《统计学》第五版第11章一元线性回归

1、统计学第五版第11章一元线性回归 第11章 一元线性回归 统计学第五版第11章一元线性回归 11.1 变量间关系的度量 是一一对应的确定关系 设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完 全依赖于 x ，当变量 x 取某 个数值时， y 依确定的关系 取相应的值，则称 y 是 x 的 函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量 各观测点落在一条线上 11.1.1 变量间的关系 统计学第五版第11章一元线性回归 变量间的关系 （函数关系） 函数关系的例子 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关 系可表示为 y = p x (p 为单价) 圆的面

2、积(S)与半径之间的关系可表示为S = R2 企业的原材料消耗额(y)与产量(x1) 、单位产 量消耗(x2) 、原材料价格(x3)之间的关系可 表示为y = x1 x2 x3 统计学第五版第11章一元线性回归 变量间关系不能用函数关 系精确表达 一个变量的取值不能由另 一个变量唯一确定 当变量 x 取某个值时，变 量 y 的取值可能有几个 各观测点分布在直线周围 统计学第五版第11章一元线性回归 相关关系的例子 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、 温度(x3)之间的关系 收入水平(

3、y)与受教育程度(x)之间的关系 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系 统计学第五版第11章一元线性回归 相关关系的类型 统计学第五版第11章一元线性回归 相关关系的图示 统计学第五版第11章一元线性回归 11.1.2 相关关系的描述与测度相关关系的描述与测度 相关系数 对变量之间关系密切程度的度量 对两个变量之间线性相关程度的度量称为 简单相关系数 若相关系数是根据总体全部数据计算的， 称为总体相关系数，记为 若是根据样本数据计算的，则称为样本相 关系数，记为 r 统计学第五版第11章一元线性回归 样本相关系数的计算公式 22 )()( )( yyxx yyxx r 或化简为或化简为 2

4、 2 2 2 yynxxn yxxyn r 统计学第五版第11章一元线性回归 相关系数取值及其意义 r 的取值范围是 -1,1，|r|=1，为完全相关。r =1，为完全正相关；r =-1，为完全负正相关； r = 0，不存在线性相关关系。-1r0，为负相 关，0t，拒绝H0 若tt，接受H0 2 2 (2) 1 rn tt n r 统计学第五版第11章一元线性回归 一元线性回归 什么是回归分析？（内容） 从一组样本数据出发，确定变量之间的数学 关系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验， 并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪 些变量的影响显著，哪些不显著 利用所求的关系式，根据一个或几个

5、变量的 取值来预测或控制另一个特定变量的取值， 并给出这种预测或控制的精确程度 统计学第五版第11章一元线性回归 回归分析与相关分析的区别 相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回 归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地 位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量； 回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可 以是随机变量，也可以是非随机的确定变量 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密 切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制 统计学第五版第11章一元线性回归 回

6、归模型的类型 回归模型回归模型 多元回归多元回归一元回归一元回归 线性线性 回归回归 非线性非线性 回归回归 线性线性 回归回归 非线性非线性 回归回归 统计学第五版第11章一元线性回归 回归模型 回答“变量之间是什么样的关系？” 方程中运用 1 个数字的因变量(响应变量) 被预测的变量 1 个或多个数字的或分类的自变量 (解释变量) 用于预测的变量 3. 主要用于预测和估计 统计学第五版第11章一元线性回归 一元线性回归模型 （概念要点） 当只涉及一个自变量时称为一元回归，若因变 量 y 与自变量 x 之间为线性关系时称为一元线 性回归 对于具有线性关系的两个变量，可以用一条线 性方程来表示

7、它们之间的关系 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型 统计学第五版第11章一元线性回归 一元线性回归模型 （概念要点） 对于只涉及一个自变量的简单线性回归模型可 表示为 y = b b0 0 + + b b1 1 x + + 模型中，y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化 误差项 是随机变量 反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响 是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性 b0 和 b1 称为模型的参数 统计学第五版第11章一元线性回归 一元线性回归模型 （基本假定） 误差项

8、是一个期望值为0的随机变量，即E()=0。 对于一个给定的 x 值，y 的期望值为E ( y ) =b b 0+ b b 1 x 对于所有的 x 值，的方差2 都相同 误差项是一个服从正态分布的随机变量，且相 互独立。即N( 0 ,2 ) 独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的与 其他 x 值所对应的不相关 对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所 对应的 y 值也不相关 统计学第五版第11章一元线性回归 回归方程 （概念要点） 描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程 称为回归方程回归方程 简单线性回归方程的形式如下 E( y ) = b b0+ b b1 x

