《计算机数学基础》-第6章常微分方程

1、6.1 常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念 6.2 一阶微分方程一阶微分方程 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 6.3 二阶常系数微分方程二阶常系数微分方程 6.4 常微分方程的应用常微分方程的应用 第第6章章 常微分方程常微分方程 结束 前页前页结束结束后页后页 含有未知函数的导数（或微分）的方程称为含有未知函数的导数（或微分）的方程称为 微分方程。微分方程。 定义定义1 6.1 常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程偏微分方程：未知函数是多元函数的微分

2、方程 导数的阶数叫做该微分方程的阶导数的阶数叫做该微分方程的阶 定义定义 在微分方程中，所出现的未知函数的最高阶在微分方程中，所出现的未知函数的最高阶 一阶微分方程的一般形式是一阶微分方程的一般形式是 二阶微分方程的一般形式是二阶微分方程的一般形式是 0),( y yxF 0),( y yyxF 前页前页结束结束后页后页 是是二二阶阶微微分分方方程程 d d d d d d d d xbx x y a x y 2 2 注：在微分方程中，未知函数及自变注：在微分方程中，未知函数及自变 量可以不出现量可以不出现 是是一一阶阶微微分分方方程程 d d d d bxay x y 2 2 例：例： 前页

3、前页结束结束后页后页 定义定义3 3 能使微分方程成为恒等式的函数能使微分方程成为恒等式的函数 )( xy 叫做微分方程的解叫做微分方程的解 其图形是一条平面曲线，称之为微分方程的其图形是一条平面曲线，称之为微分方程的 积分曲线积分曲线 例如，例如， x ey 2 是方程是方程的一个解的一个解02 yy 我们在学习不定积分时就已经知道，一个导数的原我们在学习不定积分时就已经知道，一个导数的原 函数有无穷多个，因此一个微分方程也有无穷多个函数有无穷多个，因此一个微分方程也有无穷多个 解解 前页前页结束结束后页后页 2 yy 等于该点的纵坐标的平方，求此曲线方程等于该点的纵坐标的平方，求此曲线方程

4、 例例1 1 已知直角坐标系中的一条曲线通过点已知直角坐标系中的一条曲线通过点(1,2)(1,2)， ),(yxp且在该曲线上任一点且在该曲线上任一点处的切线斜率处的切线斜率 解解 设所求曲线的方程为设所求曲线的方程为y=y(x)， 根据导数的几何意义及本题给出的条件，得根据导数的几何意义及本题给出的条件，得 2 y x y d d d d 即即 C y x 1 积积分分得得 又由于已知曲线过点又由于已知曲线过点(1,2)(1,2)，代入上式，得，代入上式，得 2 3 C 故所求曲线的方程为故所求曲线的方程为 y x 1 2 3 前页前页结束结束后页后页 此解为该方程的通解（或一般解）此解为该

5、方程的通解（或一般解） 定义定义4 若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程 的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称 ( ,)yy x C一阶微分方程的通解是一阶微分方程的通解是 二阶微分方程的通解是二阶微分方程的通解是 12 ( ,)yy x C C n阶微分方程的通解中，必须含有阶微分方程的通解中，必须含有n个任意常数个任意常数 其通解的图形是平面上的一族曲线，称为积分其通解的图形是平面上的一族曲线，称为积分 曲线族曲线族 前页前页结束结束后页后页 定义定义5 如果指定通解中的任意常数为某一固定常数，如果指定

6、通解中的任意常数为某一固定常数， 那么所得到的解叫做微分方程的特解那么所得到的解叫做微分方程的特解 x Cey 2 如方程如方程20yy 的通解是的通解是 而而 x ey 2 就是一个特解，这里就是一个特解，这里1 C 在具体问题中常数在具体问题中常数C的值总是根据的值总是根据“预先给定的预先给定的 条件条件”而确定的而确定的如例如例1中的曲线通过点（中的曲线通过点（1 , 2 ），）， 这个这个“预先给定的条件预先给定的条件”叫初始条件叫初始条件 称为初始条件当通解中的各任意常数都取称为初始条件当通解中的各任意常数都取 定义定义6 用来确定通解中的任意常数的附加条件一般用来确定通解中的任意常

