计算区域与控制方程离散化

1、计算区域与控制方程离散化 5 计算区域与控制方程的计算区域与控制方程的 离散化离散化 计算区域与控制方程离散化 1、区域离散化：即对空间上连续的计算区域进行剖分，把它划、区域离散化：即对空间上连续的计算区域进行剖分，把它划 分成许多个子区域，并确定每个区域中的节点，这一过程又分成许多个子区域，并确定每个区域中的节点，这一过程又 称为网格生成。称为网格生成。 2、离散化方程结构：、离散化方程结构： 1）一个离散化方程关系到一组网格节点上的）一个离散化方程关系到一组网格节点上的值，通常它表现为代数方程，值，通常它表现为代数方程， 是由支配是由支配的微分方程推导而来，并表示与该微分方程相同的物理信息

2、，的微分方程推导而来，并表示与该微分方程相同的物理信息， 一个微分方程变成一个微分方程变成一组一组代数方程代数方程组；组； 2 2）离散化方程只与少数几个网格节点有关，网格节点上的离散化方程只与少数几个网格节点有关，网格节点上的值只影响其相邻值只影响其相邻 节点的节点的值；值； 3 3）对一个微分方程，）对一个微分方程，离散化方程不只一个，取决于关于的假设以及差分的阶离散化方程不只一个，取决于关于的假设以及差分的阶 数。但当网格节点数目很大时，相邻节点间数。但当网格节点数目很大时，相邻节点间值变化很小，关于假设的实值变化很小，关于假设的实 际细节已不重要，此时离散化方程的解即是精确解。际细节已

3、不重要，此时离散化方程的解即是精确解。 计算区域与控制方程离散化 控制方程离散化控制方程离散化: 即将描写流动与传热过程的偏微分方程转化为各即将描写流动与传热过程的偏微分方程转化为各 个节点上的代数方程组。个节点上的代数方程组。 常用离散化方程的方法：常用离散化方程的方法： 有限差分法中的有限差分法中的Taylor展开法展开法 有限容积法中的控制容积积分法有限容积法中的控制容积积分法 多项式拟合法多项式拟合法 平衡法平衡法 计算区域与控制方程离散化 5.1 区域离散化区域离散化 1、区域离散化的实质：就是用一组有限个离散的点来代替原来、区域离散化的实质：就是用一组有限个离散的点来代替原来 的连

4、续空间。的连续空间。 2、实施过程是：把所计算的区域划分成许多个互不重叠的子区、实施过程是：把所计算的区域划分成许多个互不重叠的子区 域（域（sub-domain），确定每个子区域中的节点位置及该），确定每个子区域中的节点位置及该 结点所代表的控制容积（结点所代表的控制容积（control volume）。）。 3、离散化结束后，得到、离散化结束后，得到4种几何要素种几何要素 节点：需要求解的未知量的几何位置；节点：需要求解的未知量的几何位置； 控制容积：应用控制方程或守恒定律的最小几何单位；控制容积：应用控制方程或守恒定律的最小几何单位； 界面：它规定了与各节点相对应的控制容积的分界面位置；

5、界面：它规定了与各节点相对应的控制容积的分界面位置； 网格线：沿坐标轴方向连接相邻两节点而形成的曲线簇（网格线：沿坐标轴方向连接相邻两节点而形成的曲线簇（围成的 区域） 计算区域与控制方程离散化 5. 2 两类设置节点的方法两类设置节点的方法 视节点在子区域中位置的不同将离散化方法分成两大类：视节点在子区域中位置的不同将离散化方法分成两大类： 1、外节点法：子区域不是控制容积。为确定各节点的控制、外节点法：子区域不是控制容积。为确定各节点的控制 容积容积,需要在相邻两节点的中间位置上做界面线，由这些需要在相邻两节点的中间位置上做界面线，由这些 界面线构成各节点的控制容积界面线构成各节点的控制容

