系统动力学与元胞自动机.

1、系统动力学模型与元胞自动机模型在地理学研究中的应用 城市与环境学院 尹懿行（1401214663） 1 系统动力学模型 1.1 什么是系统动力学 系统动力学(简称SDsystem dynamics)的出现于1956年，创始人为美 国麻省理工学院(MIT)的福瑞斯特(JWForrester)教授。系统动力学是福 瑞斯特教授于1958年为分析生产管理及库存管理等企业问题而提出的系统仿 真方法，最初叫工业动态学。是一门分析研究信息反馈系统的学科，也是一 门认识系统问题和解决系统问题的交叉综合学科。 1.1.1 什么是系统 系统的四个基本特征： l 系统的结构由其所属对象和流程定义 l 系统是对现实的

2、一种归纳 l 对系统的观察可以通过输入和输出来进行，输入通过系统内部处理和加工 后形成输出离开系统 l 系统的不同部分之间也相互作用 1.1.1 什么是系统 归纳起来： 系统是对客观或抽象的多个对象的性质进行研究，并对他们之间的相互 关系进行分析的 一门学问。 1.1.2 什么是模型 不同的学者由于侧重点不同，因此有不同的表述方式： l Forrester教授：“描述某些事物的一组法则与关系就是该事物的模型。人们 的想法都依赖于模型。” l Gorden教授：“模型是为了进行系统研究，用来收集与系统有关信息的物 体。” l Kade教授认为：模型是人类直觉的一种简明的间接尺度，他是各种理论形式

3、 规则的复制 1.1.2 什么是模型 归纳起来： 这些定义都强调了模型是研究者根据需要对实际系统的抽象和归纳，其目的 是为了解决所针对的问题。因此，模型从来不是孤立存在的，一旦谈到模型，必 然有其所模仿的系统。这两者之间存在着一种映射关系。此外，还存在着研究者 这个重要的因素，正是研究者根据自己的问题需要完成了这个映射。而且不同的 研究者根据不同的问题，对于同一个系统也可能会映射出不同的模型来。 1.2 动态系统的行为模式与结构 系统的行为由它的结构决定。动态系统行为的基本模式有：正反馈所产 生的增长；负反馈所产生的寻的行为；以及负反馈加上时间延迟所引起的振 荡，包括减幅振荡、有限循环和混沌。

4、更复杂的模型，如S形增长、过度（超 调）并崩溃，是由这些基本结构的非线性相互作用产生的。 1.2.1 指数增长 指数增长由正（自我加强）反馈结 构产生。数量越大，其净增长量越大， 进一步增加了数量并导致更快的增长。 时间 指数增长 1.2.2 寻的 寻的模式主要受因果回路中的负反馈 回路影响。正反馈回路产生增长、放大偏 移并且加强变化，负反馈回路寻求平衡、 均衡和停滞。负反馈回路追求将系统带到 目标或设想状态，他们抵制任何将系统状 态偏离目标的扰动。 时间 寻的 1.2.3 振荡 振荡行为像寻的行为一样，是由负反 馈回路引起。系统状态同其目标相比，并 且采取纠偏行动以消除任何差异。在一个 振荡

5、系统中，系统状态持续调高（超调）， 逆转，然后又调整过低，以此类推。过度 （超调）是由负反馈回路中有显著时间延 迟所产生的。时间延迟导致纠偏行动在系 统达到目标后仍然继续，迫使系统调整过 度，并引发反方向的新的纠偏。 时间 振荡 1.2.4 S形增长 增长最初是指数性的，但是逐渐减缓 直到系统状态达到平衡水平。曲线的形状 就像一个伸展的“S”。形成S形增长的关 键是正反馈和负反馈回路的相互作用必须 是非线性的。当系统状态相对于资源基数 较小时，增长限制很遥远，此时正反馈占 据主导。这种增长直接导致资源的减少， 离增长极限越来越近，负反馈回路变得越 来越强。 时间 S形增长 1.2.5 带有超调

6、的S形增长 S形增长需要限制增长的负反馈回路随 着接近承载能力的限制而迅速发挥作用， 然而，往往在这些负反馈回路中存在显著 的时间延迟。 时间 过度调整（超调）的增长 1.2.6 过度调整（超调）并崩溃 S形增长背后的第二个假定是承载能力 是固定的。然后，往往环境支持种群成长 的能力被种群本身所寝室或消耗。 时间 过度调整（超调）并崩溃 1.2.7 其他行为模式与结构 l 静态平衡或均衡 l 随机 l 混沌 减幅振荡：局部稳定性 扩张振荡和有限循环 混沌振荡 1.3 因果回路图 因果回路图（causal loop diagram,CLD）是表示系统反馈结构的重要 工具。CLD可以迅速表达你关于