7、数的附加条件一般 得特定值时所得到的解，称为方程的特解得特定值时所得到的解，称为方程的特解 前页前页结束结束后页后页 通常情况下，通常情况下， 00 )(yxy 即即 二阶微分方程的初始条件是二阶微分方程的初始条件是0 0 yy xx 及及 0 0 x x yy 即即 00 ()y xy与与 00 ()yxy 一个微分方程与其初始条件构成的问题称为初值问题，一个微分方程与其初始条件构成的问题称为初值问题， 求解其初值问题就是求方程的特解求解其初值问题就是求方程的特解 0 0 yy xx 一阶微分方程的初始条件是一阶微分方程的初始条件是 前页前页结束结束后页后页 xx eey 是不是方程是不是方

8、程 例例2 2 验证函数验证函数 .02的的解解 yyy 解解 求求 xx eey 的导数，得的导数，得 , xx eey xx eey yyy 及 及、将将代入原方程的左边，有代入原方程的左边，有 022 xxxxxx eeeeee 即函数即函数 xx eey 不满足原方程，不满足原方程， 所以该函数不是所给二阶微分方程的解所以该函数不是所给二阶微分方程的解 前页前页结束结束后页后页 3 Cxy 03 yxy 3 1 )1( y 解解 由由 3 Cxy 得得 .3 2 Cxy 代入原方程的左边代入原方程的左边yy 和和将将 033 23 CxxCx 3 Cxy 满足原方程满足原方程 又因为该

9、函数含有一个任意常数，又因为该函数含有一个任意常数， 3 Cxy 是一阶微分方程是一阶微分方程 03 yxy的通解的通解 并求满足初始条件并求满足初始条件 为任意常数）为任意常数）, 例例3 验证验证 是不是方程是不是方程 的通解（的通解（C 的特解的特解 将初始条件将初始条件 3 1 )1( y 代入通解，得代入通解，得 3 1 C 故所求特解为故所求特解为 3 3 1 xy 前页前页结束结束后页后页 6.2.1 6.2.1 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 定义：形如定义：形如 f (x)dx + g(y)dy = 0 的一阶微分方程叫做变量已分离的微分方程。的一阶微分方程叫做变量

10、已分离的微分方程。 如果微分方程如果微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)=0 中左端的函数中左端的函数M(x,y)、N(x,y)都可分解为两个因子的积，都可分解为两个因子的积， 并且这两个因子中都只含有一个变量并且这两个因子中都只含有一个变量x或或y，则称为可分则称为可分 离变量的微分方程离变量的微分方程. (6.2.1) 6.2 一阶微分方程一阶微分方程.可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 (6.2.2) 前页前页结束结束后页后页 可分离变量微分方程可分离变量微分方程(6.2.2)可以表为可以表为 )()( 12 xNyM 0)()()()( 2121 yyNxNxyMxMd dd

11、 d 去除这个方程的两边，上式就可化为去除这个方程的两边，上式就可化为 以以 12 12 ( )( ) dd0 ( )( ) M xN y xy N xM y 两边积分两边积分 12 12 ( )( ) dd ( )( ) M xN y xyC N xM y （C为任意常数）为任意常数） 可验证，此结果即用隐式给出方程的通解可验证，此结果即用隐式给出方程的通解 个原函数，而把积分常数明确地写上个原函数，而把积分常数明确地写上 约定约定:在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一 前页前页结束结束后页后页 的的通通解解 d dd d 0 1 1 2

12、2 x x y y 2 2 1 1 x x y yd dd d 例例1 求微分方程求微分方程 解解 移项、积分移项、积分 arcsinarctanyxC得得 例例2 求方程求方程 2 1)cos(sinyxxy的通解的通解 解解 分离变量，得分离变量，得 xxx y y d d d d )cos(sin 1 2 两边积分，得通解两边积分，得通解 Cxxy)sin(cosarcsin 前页前页结束结束后页后页 x x x y y y d dd d 22 11 1 0 x y 例例3 求微分方程求微分方程 满足初始条件满足初始条件 的特解的特解 解解 此为可分离变量的微分方程此为可分离变量的微分方

13、程 分离变量后得分离变量后得 yx yx x y )1( )1( 2 2 d d d d 两端积分，得两端积分，得 Cxyln)1ln()1ln( 22 即即 )1 (1 22 xCy 故所求特解为故所求特解为 12 22 xy 2 C 由初始条件由初始条件 , 1 0 x y得得 前页前页结束结束后页后页 6.2.2 6.2.2 齐次型微分方程齐次型微分方程 d ( )(6.2.3) d yy f xx 形如形如 的方程称为齐次型微分方程的方程称为齐次型微分方程 求解这类方程的方法是：利用适当的变换，化成可求解这类方程的方法是：利用适当的变换，化成可 分离变量的微分方程分离变量的微分方程.