9、 方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程 b b0是回归直线在是回归直线在 y 轴上的截距，是当轴上的截距，是当 x=0 时时 y 的期望值的期望值 b b1是直线的斜率，称为回归系数，表示当是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动一个每变动一个 单位时，单位时，y 的平均变动值的平均变动值 统计学第五版第11章一元线性回归 估计(经验)的回归方程 简单线性回归中估计的回归方程为 其中： 是估计的回归直线在 y 轴上的截距， 是直线的斜率，它表示对 于一个给定的 x 的值，是 y 的估计值，也表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值

10、 0 b 1 b 用样本统计量 和 代替回归方程中的未知参 数 和 ，就得到了估计的回归方程 0 b 1 b 0 b 1 b 总体回归参数 和 是未知的，必需利用样本数 据去估计 0 b 1 b xy 10 bb+ 统计学第五版第11章一元线性回归 最小二乘法 （概念要点） 最小 n i i n i i eyyQ 1 2 1 2 10 ) () , (bb 使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和 达到最小来求得 和 的方法。即 用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关 系与实际数据的误差比其他任何直线都小 0 b 1 b 统计学第五版第11章一元线性回归 最小二乘法（图示） 01 y xb

11、b+ 统计学第五版第11章一元线性回归 最小二乘法 （ 和 的计算公式） 根据最小二乘法的要求，可得求解 和 的标 准方程如下 1 b 0 b 0 b 1 b 111 1 2 11 01 nnn iiii iii nn ii ii nx yxy nxx yx b bb 统计学第五版第11章一元线性回归 回归统计回归统计 Multiple RMultiple R0.8435713640.843571364 R SquareR Square0.7116126470.711612647 Adjusted R Adjusted R SquareSquare 0.6990740660.699074066

12、 标准误差标准误差1.9799475331.979947533 观测值观测值2525 方差分析方差分析 dfdfSSSSMSMSF FSignificance FSignificance F 回归分析回归分析1 1 222.4859787222.4859787 222.4859787222.485978756.7538440656.753844061.18349E-071.18349E-07 残差残差2323 90.1644213490.16442134 3.9201922323.920192232 总计总计2424312.6504312.6504 CoefficientsCoefficien

13、ts标准误差标准误差t Statt StatP-valueP-valueLower 95%Lower 95%Upper 95%Upper 95%下限下限 95.0%95.0%上限上限 95.0%95.0% InterceptIntercept-0.829520617-0.829520617 0.7230432950.723043295-1.147262719-1.1472627190.2630675970.263067597-2.325249623-2.325249623 0.666208390.66620839-2.325249623-2.325249623 0.666208390.6662

14、0839 X Variable 1X Variable 10.0378947070.0378947070.005030150.00503015 7.5335147227.5335147221.18349E-071.18349E-070.027489050.027489050.0483003640.0483003640.027489050.027489050.0483003640.048300364 估计方程的求法 （Excel的输出结果） 0 b 1 b 统计学第五版第11章一元线性回归 11.2.3 回归直线的拟合优度 回归直线与各观测点的接近程度称为回归直线对 数据的拟合优度，用判定系数说

15、明。 1.判定系数 因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波 动称为变差。变差来源于两个方面： 由于自变量 x 的取值不同造成的 除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差 等)的影响 统计学第五版第11章一元线性回归 离差平方和的分解（图示） y 01 y xbb+ yy yy y y ( ,) ii x y 统计学第五版第11章一元线性回归 离差平方和的分解 （三个平方和的关系） 2. 两端平方后求和有两端平方后求和有 yyyyyy+ 从图上看有从图上看有 SST = SSR + SSE + n i i n i i n i i yyyyyy 1 2 1 2 1 2 总变差平

16、方和总变差平方和 （SST） 回归平方和回归平方和 （SSR） 残差平方和残差平方和 （SSE） 统计学第五版第11章一元线性回归 离差平方和的分解 （三个平方和的意义） 总平方和总平方和(SST) 反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差 回归平方和回归平方和(SSR) 反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影 响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引 起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和 残差平方和残差平方和(SSE) 反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也 称为不可解释的平方和或剩余平方和 统计学第五版第11章一元线性回归 样本决定系数 （判定系数 r2