6、积.即先节点后界面。即先节点后界面。 2、内节点法：节点位于子区域的中心，这时子区域就是控、内节点法：节点位于子区域的中心，这时子区域就是控 制容积。即先界面后节点。制容积。即先界面后节点。（离散化方程适用于任何特定的控制容积面构成方法，但对 边界条件的离散有影响。） 计算区域与控制方程离散化 5. 3 两种命名方法：两种命名方法： 区域离散后，为建立节点的离散方程，还需对节点及有关几何要素的命名方法做出规定 当对离散方程进行特性分析时采用当对离散方程进行特性分析时采用i-j-n表示法，即节点（表示法，即节点（i,j），）， 与该节点相邻的界面与该节点相邻的界面i+1/2，i-1/2，j+1/

7、2，j-1/2。 其他采用其他采用P，N ，E，W，S表示所研究的节点及相邻的四个节表示所研究的节点及相邻的四个节 点，用点，用n，e，w，s表示相应的界面。表示相应的界面。 用上标用上标0表示非稳态问题中上一表示非稳态问题中上一 时层的值。时层的值。 xx表示相邻两点间的距离表示相邻两点间的距离 xx 表示相邻两界面间的距离。表示相邻两界面间的距离。 计算区域与控制方程离散化 5.4 非均匀网格非均匀网格 1、当体系庞大时，不同区域、当体系庞大时，不同区域T变化有陡有缓；网格间距应当变化有陡有缓；网格间距应当 直接与因变量在计算区域内的变化联系起来。直接与因变量在计算区域内的变化联系起来。（

8、如靠近热源dt/dx大， 网格间距可密些，靠近边界可稀些；薄板坯加热中心80%区域可稀些，角部20%处可密些；钢包吹气时，只有网格 加密才可发现二次涡。） 2、如何设计一个合适的非均匀网格？、如何设计一个合适的非均匀网格？ 1）由所要得到解的某些定性的预计而得知些指导；）由所要得到解的某些定性的预计而得知些指导； 2）可用初步的粗网格解来求得）可用初步的粗网格解来求得tx变化形式，而后可以构变化形式，而后可以构 成一个合适的非均匀网格。成一个合适的非均匀网格。 计算区域与控制方程离散化 5.5 结构化网格（结构化网格（structured grid) 1、结构化网格：给出节点的编号，立即可以得

9、出其、结构化网格：给出节点的编号，立即可以得出其 相邻节点的编号。相邻节点的编号。 优点：生成方法简单优点：生成方法简单 缺点：对不规则区域的适应性比较差。缺点：对不规则区域的适应性比较差。 2、非结构化网格（、非结构化网格（unstructured grid）：对不规则）：对不规则 区域的适应性强，但网格生成过程则要复杂得多。区域的适应性强，但网格生成过程则要复杂得多。 (用适体坐标方法生成网格相当于是做一个变换，即把物理空间中的不规则区域变换到计算空间中的规 则区域，并在其上进行数值计算） 计算区域与控制方程离散化 5.6 两类节点设置方法的比较两类节点设置方法的比较 当网格划分均匀时，两

10、种方法所形成的节点分布在区域内 部趋于一致，仅在坐标轴方向上节点有半个控制容积厚度 的位错。 1边界节点所代表的控制容积边界节点所代表的控制容积 不同不同.外节点法中，边界节点代表了半个控制 容积；而内节点法中，则应看成是厚度为零的控 制容积的代表，即相当于外节点法中边界节点的 控制容积在o时的极限。 2当网格不均分时，内节点法当网格不均分时，内节点法 中节点永远位处控制容积的中节点永远位处控制容积的 中心，而由外节点法形成的中心，而由外节点法形成的 节点则不然。节点则不然。从节点是控制容积的代表这一 角度看，内节点法更合理。 计算区域与控制方程离散化 3当网格不均匀时，外节点法中界面永远位处

11、两邻点的当网格不均匀时，外节点法中界面永远位处两邻点的 中间位置，而内节点法则不然。中间位置，而内节点法则不然。 如界面上的导数：如界面上的导数： 则对于内节点法，计算的精度要低一些，但外节点法计算则对于内节点法，计算的精度要低一些，但外节点法计算 该面热流提供了较高精度。该面热流提供了较高精度。 EP e e xx 计算区域与控制方程离散化 4、程序编制与计算时，由于程序编制与计算时，由于B法取子区域为控制容法取子区域为控制容 积，界面自然生成，方便容易得多，且当所求解积，界面自然生成，方便容易得多，且当所求解 的区域中物性发生阶跃变化的面作为界面，以避的区域中物性发生阶跃变化的面作为界面，

