2981.抗旱方案的优化模型

1、抗旱方案的优化模型摘要：2009年以来，我国西南地区的偏远贫困村，由于水井的水远远不能满足需要，不仅各种农业生产全部停止，而且大量的村民每天要被迫翻山越岭到相隔十几里外去背水来维持日常生活。为此，今年政府打算着手帮助该村解决用水难的问题。因此，出现了打井，铺设管道与花费的抉择问题。我们通过对问题的分析，讨论建立四个模型来解决问题，利用matlab拟合、lingo软件、excel表格、0-1规划方法来解决原四口井的预测、2010到2012年所需最小产水量、最优的选井、最小铺设管道费用等问题。 得出选井的最优方法及最小花费，加上铺设管道花费就是最终结果，也就是我们的最优结果，其方案也是我们的最优方

2、案。关键词：多项式拟合 01规划 线性规划 一 问题重述我国西南地区的某个偏远贫困村，是我国典型的缺水地区。该村现有的四口水井经过多年使用后，年产水量也在逐渐减少，在表1中给出它们在近9年来的产水量粗略统计数字。2009年以来，由于水井的远远不能满足人们的生活需要，因此，今年政府打算着手帮助该村解决用水难的问题。从以下两方面考虑：一 经地质专家勘察，在该村附近又找到了8个可供打井的位置，但地质构造不同，因而每个位置打井的费用和预计的年产水量也不同，详见表2，并预计每口水井的年产水量还会以平均每年10%左右的速率减少。二 从长远考虑，可从相隔20公里外的地方铺设管道把河水引进村。铺设管道的费用为

3、（万元）表示每年的可供水量（万吨/年）；表示管道长度（公里）。铺设管道从开工到完成需要三年时间，且每年投资铺设管道的费用为万元的整数倍。要求完成之后，每年能够通过管道至少提供100万吨水。20102012年，连续三年，政府每年最多可提供60万元用于该村打井和铺设管道，为保证该村在20102014年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水，请作出一个从2010年起三年的打井和铺设管道计划，以使整个计划的总开支尽量节省（不考虑小蓄水池的作用和利息的因素在内）。表1 现有各水井在近几年的产水量（万吨）年份产水量编号2001200220032004200520062007

4、200820091号井32.231.329.728.627.526.125.323.722.72号井21.515.911.88.76.54.83.52.62.03号井27.925.823.821.619.517.415.513.311.24号井46.232.626.723.020.018.917.516.3表2 10个位置打井费用（万元）和当年产水量（万吨）编号12345678打井费用57546553当年产水2536321531282212二 问题分析根据该村原有的四口水井在20012009的供水量（见表1），和表2及该村在20102014这五年的需水量，预测该村在2010到2012这三年内所

5、修水井的先后顺序以及所修水井的数量，以及每口井年产水量以平均每年10%左右的速率减少，在相隔20公里外的地方铺设管道把河水引进村，其费用 ，我们通过对问题的分析，讨论建立四个模型来解决问题，模型一利用拟合的方法来对原四口井进行预测,得出结论；模型二是列出2010到2012年所需最小产水量的目标函数及约束条件，再用lingo软件进行演算得出结果；模型三是在前两个模型的基础上做出的，是利用0-1规划方法进行选井，得出最优的选井结果，这样可以得出三年打井所剩花费，再利用剩余花费来铺设管道；模型四列出它的最小铺设管道费用的目标函数，再用lingo软件得出铺设管道的最小花费，再加上打井费用。就是我们的最

6、优结果，其方法也是最优方案。推广：对于这个问题我们做出了15年规划模型的推广，利用matlab和excel得出每年能够通过管道至少提供102.5万吨水。三 符号说明 总花费； 为总的打井费用； 为总的管道铺设费用；表示每年铺设管道的费用； 为新打水井产水量的每年的下降速率； 表示井的编号（i=1,2,38）； 表示总剩余费用；为20102012年每年的剩余费用；为2010-2015年每年至少提供水的吨数；、 为20102012每年新增水井的总产水量；、 为20102012每年原有水井的总产水量；为18号井的打井费用；表示20102012年每一年的打井费用；为18号井的产水量；、为2010201

7、1年每年铺设管道公里数；四 模型假设（1）假设洪涝和旱灾与供水量无关；（2）假设该地区地理环境对铺设管道无影响；（3）假设该地区2016年后的用水量在150200万吨之间；（4）假设该地区恶劣环境对工期及费用不会造成影响；（5）假设管道在规定年限内供水量不会有影响；五 模型的建立与求解据题意，为保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水，从2010年起三年的打井和铺设管道计划，且使整个计划的总开支尽量节省，则： 最小费用=最小打井费用+最小铺设管道费用，即 ；模型一题中给出现有各水井在近几年的产水量（万吨），我们需要对其数据进行拟合，并

8、预测现有各水井在20102014年的产水量，我们需要用到多项式拟合，即： 一次拟合 ；三次拟合 表1：年份产水量编号2001200220032004200520062007200820091号井32.231.329.728.627.526.125.323.722.72号井21.515.911.88.76.54.83.52.62.03号井27.925.823.821.619.517.415.513.311.24号井46.232.626.723.020.018.917.516.3据上表数据对于原有的1号井，我们通过matlab对它进行一次拟合,得 ， ，即拟合曲线为： ，对于原有的2号井，我们通过