17、 ） 回归平方和占总离差平方和的比例 反映回归直线的拟合程度 取值范围在 0 , 1 之间 r2 1，说明回归方程拟合的越好；r20， 说明回归方程拟合的越差 判定系数等于相关系数的平方，即r2(r)2 22 2 11 22 11 1 nn ii ii nn ii ii yyyy SSR r SST yyyy 统计学第五版第11章一元线性回归 2.估计标准误差 度量各实际观测点在直线周围的散步状况 的一个统计量，是均方残差MSE的平方根， 用se表示 2 22 ii e yy SSE sMSE nn 是对误差项的标准差的估计 反映了用估计的回归方程预测因变量y时预测误差的 大小 各观测点越靠近

18、直线，se越小，根据估计的回归方程 进行预测也就越准确。 统计学第五版第11章一元线性回归 11.2.4 显著性检验 1.线性关系检验 检验自变量和因变量之间的线性关系是否 显著 具体方法是将回归平方和(SSR)同残差平方 和(SSE)加以比较，应用F检验来分析二者之 间的差别是否显著 如果是显著的，两个变量之间存在线性关系 如果不显著，两个变量之间不存在线性关系 统计学第五版第11章一元线性回归 提出假设 H0：线性关系不显著 )2,1 ( 2 1 2 1 1 2 1 2 nF nyy yy nSSE SSR F n i i n i i 2. 计算检验统计量F 确定显著性水平，并根据分子自由

19、度1和分 母自由度n-2找出临界值F 作出决策：若FF ,拒绝H0；若Ft，拒绝H0； tt，接受H0 1 1 (2)tt n Sb b 统计学第五版第11章一元线性回归 统计学第五版第11章一元线性回归 11.2.5 回归分析结果的评价回归分析结果的评价 1.回归系数 的符号是否与理论或事先预期相 一致？ 2.如果理论上认为y与x之间的关系不仅是正的 ，而且统计上显著，那么所建立的回归方 程也应该如此 3.回归模型在多大程度上解释了因变量y取值 的差异？用判定系数来回答 4.考察关于误差项的正态性假定是否成立。 画出残差的直方图或正态概率图 统计学第五版第11章一元线性回归 11.3 利用回

20、归方程进行预测 根据自变量 x 的取值估计或预测因变量 y 的取值 估计或预测的类型 点估计 y 的平均值的点估计 y 的个别值的点估计 区间估计 y 的平均值的置信区间估计 y 的个别值的预测区间估计 统计学第五版第11章一元线性回归 11.3.1 点估计点估计 对于自变量 x 的一个给定值x0 ，根据回归方 程得到因变量 y 的一个估计值 点估计值有 y 的平均值的点估计 y 的个别值的点估计 在点估计条件下，平均值的点估计和个别 值的的点估计是一样的，但在区间估计中 则不同 0 y 统计学第五版第11章一元线性回归 y 的平均值的点估计的平均值的点估计 利用估计的回归方程，对于自变量 x

21、 的一个 给定值 x0 ，求出因变量 y 的平均值的一个 估计值E(y0) ，就是平均值的点估计 在前面的例子中，假如我们要估计贷款余额 为100亿元时，所有分行不良贷款的平均值 ，就是平均值的点估计。根据估计的回归方 程得 0 0.82950.037895 100=2.96()E y +亿元 统计学第五版第11章一元线性回归 y 的个别值的点估计的个别值的点估计 0 y 利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个 给定值 x0 ，求出因变量 y 的一个个别值的估 计值 ，就是个别值的点估计 2. 比如，如果我们只是想知道编号为10的分行 （贷款余额为）的不良贷款是多少，则属于 个别值的点估计

22、。根据估计的回归方程得 0 0.82960.037895 72.8=1.93y +（亿元） 统计学第五版第11章一元线性回归 11.3.2 区间估计 点估计不能给出估计的精度，点估计值与 实际值之间是有误差的，因此需要进行区 间估计 对于自变量 x 的一个给定值 x0，根据回归 方程得到因变量 y 的一个估计区间 区间估计有两种类型 置信区间估计 预测区间估计 统计学第五版第11章一元线性回归 y 的平均值的置信区间估计的平均值的置信区间估计 利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个 给定值 x0 ，求出因变量 y 的平均值E(y0)的估 计区间 ，这一估计区间称为置信区间置信区间 1. E(y0) 在1-置信水平下的置信区间为 2 0 02 2 1 1 (2) en i i xx ytnS n xx + 式中：式中：Se为估计标为估计标 准误差准误差 统计学第五版第11章一元线性回归 2 100 120.2681 2.692.0687 1.9799 25154933.5744 =2.960.8459 + 【例例】根据前例，求出贷款余额为100亿元时不良 贷