12、以避 免在同一控制容积内物性发生突变的情形。免在同一控制容积内物性发生突变的情形。（如模拟突 扩通道中绕堵塞物流动时，各处壁面必须位于控制体面上；又如一组合固体，把控制容积面放在材料性质发生突变 的地方。） 计算区域与控制方程离散化 5.7 关于网格生成问题的进一步说明关于网格生成问题的进一步说明 1 为作图方便，网格是均匀分布的，但在工程实际计算时，网为作图方便，网格是均匀分布的，但在工程实际计算时，网 格常常是不均匀的；在预期所求解的变量变化比较剧烈的地区格常常是不均匀的；在预期所求解的变量变化比较剧烈的地区 网格分布应该稠密一些。网格分布应该稠密一些。这时要注意两方面的问题。 1）对每个

13、控制容积在不同方向的宽度应该保持一个合适的比例，）对每个控制容积在不同方向的宽度应该保持一个合适的比例， 对椭圆型问题，不同方向的宽度之比应接近于；只有对于抛对椭圆型问题，不同方向的宽度之比应接近于；只有对于抛 物型问题或某个方向的变化率明显大于另一个方向的椭圆型问物型问题或某个方向的变化率明显大于另一个方向的椭圆型问 题，才适宜采用狭长的控制容积，此时变化剧烈的方向应取较题，才适宜采用狭长的控制容积，此时变化剧烈的方向应取较 小的宽度。小的宽度。 2）在同一坐标方向上相邻两子区域（或控制容积）宽度的变化应）在同一坐标方向上相邻两子区域（或控制容积）宽度的变化应 保持在一个合适的范围之内。（保

14、持在一个合适的范围之内。（1.52.0） 计算区域与控制方程离散化 2在进行实际问题的数值计算时，网格的生成要经过反复的在进行实际问题的数值计算时，网格的生成要经过反复的 调试与比较，才能获得适合于所计算的具体问题的网络。调试与比较，才能获得适合于所计算的具体问题的网络。 这里包括两方面的内容。这里包括两方面的内容。 1）作为获得数值解的网格应当足够的细密，以致于再进一步）作为获得数值解的网格应当足够的细密，以致于再进一步 加密网格已经对数值计算结果基本上没有影响了。这种数加密网格已经对数值计算结果基本上没有影响了。这种数 值解称为网格独立解值解称为网格独立解(grid-independent

15、 solution) 2）有时需要根据初步计算的结果再反过来修改网格，使网格）有时需要根据初步计算的结果再反过来修改网格，使网格 疏密的分布与所计算物理量场的局部变化率更好地相适应。疏密的分布与所计算物理量场的局部变化率更好地相适应。 这种根据计算结果而重新调整疏密，自适应网格这种根据计算结果而重新调整疏密，自适应网格(adaptive) 及多重网格及多重网格(AMG). 计算区域与控制方程离散化 5.8 建立离散方程的建立离散方程的Taylor展开法展开法 一维模型方程一维模型方程 非守恒型非守恒型 ： 守恒型守恒型 ： 非稳项非稳项 对流项对流项 扩散项扩散项 源项源项 广义变量（温度广义

16、变量（温度,速度，浓度等）速度，浓度等） 相应于的广义扩散系数相应于的广义扩散系数 广义源项广义源项（包括不能归入非稳态项，对流项及扩散项中的一切其他项）。 uS txxx ()()u S txxx S 计算区域与控制方程离散化 5.8.1 守恒型控制方程守恒型控制方程 对流项写成散度形式：对流项写成散度形式： 从微元体角度，以上二式是等价的，但数值计从微元体角度，以上二式是等价的，但数值计 算是对有限大小计算单元进行的，则不同；算是对有限大小计算单元进行的，则不同； 守恒型优点：计算可压缩流动时，激波计算结守恒型优点：计算可压缩流动时，激波计算结 果光滑稳定；不论节点布置的疏密程度如何，果光