9、matlab对它进行三次拟合,得 ， ， ， ，即拟合曲线为： ，对于原有的2号井，我们通过matlab对它进行一次拟合,得 ， ，即拟合曲线为： ，对于原有的4号井，我们通过matlab对它进行三次拟合,得 ， ， ， ，即拟合曲线为： ，拟合曲线图如下：拟合曲线图在分别对这四口井在2010、2011、2012、2013、2014年的产水量进行预测，得表3年份1号井2号井3号井4号井总量201021.44691.02479.130611.807543.4097201120.245207.04564.478431.7692201219.043504.9606024.0041201317.841

10、802.8756020.7174201416.640100.7906017.4307 则有：=43.4097，=31.7692，=24.0041，（1） 最小打井费用；模型二打井费用最小，即在满足2010、2011、2012年分别能至少获得150、160、170万吨水的前提下，是每年新增水井的总产水量最小。即： ； ； s.t. ； ；用lingo求解，即 s.t. 得： , , , ,模型三在每年新增水井的总产水量一定时，且18号井打井的费用、产水量已知，使其打井费用最少，可以得到每年应打哪些井，才能保证符合要求。即：表示8口井，=0 1,1代表应打的井，0则不打或已打过的井。 ;2010年

11、 s.t. ；2011年 s.t. ；2012年 s.t. ；用lingo求解，得：2010年 =20 ,2011年 , , ，2012年 , ,即2010年打2、3、6、8号井，打井费用为=20 ,2011年打4、7号井，打井费用为 ,2012年打5号井，打井费用为，则总费用为万元，即打井最小费用。（2） 最小铺设管道费用：模型四确定了每一年该打哪些井，即确定了打井所需要的最小费用，也就确定了铺设管道可用的费用，在铺设管道费用最小时，列出目标函数，可确定每一年管道可提供多少万吨水，以及每年应铺设多少公里管道。即： ; ; ; ; ; ;用lingo求解，得： , , , ,即2010年铺设管

12、道5.787829公里，2011年铺设管道6.410178公里，2011年铺设管道7.801993公里，每年通过管道向该村提供100万吨水，最小管道铺设费用为138.2210万元。则： 万元综上所述：得出下表表4年份年水量需水量年支出最高支付2010151.4097150符合59.9999760符合2011165.9692160符合53.3010560符合2012175.7872170符合59.9199560符合2013257.3194180符合2014240.3725190符合每年最多可提供60万元用于该村打井和铺设管道，为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少获得150、1

13、60、170、180、190万吨水，我们作出一个从2010年起三年的打井和铺设管道计划，以使整个计划的总开支尽量节省。规划如下表：表5年份打井号数铺设管道公里数原井产水量新井产水量管道供水量总供水量打井费用管道铺设费用总费用20102、3、6、85.7878343.40971080151.420406020114、76.4101831.7692134.20166944.353.301201257.8019924.0041151.780175.8653.9259.92总计2099.3842173.22（具体程序见附件）六 模型推广由，可知：(1)2010 年投资60万元：2010年打井费用万元，

14、可用于铺设管道费用为万元，如果40万元全部作为这一年的铺设管道费用，且管道至少提供100万吨水，由 可知道,即也就是在2010最多可修管道5.78783 公里，所以我们可以选择在2010铺设管道5公里，做出如下设计：可拿出35万元铺设管道，即实际的铺设管道费用； ；可以得出： 2010年剩余费用万元（2）2011年投资60万元：2011年打井费用万元，可用于铺设管道费用为万元；同理，拿出49万元铺设管道，即实际的铺设管道费用 可以得出： 2011年剩余费用万元（3）2012年投资60万元：除去2012年打井费用万元，加上前两年所剩余的费用万元，可用于铺设管道费用为万元；同理，拿出56万元铺设管

15、道，即实际的铺设管道费用； 可以得出： 万元；表62010年打井2011年打井2012年打井年份产水井号2010201120122013201420152016201723632.429.1626.2423.6221.2619.1317.2233228.825.9223.332118.917.0115.31415151513.512.1510.949.848.865313127.925.1122.620.3418.3116.4762825.222.6820.4118.3716.5314.8813.39722222219.817.8216.0414.4312.9981210.89.728.757

16、.877.096.385.74原有水井产水43.4531.8324.120.8517.6115.6714.5213.38总产水151.45160.03176.48157.99141.03126.8114.5103.4年份产水井号20182019202020212022202320242025215.513.9512.5511.310.179.158.247.41313.7712.411.1610.049.048.137.326.5947.977.176.465.815.234.714.243.81514.8313.3412.0110.819.738.767.887.09612.0510.859

17、.768.797.917.126.415.76711.6910.529.478.527.676.96.215.5985.174.654.183.773.393.052.752.47原有水井产水12.2411.119.988.857.736.625.514.41总产水93.2283.9975.5767.8960.8754.4448.5543.14根据上表的总产水和管道最小供水量minq=102.5万吨可得出下表表7年份20102011201220132014201520162017水井产水151.45 160.03 176.48 157.99 141.03 126.76 114.50 103.3

18、6 管道水102.5102.5102.5102.5102.5102.5102.5102.5总供水253.95 262.53 278.98 260.49 243.53 229.26 217.00 205.86 符合符合符合符合符合符合符合符合年份20182019202020212022202320242025水井产水93.22 83.99 75.57 67.89 60.87 54.44 48.55 43.14 管道水102.5102.5102.5102.5102.5102.5102.5102.5总供水195.72 186.49 178.07 170.39 163.37 156.94 151.05 145.64 符合符合符合符合符合符合符合不符合根据以上模型和数据，我们对管道和水井的利用年限做出预测，把150200万吨作为该地区所需水量的标准，利用excel表格，从表7中可