt相交于一 点但 不一定相等相交于一点且相等延长銭交于一 点相轉且延长线交于一点侧面的三帶形全裕的尊勝三 角形全犒的等膜梯1形対柄面的形扶三苗形第眺三用務梯聚等曬梯形平行于底的镀面形状与厳面相似的参边形-H与底面相馭的正案边形与底面相似的案边形与鹿面馆仪的正參边形多面体和旋转体的面积和体积公式名称厕面积（SJ全而积（S全）体积（v）棱棱柱直截面周长XIS負+2S左St* h-S h柱直棱枉chSx -h棱棱锥各侧面积之和S 丁 S jS-h正棱锥ch，7棱台棱台各侧面瓯积之和S 十S 二番+S th （S上畫亠S卞畫亠r3Js*s“）正棱台扌(c+c* )h*表中S表示面积

11、，N、（:分别表示上、下底面周长，h表斜高* hf表示斜高，1表示侧棱长.名称圆柱圆台S倶2 3t rlXxlx (r；r：)lS建2 r (lr)X r (1+t)X (x；+r；) 1+x (Ffhf：)4xR;VXX:h(BP3l?l)1I r*h31 . 兀 h(r+T；r:+r) 34:-XR勺J表中h h分别醺示母线、高,r表示圆柱、圆链与球冠的底半径,小门分别寰示圆台上、F底面半径.尺联示半径.直线与平面关系U直线与平面的位置关系:I Ha九线面平行古定义：直线与平页无公共点.aHb判走走理：a aH a线线平行二线面平行丿【如图】.a/ib （线面平行=线线平行）【如图】but

12、? 性质走理：0匚0af /? = b 判定或证明线面平行的依据： 定义法（反证人/n = 0 Z/ff用于判断）；（ii）a/b 判定定理，a（za、a alia “线线平行=面面平行U用于证明讥（ND “ Pa c a“面面平行二统面平行”用于证明入（4） bLan aHa用于为断）;九线面垂宜定义：若一条直线垂直于平面内的任总一条直线，则这条直线垂直于平聞:符号表述:若任a - a.都有I丄门，且I u *则I _（x .aQ b = O判定定理Ida二】_庄（线线垂直=线血垂宜）I La性质:（1）f丄dff 6f c dr = I丄白（线面垂直= 线线垂直）： 2）总丄丄a a b ；证明或判走线面垂宣的按据：U）走义反证）；（2）判走走理（常用；（ b a _ aa B1（较常用（4）”a _ a _ E aCp = b=a _ 0 ; （5）a c 线线平行）C3）夹在两个平疗平面间的0 n 产=S平行线段相等口【如图】2.面面垂直:（1）定义：若二