17、滑稳定；不论节点布置的疏密程度如何， 都能保证其对任意大小容积守恒的特性。都能保证其对任意大小容积守恒的特性。 计算区域与控制方程离散化 5.8.2 Taylor展开法导出的差分方程展开法导出的差分方程 1、在有限差分法中，通过把控制方程中的各阶导数用相应、在有限差分法中，通过把控制方程中的各阶导数用相应 的差分表达式来代替而形成的离散方程（常叫差分方程）的差分表达式来代替而形成的离散方程（常叫差分方程） 2、又因为各阶导数的差分表达式可由、又因为各阶导数的差分表达式可由Taylor级数展开而得级数展开而得 到，故得名到，故得名Taylor展开法。展开法。 先看一阶、二阶导数差分表达式的导出。

18、 计算区域与控制方程离散化 试将函数试将函数 ( x,t)在均匀网格中某点在均匀网格中某点(i+1,n)对对 点点(i,n)作作Taylor展开，有：展开，有： 22 , 2 1,. 2! i ni n x ini nx xx 由此得由此得 2 , 2 , 1, . 2 1, i n i n ini nx xxx ini n x x 计算区域与控制方程离散化 上式右端中上式右端中o(x)代替了二阶及更高阶导数项之和，称为截断代替了二阶及更高阶导数项之和，称为截断 误差，截差表示的是如何随误差，截差表示的是如何随x趋近于零而变小的。如果另一趋近于零而变小的。如果另一 个表达式的截差为个表达式的截

19、差为 ，则可以预期，当，则可以预期，当o(x)足够小时，足够小时， 后一表达式比前一表达式更准确后一表达式比前一表达式更准确. ( i,t) 代表了函数代表了函数 ( x,t) 在节点在节点(I,n)处的精确值。在进行有限差分数值计算时，这一处的精确值。在进行有限差分数值计算时，这一 精确值是未知的，只能用其近似值精确值是未知的，只能用其近似值 来代替。来代替。 , i n x 1 , nn ii i n xx x ， 称为称为的向前差分。的向前差分。 n i 2 x 计算区域与控制方程离散化 类似地，向后差分为：类似地，向后差分为： 1 , nn ii i n xx ， x 11 , 2 n

20、n ii i n xx 2 x 如果把函数如果把函数（x,t)在节点在节点(i+1,n),(i-1,n)上对点上对点(I,n)作作Taylor 展开，然后相减，可得具有二阶精度的中心差分表示式：展开，然后相减，可得具有二阶精度的中心差分表示式： ， 计算区域与控制方程离散化 5.8.3 非稳态项问题非稳态项问题 对于非稳态项问题，则规定按哪一时刻来计算，离散方程可对于非稳态项问题，则规定按哪一时刻来计算，离散方程可 分为：分为： 1、显式：按每一层的初始时刻之值来计算，所形成的离散方程、显式：按每一层的初始时刻之值来计算，所形成的离散方程 2、全隐格式：按每一层的终了时刻之值计算；、全隐格式：

21、按每一层的终了时刻之值计算； 3、CrankNicolson格式：按每一层的中间时刻之值计算；格式：按每一层的中间时刻之值计算； 计算区域与控制方程离散化 将一维模型方程的精确解在节点将一维模型方程的精确解在节点 (i-1,n),(i+1,n),(i,n+1) 上对节点上对节点(i,n)作作Taylor展开，并取展开，并取 时间的向前差分、空间的中心差分。可得：时间的向前差分、空间的中心差分。可得： 2 ( ,1)( , )(1, )(1, ) 2 (1, )2 ( , )(1, ) ( , ) i ni ninin u tx ini nin x S i nHOT 式中符号式中符号HOT代表了

22、所有未写出的更高阶导数项之和。代表了所有未写出的更高阶导数项之和。只有 对同一点展开其截差才能相加，得出整个差分方程的截断误差。 计算区域与控制方程离散化 为了得到未知函数为了得到未知函数 在各节点上近似值之间在各节点上近似值之间 的代数关系，的代数关系，HOT部分必须略去。于是得：部分必须略去。于是得： 1 1111 2 2 2 nnnnnnn n iiiiiii i uS txx Taylor展开法导出的一维模型方程的一种显式离散格式展开法导出的一维模型方程的一种显式离散格式 计算区域与控制方程离散化 5.9 控制容积积分法控制容积积分法 主要步骤如下：主要步骤如下： 1、将守恒型的控制方