14、. y u x 设设 则则yux dd dd yu ux xx 故有故有 代入代入(6.2.3)得得 d ( ) d u uxf u x 1d d ( ) u x f uux 分离变量得分离变量得 前页前页结束结束后页后页 例例4 求微分方程求微分方程 22 ()dd0 xyxxyy的通解的通解 解解 整理得整理得 d d yxy xyx 这不是可分离变量的方程，若令这不是可分离变量的方程，若令 x y u 即即 y = ux 则有则有 xuuy 代入方程得代入方程得 u uxuu 1 (1)为可分离变量的微分方程为可分离变量的微分方程 d1 d u x xu 即即 (1) 前页前页结束结束后

15、页后页 1 ddu ux x Cx u ln 2 2 2 2 2 22x y u eeCx 将将(1)变形为变形为 得得 从而从而 前页前页结束结束后页后页 6.2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 特征特征 都都是是一一次次的的和和yy ) i i 的的函函数数仅仅是是、xqp)i ii i 0)( yxpy 如果如果q(x)=0,则则(6.2.3) 变为变为 （6.2.4） 称为一阶线性齐次方程称为一阶线性齐次方程 的微分方程，称为一阶线性微分方程的微分方程，称为一阶线性微分方程 （6.2.3）定义定义 形如形如)()(xqyxpy 前页前页结束结束后页后页 时时，而而0)( xq（6

16、.2.3）式称为一阶线性非齐次方程）式称为一阶线性非齐次方程 下面介绍利用参数变易法求方程（下面介绍利用参数变易法求方程（6.2.3）的通解）的通解 的通解的通解 首先求方程（首先求方程（6.2.3）所对应的齐次线性方程（）所对应的齐次线性方程（6.2.4） （6.2.4）是变量可分离的方程，容易求得它的通解）是变量可分离的方程，容易求得它的通解 d ( )d y p xx y ln( )dlnyp xxC ( )p x dx yCe 即即 (6.2.5) 前页前页结束结束后页后页 ( )d ( ) p xx yC x e ( )CC x令令， 于是于是 ( )d( )ddd( ) ( ) (

17、 ) dd p xxp xxyC x ep x C x e xx ( )d( )d( )dd ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) p xxp xxp xxC x ep x C x ep x C x eq x dx 把它们代入方程（把它们代入方程（6.2.3），得），得 (6.2.6) (6.2.7) 前页前页结束结束后页后页 ( )dd( ) ( ) d p xxC x eq x x ( )d ( )( )d p xx C xq x exC 故（故（6.2.3）式的通解为）式的通解为 ( )d( )d ( )d p xxp xx yeq x exC （6.2.8） 即即 所以所以 前页

18、前页结束结束后页后页 一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下：一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下： (i) 求对应于（求对应于（6.2.3）的齐次方程（）的齐次方程（6.3.2）的通解）的通解 ( )d 1 p xx yC e (ii) 令令 ( )d 1( ) p xx yC x e ，并求出，并求出 y 代入代入(i) ，解出，解出 (iii) 将将(ii) 中的中的 yy 及及 ( )d 1( ) ( ) p xx C xq x edxC )( 1 xC(iv) 将将(iii) 中求出的中求出的 代入代入(ii)中中y的表达式，得到的表达式，得到 ( )d( )d ( )d p xxp

19、xx yeq x exC 此即为所求（此即为所求（6.2.2）的通解）的通解 前页前页结束结束后页后页 2 22 x xexy x y d d d d 例例1 求微分方程求微分方程 的通解的通解 2 ( )2 , ( )2 x p xx q xxe 解解 代入公式代入公式 22 d2 d 2d x xx x x yexeexC 2 ( 2 d) x exxC 2 2 () x exC 则所求的通解为则所求的通解为 2 2 () x yxC e 前页前页结束结束后页后页 例例2 求解微分方程求解微分方程 22 d (1)(1) d y xxyxx x 解解 方程可变形为方程可变形为 2 d d1