7、系统动态形成原因的假说，引出并表达个体 或团队的心智模型。如果你认为某个重要反馈是问题形成的原因，你可以用 CLD将这个反馈传达给他人。 1.3.1 如何绘制因果回路图 变量由因果链联系，因果链由 箭头表示。每条因果链都具有极性， 或者为正（+）或者为负（-），该 极性指出了当独立变量变化时，相 关变量如何随之变化。重要回路用 回路标志符特意标出，以显示回路 为正反馈（增强型）还是为负反馈 （平衡型）。注意回路标志符与相 关回路朝同一个方向绕圈。 出生速率人口数量 + 因果链极性 因果链连接线 +R 或 回路标识符：正反馈 （增强型）回路 -B 或 回路标识符：负反馈 （平衡型）回路 1.3.

8、1 如何绘制因果回路图 一个简单的例子 出生比例 出生速率 + 人口数量 R + + 平均寿命 死亡速率 - - B + 1.3.2 绘制因果回路图必须注意的几大原则 l 因果回路图中每条链条都必须代表变量之间存在因果关系。 一个陈老师的经典例子 街上姑娘的裙子周围烦人的蚊子 不正确 + 平均气温 街上姑娘的裙子 周围烦人的蚊子 + + 正确 1.3.2 绘制因果回路图必须注意的几大原则 l 一定要为你图中的每一个因果链标注极性。 l 判断回路的极性 l 命名你的回路 l 指出因果链条中的重要延迟 l 变量名应当是名词或名词短语 l 不要将所有的回路放入一个大图 l 明确表示出负回路的目标 l

9、 分清实际状况和察觉到的状况 1.4 存量流量图 因果回路图适合于表达系统中的因果关系和反馈回路，在建模开始时， 因果回路用来建模人员间沟通交流，以了解系统结构，这是非常有效的。但 是当建模项目继续进行下去，需要量化模型的时候，只用因果回路图就不够 了。这时候区别不同类型的变量，在因果回路图的基础上画出存量流量图， 以建立变量之间的数学关系。 1.4.1 存量流量图的表示方法 人口 出生率 死亡率 出生比例平均寿命 存量由矩形代表，流入量 由箭头指向存量的管道代表， 流出量由箭头指离存量的管道 所代表（由vensim软件建模）。 1.4.2 存量流量图的数学意义 存量是积累量，其数学意义是积分

10、，它积累了流入量和流出量的差（净流 入）。可以用以下的数学公式准确的表达： 0 0 ( ) t t Stock tInflow sOutflow s dsStock t 其中Stock(t)表示t时刻存量的数量，Inflow(s)代表流入量，Outflow(s)代表 流出量。Stock(t0)代表初始时刻存量数量。 1.4.2 存量流量图的数学意义 流量是速率变量，是存量的净改变率，也就是存量的导数，是入流减去出流， 从而可以用微分公式来表示流量： /d stockdtInflow tOutflow t 1.5 简单系统的动态：一阶系统和二阶系统 要研究系统的结构和系统行为之间的关系。应从最简

11、单的系统入手，先 讨论一阶系统，然后看二阶系统。一阶系统的结构与行为有很强的联系，二 阶系统的结构与行为之间的关系相对较弱，规律性较低，更高阶的系统的结 构与行为之间的规律更少，但高阶系统可以看成若干个一阶系统与二阶系统 的组合。所以掌握一阶、二阶系统的动态可以帮助我们建立系统动力学模型 并对模型行为进行分析。 1.5.1 一阶系统 一阶系统仅包含一个存量状态，是系统动力学最小细胞，它可能是正反 馈回路、负反馈回路，也可能有多个反馈回路。正反馈系统会产生指数增长 和指数衰减的行为；负反馈系统一定会产生寻的行为；多反馈系统会产生S形 增长行为，系统会发生主导回路变化的情况：先由正反馈回路主导产出