23、程在任一控制容积及时间间隔、将守恒型的控制方程在任一控制容积及时间间隔 内对空间与时间作积分。内对空间与时间作积分。 2、选定未知函数及其导数对时间及空间的局部分布、选定未知函数及其导数对时间及空间的局部分布 曲线，即型线，也就是如何从相邻节点的函数值来确曲线，即型线，也就是如何从相邻节点的函数值来确 定控制容积界面上被求函数值的插值方式。定控制容积界面上被求函数值的插值方式。 3、对各个项按选定的型线作出积分，并整理成关于、对各个项按选定的型线作出积分，并整理成关于 节点上未知值的代数方程节点上未知值的代数方程。 计算区域与控制方程离散化 5.9.1 常用的型线常用的型线 函数函数随空间及时

24、间随空间及时间 而变化的几种情形。而变化的几种情形。 在实施控制容积积分法时在实施控制容积积分法时 常用的型线有两种，即分常用的型线有两种，即分 段线性分布及阶梯式分布。段线性分布及阶梯式分布。 计算区域与控制方程离散化 5.9.2 控制容积积分法离散方程控制容积积分法离散方程 控制容积控制容积P在时间间隔内作积分，把可积的部分积在时间间隔内作积分，把可积的部分积 出后得：出后得： ()()() ()() ett ttt ew wt tte ew tw dxuudt dtSdxdt xx 获得节点上未知值间的代数方程，需要对各项中变量获得节点上未知值间的代数方程，需要对各项中变量的型线的型线

25、作出抉择。作出抉择。正是在这一步中，引入了对被求量的近似处理方法。 ()()u S txxx 计算区域与控制方程离散化 () () e ttt w ttt pp dx x 1非稳态项非稳态项 需选定需选定随随x变化的型线，取阶变化的型线，取阶 梯式。梯式。 即同一控制容积中各处的即同一控制容积中各处的值相值相 同，等于节点上同，等于节点上 p 值值 于是有：于是有： 计算区域与控制方程离散化 2对流项对流项: 随随 t 变化采用阶梯显式变化采用阶梯显式 则有：则有： ()()()() tt tt ewew t uudtuut 计算区域与控制方程离散化 3 、扩散项：、扩散项： 一阶导数随时间一

26、阶导数随时间t 变化取阶梯显式变化取阶梯显式 则得：则得： ()()()() tt tt ewew t dtt xxxx 计算区域与控制方程离散化 及扩散项及扩散项 可以表示成为：可以表示成为： () x () () () () EP e e PW w w xx xx ()() () 2 pE e uu u ()() () 2 WP w uu u 取取随随x呈分段线性变化，对流项（呈分段线性变化，对流项（u )表示成为：表示成为： 计算区域与控制方程离散化 4、 源项：源项： s对对t及及x均呈阶梯式变化，则有：均呈阶梯式变化，则有： 其中其中St为源项在为源项在t时刻控制容积中的平均值。时刻

27、控制容积中的平均值。这 里为简便起见，取源项的控制容积的平均值来完成积分。对于源项是被求解变量的函数的情况，我们以后还要 介绍更合理的处理方法。 tte t tw SdxdtSx t 计算区域与控制方程离散化 整理之，得整理之，得 ： 2 ()() 2 2 ttttt EWPP ttt t EPW uu tx S x ()() ew xxx 采用控制容积积分法得出的一维模型方程的离散形式采用控制容积积分法得出的一维模型方程的离散形式 采用均分网格的特性：采用均分网格的特性： 计算区域与控制方程离散化 5.9.3 关于型线假设的一些讨论关于型线假设的一些讨论 在控制容积积分法中，控制容积界面上被在控制容积积分法中，控制容积界面上被 求函数插值方式，即型线的选取是离散过求函数插值方式，即型线的选取是离散过 程中极为重要的。程中极为重要的。 1、在有限容积法中选取型线仅是为了导出离散方程，一旦在有限容积法中选取型线仅是为了导出离散方程，一旦 离散方程建立起来，型线就完成了使命而不再具有任何意离散方程建立起来，型线就完成了使命而不再具有任何意 义。义。