20、 yx yx xx 这里这里 2 ( ) 1 x p x x ( )q xx 所以所以 22 dd 11 d xx xx xx yexexC 2 2 1d 1 x xxC x 22 1( 1)xxC 22 11xCx 前页前页结束结束后页后页 例例3 求微分方程求微分方程 22 d(2)d0yxxxyyy 的通解的通解 解解 把把x看作是看作是y的函数的函数 将原方程改写为：将原方程改写为： 2 d1 2 1 d xy x yy 此为关于未知函数此为关于未知函数 )(yxx 的一阶线性非齐次方程，的一阶线性非齐次方程， 其中其中 2 21 )( y y yp ，它们的自由项，它们的自由项 1)

21、( yq 代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有 22 1 21 2 dd d yy yy yy xeeyC yy e y Cey 1 2 1 2 1 y Ce y y 1 2 2 1 y eCy 1 2 1 即所求通解为即所求通解为 y eCyx 1 2 1 前页前页结束结束后页后页 6.2.4 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 高阶方程：二阶或二阶以上的微分方程高阶方程：二阶或二阶以上的微分方程 下面介绍简单的、经过适当变换可降为一阶的微分方程下面介绍简单的、经过适当变换可降为一阶的微分方程 型的微分方程型的微分方程() yfx1 此微分方程右端仅

22、含自变量此微分方程右端仅含自变量x，通过两次积分可得通解通过两次积分可得通解 例例4 解微分方程解微分方程 x xey 解解 积分一次得积分一次得 1 d x yxexC 1 )1(Cex x 再积分一次得再积分一次得 21 )2(CxCexy x 前页前页结束结束后页后页 2. 型的微分方程型的微分方程( , ) yf x y 这个方程的特点是右端不显含未知函数这个方程的特点是右端不显含未知函数y，可令，可令 ( )yp x ，则，则 ( )yp x . 原方程化为原方程化为 ),(pxfp 的一阶方程的一阶方程 如果能求出上述方程的通解如果能求出上述方程的通解 1 ( ,)px C 再由方

23、程再由方程 1 ( ,)yx C 则求得原方程的通解则求得原方程的通解 12 ( ,)dyx CxC 前页前页结束结束后页后页 例例5 求微分方程求微分方程 yyx的通解。的通解。 解解 这是不显含这是不显含 y 的方程，令的方程，令 yp yp则则 于是原方程为于是原方程为 ppx ppx 即即 dd 1 d xx pexexC 1 (1) xx eexC x eCx 1 ) 1( 1 (1) x yxC e 因为因为 21 2 2 CeCx x y x 所以所以 前页前页结束结束后页后页 3. ( ,) 型型的的微微分分方方程程yf y y 此类方程的特点是不显含此类方程的特点是不显含 x

24、 ，令，令( )yp y ，这里的，这里的 p是是y 的函数，是的函数，是x 的复合函数。的复合函数。 d ( )ddd dddd p ypyp yp xyxy 则则 于是原方程化为型如于是原方程化为型如 d ( , ) d p pf y p y 的一阶方程的一阶方程 这是以这是以y为自变量为自变量, p为未知函数的一阶方程为未知函数的一阶方程 如果能求出通解如果能求出通解 1 ( ,)pp y C，即，即 1 d ( ,) d y p y C x 利用分离变量法可进一步求得原方程的通解为利用分离变量法可进一步求得原方程的通解为 2 1 1 d ( ,) yxC p y C 前页前页结束结束后

25、页后页 例例6 求微分方程求微分方程 2 3 2 yy 满足初始条件满足初始条件 , 1 3 x y 3 1 x y 的特解的特解 解解 令令 ( )yp y d d p yp y 代入原方程得代入原方程得 2 2 d3dppyy 2 d3 d2 p py y 或或 两边积分得两边积分得 1 32 Cyp 由初始条件由初始条件, 1 3 x y 3 1 x y 0 1 C 得得 ( 2 3 32 ypyp 或或 3 10 x y ，所以取正号，所以取正号 ） 前页前页结束结束后页后页 即为满足所给方程及初始条件的特解即为满足所给方程及初始条件的特解 3 2 ddyyx 3 2 d d y y

26、x 即即 或或 2 2 1 2Cxy 积分后得积分后得 再由初始条件，得再由初始条件，得 5 2 C 2 )5( 4 x y 代入上式整理后得代入上式整理后得 前页前页结束结束后页后页 6.3.1 二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构 6.3 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 )()()(xfyxqyxpy 形形如如 的微分方程称为二阶线性微分方程的微分方程称为二阶线性微分方程. .f( (x) )称为自由项称为自由项 定义定义 0)( xf当当 当当 f (x)恒为零时，恒为零时， (6.3.1)(6.3.1) 时，时，(6.3.1)称为非齐次线性微分方程称为非齐次线