12、快速 增长，然后再由负反馈回路主导产生寻的行为。一阶系统不会发生超调，更 不会发生振荡。一旦出现平衡，平衡将永远保持下去 1.5.1 一阶系统 时间 指数增长 时间 寻的 时间 S形增长 1.5.2 二阶系统 比一阶系统更为复杂，系统可能出现各种行为，没有规定。就算我们知 道二阶系统是一个负反馈回路，我们也不可能遇见系统的行为会是如何的。 系统可能发生振荡，也可能不发生振荡，很大程度上还取决于参数的设置。 所以，通过人脑来思考或者预测一个二阶系统，准确性很难把握，我们需要 通过模型模拟来辅助。二阶系统可能出现渐进行为或者振荡行为，振荡可能 是减幅的、等幅的或者是增幅的。 1.6 延迟 延迟现象

13、无处不在，量度和发布信息需要时间；决策需要时间；做出决 策后系统的状态发生改变需要时间，因此在系统动力学模型建立过程中，建 模着必须学会去分析延迟，表达延迟，并在模型中架构出延迟的影响。延迟 可分为物质延迟与信息延迟，而细分又有各种不同类型，每一种类型的研究 方法和数学推导请同学们自行研究学习，这里不做赘述。 1.7 路径依赖于正反馈 路径依赖是一种发展模式，系统发展前期微小的、随机的事件往往能够 决定系统运行的最终结果。在存在路径依赖的系统中，系统平衡的最终结果 取决于初始条件和随机扰动。 路径依赖主要出现于系统正反馈过程中。即使所有的点在最初都具有同 样的吸引力，微观噪声和外界扰动也会打破

14、系统的平衡。正反馈过程然后放 大这些小的初始差异，知道它们具备宏观的重要性为止。 1.7 路径依赖于正反馈 一个稳定平衡的例子： 一个光滑的碗，碗底有一个球，整个 系统处于平衡状态。现加力使球偏离平衡 状态，迫使球偏离平衡点P的力越大，促 使玻璃球回到平衡点的反作用力就越大， 因此这是一个稳定平衡，体现出的系统特 性为负反馈。 P 稳定平衡 1.7 路径依赖于正反馈 一个不稳定平衡的例子： 如果球一直在P点，它会停在那里不动， 这样的平衡时不稳定的。外力，即便是轻微 的扰动也会导致球滚落下去，在重力的作用 下会滚得越来越快，这是一个正反馈的过程。 这种轻微扰动无论是从作用力大小上还是方 向上，

15、都决定了球未来的状态，即系统处于 路径依赖状态。 稳定平衡 P 1.7 路径依赖于正反馈 这样的系统中存在着路径依赖现象，球 滚落的方向取决于最初的扰动：如果一开始 的扰动是朝向左边的，那么球就会向左边一 直滚落下去；如果一开始的扰动是朝向右边 的，那么球就会向右边一直滚下去。球到底 滚向何方，则取决于最开始的扰动 稳定平衡 P 1.7.1 路径依赖的模拟 l 模拟语言选择：javascript 前段网页脚本语言（配合html以及CSS） l 模拟环境选择：IE（6.0-10.0），firefox(28.0以上) l 模拟机器最低配置：CPU P3DDR 256M l 开发环境：Visual

16、Studio 2012 l 调试环境：Fire Bug 1.7.1 路径依赖的模拟 l 路径依赖规则设计： 向杯子里面投红色和蓝色两种颜色的球。 每次放入杯子里的球的颜色是随机的。且规定 每次选择向杯子里投放某种颜色的球的概率等 于当前罐子里面所有这种颜色球的比率。 l 源代码：可课后共享 1.8 老化链与协流 存量流量结构只记录流经系统的物品总量。但在很多情况下，我们还需 要记录物品的各种属性。我们用协流来记录流经一个存量结构的物品属性。 通常，存量中物品的流出速率很大程度上取决于物品的老化程度。例如， 人的死亡比例取决于其年龄，汽车的报废比例取决于车龄与里程数等。在存 量流量结构中，如果物

17、品的流出速率与其老化程度相关的话，我们就可以应 用老化链。 1.8.1 Forrester的系统动力学模型及其运用的老化链 Forrester(1969)的城市系统动力学模型包含了一个城市的三个关键元素 的老化链：商业设施存量、住宅存量和人口。 Forrester把商业设施分为三类：朝阳行业设施、成熟行业设施和夕阳行 业设施。朝阳行业设施存量的增加来自于朝阳行业设施建设。朝阳行业设施 到成熟行业设施的转换速率是朝阳行业设施下降速率。从成熟行业设施到夕 阳行业设施的转换速率是成熟行业设施的下降速率。最终夕阳行业设施的存 量因为夕阳行业设施的拆除而减少。他假设朝阳产业设施和成熟产业设施的 拆除速率

