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1、中学几何研究 (0775)一、简答题：（20分）简述欧几里得几何原本的伟大贡献。 1、关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。2、从欧几里得发表几何原本到如今，已经过去了两千多年，尽管科学技术日新月异，由于欧氏几何具有鲜明的直观性和有着严密的逻辑演绎方法相结合的特点，在长期的实践中表明，它巳成为培养、提高青少年逻辑思维能力的好教材。3、。几何原本的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。二、证明题： （20分）在ABC内任取一点，直线、分别交、于、.求证：.=,=三、作图题：（20分）已知，求作的外接圆。（只写作法及讨论，不用证明。） 作法：作BC

2、的中垂线l和AC的中垂线m，l与m交于点O，以O为圆心，OA为半径作圆0 (O,OA)即为所求。四、轨迹讨论：（20分）设一点与一定圆的距离等于圆半径，则该点的轨迹为该圆中心和一个半径加倍的同心圆的并。 假设：点与定圆距离。 求证：点的轨迹是点和圆. 证明：（1）完备性 设在圆内部，则由假设，即点重 合于圆心。 若在外部，则，因此在圆上。 （2）纯粹性 首先，据定义，点到圆的距离是，即点合于条件。其次，在圆上任取一点，因点在圆外部，线段必交圆于一点，且，即点合于条件。所以合乎条件的点的轨迹是点和圆的并集。第三题图5、 叙述并证明西姆松定理（20分) 答：西姆松定理是一个几何定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。 证明：ABC外接圆上有点P，且PEAC于E，PFBC于F，PDAB于D，分别连FE、FD、BP、CP.易证P、B、D、F和P、F、C、E分别共圆，在PBDF圆内，DBP+DFP=180度，在ABPC圆内ABP+ACP =180度，ABP=DBP于是DFP=ACP ，在PFCE圆内 PFE=PCE 而ACP+PCE=180 DFP+PFE=180 即D、F

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