27、性微分方程. 称为二阶齐次线性微分方程称为二阶齐次线性微分方程 0 ( )( )yp x yq x y(6.3.2)(6.3.2) 前页前页结束结束后页后页 当系数当系数p(x)、q(x)分别为常数分别为常数p、q时时，则称方程则称方程 0ypyqy 为二阶常系数线性齐次微分方程为二阶常系数线性齐次微分方程 0( ) ( ( ) ypyqyf xf x 为二阶常系数线性非齐次微分方程为二阶常系数线性非齐次微分方程. (6.3.3)(6.3.3) (6.3.4)(6.3.4) 前页前页结束结束后页后页 为了寻找解二阶线性微分方程的方法，我们先讨论为了寻找解二阶线性微分方程的方法，我们先讨论 二阶

28、线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构 定理定理1 如果函数如果函数y1 与与y2 是线性齐次方程的两个解，则函数是线性齐次方程的两个解，则函数 1122 yC yC y （其中（其中C1,C2是任意常数）是任意常数） 仍是该方程的解仍是该方程的解. 证证 因为因为y1与y2是方程是方程 ( )( )0yp x yq x y的两个解的两个解 0)()( 222 yxqyxpy 0)()( 111 yxqyxpy所以所以 又因为又因为 1122 yC yC y 1122 yC yC y 前页前页结束结束后页后页 于是有于是有 yxqyxpy)()( )()()( 221122112211

29、yCyCxqyCyCxpyCyC 11112222 ( )( )( )( )0Cyp x yq x yCyp x yq x y 的解的解 0)()( yxqyxpy 1122 yC yC y 所以所以 是是 此定理表明，齐次线性方程的解具有叠加性此定理表明，齐次线性方程的解具有叠加性 ，但要注意：，但要注意： 如果解中的如果解中的C1和和C2可以合并成一个任意常数，那么这并不可以合并成一个任意常数，那么这并不 是二阶线性齐次方程的通解是二阶线性齐次方程的通解. 前页前页结束结束后页后页 从而能表示二阶线性齐次方程的通解呢？为此，介绍一个从而能表示二阶线性齐次方程的通解呢？为此，介绍一个 112

30、2 C yC y 怎样使形如怎样使形如 的解确实含有两个任意常数，的解确实含有两个任意常数， 新的概念：线性相关与线性无关新的概念：线性相关与线性无关 定义定义 设函数设函数 )()( 21 xyxy和和是定义在区间上的两个函数，是定义在区间上的两个函数， 如果存在两个不全为零的常数如果存在两个不全为零的常数 k1 和和 k2 ，使，使 0)( 2211 ykxyk 在区间上恒成立，则称函数在区间上恒成立，则称函数 )()( 21 xyxy和和 在区间上是线性相关的，否则称为线性无关在区间上是线性相关的，否则称为线性无关 如函数如函数 xyxy3, 21 在整个实数轴上线性相关在整个实数轴上线

31、性相关 前页前页结束结束后页后页 考察函数线性相关的简单方法：看比值是否为常数考察函数线性相关的简单方法：看比值是否为常数 其中其中 21,k k )()( 21 xyxy和和当当 线性相关时，有线性相关时，有 0 2211 ykyk 不全为零，不全为零， 0 1 k设设 1 2 2 1 k k y y 则则 21 yy 与与即即 之比为常数，之比为常数， 反之，若反之，若 21 yy 与与之比为常数，设之比为常数，设 ， 2 1 y y 0 2121 yyyy ，即即则则 所以所以 21 yy 与与线性相关线性相关 因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；因此，如果两个函数的比是常数，

32、则它们线性相关； 如果不是常数，则它们线性无关如果不是常数，则它们线性无关 前页前页结束结束后页后页 定理定理2 如果函数如果函数 21 yy 与与是二阶线性齐次方程是二阶线性齐次方程 ( )( )0yp x yq x y 的两个线性无关的特解，则的两个线性无关的特解，则 1122 yC yC y 是该方程的通解，其中是该方程的通解，其中C1,C2为任意常数为任意常数 定理定理3 如果函数如果函数 * y 是线性非齐次方程的一个特解，是线性非齐次方程的一个特解， Y是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则 * yYy 是线性非齐次的通解是线性非齐次的通解 前