18、可以小到不计。 1.8.1 Forrester的系统动力学模型及其运用的老化链 Forrester的商业设施老化链： 1.8.1 Forrester的系统动力学模型及其运用的老化链 住宅存量老化链的情况更加复杂。Forrester将住宅分为高档住宅、普通 住宅和廉价住宅三类。这三种住宅的任何一种都可以新建，每一类住宅因老 化而逐渐降级为下一类住宅。 比如在美国很多城市里，以前管理人员居住的高档住宅，现在被分割成 两到三套公寓供熟练工居住；而纽约Bronx区的中产阶级公寓因为逐年老化， 逐步沦为主要用于出租给临时工的廉价住宅。 1.8.1 Forrester的系统动力学模型及其运用的老化链 Fo

19、rrester的住宅老化链： 1.8.1 Forrester的系统动力学模型及其运用的老化链 Forrester的住宅模型所对应的三类人分别为：管理人员、熟练工和临时 工。三类人都有各自的净出生率（出生速率减去死亡速率）、招募速率和离 职速率。随着工作经验的积累，临时人员可以升入熟练工群，熟练工也可以 升入管理人员群。熟练工也可以降入临时人员群。 1.8.1 Forrester的系统动力学模型及其运用的老化链 Forrester的劳动力老化链： 1.8.1 Forrester的系统动力学模型及其运用的老化链 作为研究城市问题和城市政策的基本模型，Forrester有意让其尽可能的 保持简单。他

20、没有列出这些老化链的所有可能的输入和输出流，而且如果模 型已经可以满足需要的话就不再进一步细化。 1.8.2 Forrester的城市系统动力学模型的影响 l Homer(1979)利用城市系统动力学模型来研究保险机构的地区经济歧视。 l Mass(1974)、Schroeder(1975)将基本模型进行了很多扩展，总的看来， 根据基本模型得出的政策建议是非常可靠的。 l Alfeld和Graham(1976) 2 元胞自动机模型 2.1 什么是自动机 l 自动机通常指不需要人们逐步进行操作指导的设备 l 根据储存带是否有限，可将自动机划分为有限带自动机（Finite Automation）和

21、无限带自动机（Infinite Automation）。 有限带自动机常用作数字电路的数学模型，可描述神经系统和算法 无限带自动机是一种控制状态有限、符号集有限的自动机，是一种离 散输入输出系统的数学模型。可用来描述繁殖过程 2.2 什么是元胞自动机 CA英文全称是Celluar Automata，中文译名为元胞自动机，又有人称之 为细胞自动机。 CA是一种时间、空间、状态都离散，(空间上的)相互作用和(时间上的)因 果关系皆局部的格网动力学模型。具有模拟复杂系统时空演化过程的能力。 1948年，数学家Von Neumann首次提出元胞自动机(CA)的概念 2.3 元胞自动机的构成 l 元胞：

22、又称为单元，或基元，是元胞自动机最基本的组成部分。元胞分散 在一维、二维或多维欧几里得空间的晶格点上。 l 状态：状态可以是0,1的二进制形式，或者是整数形式的离散集。 l 元胞空间：元胞所分布的空间网点集合就是元胞空间。 l 邻居：一个元胞按照一定规则定义的相邻元胞。 l 规则：根据元胞当前状态及其邻居状况确定下一时刻该元胞状态的动力学 函数，简单讲，就是一个状态转移函数。 l 时间：元胞自动机是一个动态系统，它在时间维上的变化是离散的，即时 间t是一个整数值，而且连续等间距。 2.3.1 元胞 l 元胞 对于一个二维元胞自动机模型中，每一个格子（19号）均是一个 元胞 2.3 元胞自动机的构成 l 状态 一下是两种典型的元胞状态表示形式 按照二进制0,1 表示的状态 按照0255整数形式 的离散集表示的状态 2.3 元胞自动机的构成 l 元胞空间 容纳元胞的网格就是元胞空间（一维，二维N维） 一维元胞空间二维元胞空间 2.3 元胞自动机的构成 l 邻居 邻居的选择按照不同的规则有不同的方式，对于一维元胞自动机有 如下示例： 规则：r=1 规则：r=2 2.3 元胞自