33、页前页结束结束后页后页 由以上定理可知由以上定理可知 求二阶非齐次线性方程通解的一般步骤：求二阶非齐次线性方程通解的一般步骤： （1）求齐次线性方程）求齐次线性方程 ( )( )0yp x yq x y 的线性无关的两个特解的线性无关的两个特解 21 yy 与与 得该方程的通解得该方程的通解 1122 YC yC y （2）求非齐次线性方程）求非齐次线性方程 ( )( )( )yp x yq x yf x 的一个特解的一个特解 * y那么非齐次线性方程的通解为那么非齐次线性方程的通解为 * yYy 注：以上结论也适用于一阶非齐次线性方程，注：以上结论也适用于一阶非齐次线性方程， 还可推广到二阶

34、以上的非齐次线性方程还可推广到二阶以上的非齐次线性方程 以上定理是求线性微分方程通解的理论基础以上定理是求线性微分方程通解的理论基础 前页前页结束结束后页后页 6.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法二阶常系数齐次线性微分方程的解法 欲求二阶常系数非齐次线性方程欲求二阶常系数非齐次线性方程 ( )ypyqyf x（6.3.3） 的通解，应首先研究如何求的通解，应首先研究如何求 0ypyqy（6.3.4）的通解的通解 例例1 解微分方程解微分方程 023 yyy 解解 通过观察：通过观察： xx eyey 2 21 , 是方程的两个特解，且是方程的两个特解，且 常数常数 ee e x x 1

35、 2 所以由定理所以由定理2，得方程的通解为，得方程的通解为 2 12 xx yC eC e 前页前页结束结束后页后页 具体解方程时只靠观察法是远远不够的，因此我们具体解方程时只靠观察法是远远不够的，因此我们 介绍一种不用积分仅仅用代数方法就可得到特解的解法介绍一种不用积分仅仅用代数方法就可得到特解的解法 特征根法特征根法 定义定义 方程方程0 2 qprr （6.3.5） 叫做方程叫做方程 0 qyypy 的特征方程的特征方程 方程（方程（6.3.5）的根叫做特征根）的根叫做特征根 这里的这里的p, q 是实常数是实常数 由于方程（由于方程（9.4.3）是一元二次代数方程，）是一元二次代数方

36、程， 它的根有三种可能的情形，分别叙述如下：它的根有三种可能的情形，分别叙述如下： 前页前页结束结束后页后页 , 04)1( 2 qp方程（方程（9.4.3）有两个不相等的实数根）有两个不相等的实数根 , 21 rr 和和此时方程（此时方程（9.4.2）的通解是）的通解是 12 12 r xr x yC eC e , 04)2( 2 qp方程（方程（9.4.3）有两个相等的实数根）有两个相等的实数根 , 21 rrr 此时方程（此时方程（9.4.2）的通解是）的通解是 12 () rx yeCC x , 04)3( 2 qp 方程（方程（9.4.3）有一对共轭复数根）有一对共轭复数根 , i

37、此时方程（此时方程（9.4.2）的通解是）的通解是 12 (cossin) x yeCxCx 前页前页结束结束后页后页 例例2 求方程求方程 032 yyy 的通解的通解 解解 该方程的特征方程为该方程的特征方程为 032 2 rr 它有两个不相等的实根它有两个不相等的实根 3, 1 21 rr 其对应的两个线性无关的特解为其对应的两个线性无关的特解为 xx eyey 3 21 与与 所以方程的通解为所以方程的通解为 3 12 xx yC eC e 前页前页结束结束后页后页 例例3 求方程求方程 044 yyy 的满足初始条件的满足初始条件 (0)1,(0)4y y 的特解的特解 解解 该方程

38、的特征方程为该方程的特征方程为 044 2 rr 它有重根它有重根2 r 其对应的两个线性无关的特解为其对应的两个线性无关的特解为 xx xeyey 2 2 2 1 与与 所以通解为所以通解为 2 12 () x yCC x e 求得求得 22 212 2() xx yC eCC x e 将将 (0)1,(0)4y y 代入上两式，得代入上两式，得 12 1,2CC 因此，所求特解为因此，所求特解为 2 (12 ) x yx e 前页前页结束结束后页后页 例例4 求方程求方程 0322 yyy 的通解的通解 解解 该方程的特征方程为该方程的特征方程为 0322 2 rr 它有共扼复根它有共扼复根 ir5 2 1 2 1 4 2