华师大版九年级数学上册第22章一元二次方程典型例题解析(教师用))

1、【培优提高训练】华师大版九年级数学上册 第22 章一元二次方程典型例题解析一、解答题1.巳知关于x的方程二。一二2) + 2二 +匚(1+二2) = 0有两个相等的实数根，试证明以a、b、c为三边的 三角形是直角三角形。【答案】证明：a (1-x2) +2bx+c (1+x2) =0去括号，整理为一般形式为：(c-a) x2+2bx+a+c=0,关于x的一元二次方程a (1-x2) +2bx+c (1+x2) =0有两个相等的实数根。a=0,即4 = (2b) 2-4 (c-a) (a+c) =4 (b2+c2-a2) =0,.*.b2+c2-a2=o,即 b2+c2=a2o.以a、b、c为三

2、边的三角形是直角三角形。【考点】根的判别式【解析】【解答】先把方程变为一般式：(c-a) x2+2bx+a+c=o,由方程有两个相等的实数根，得到=(), 即4= (2b) m (c-a) (a+c) =4 (b2+c2-a2) =0, bw-ao, ip b+cw ,根据勾股定理的逆定 理可以证明以a、b、c为三边的三角形是直角三角形。【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和勾股定理的逆定理等知识。当 0,方程有两个不相 等的实数根；当=(),方程有两个相等的实数根；当0,解得.又m=0.所以m的取值范围是：n】且1】熄).【考点】一元二次方程的解，根的判别式【解析】【分析】(1)把x=

3、1代入巳知方程，即利用方程的解进行解题；(2)根据根的判别式得到： 0,由此列出关于m的不等式，通过解不等式确定m的取值范围.5.为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽 于每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消铃者 利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过迸价的200%,请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子 定价，使超市每天的销售利润为80。元.【答案】解：箕每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元.根据题意，得(x-3)(500-10x三，)=800,解得 x=7, x2=5.售

4、价不能超过进价的200%,ax0, c2 w0,vc是正数， .c3-430, c343 , c4,.正数c的最小值是4.(3)存在，当k= - 2时，二亡2 一 ,一弓=2.由 x? - y+k=o 变形得：y=x2+k,由 x-y=l 变形得：y=x- 1,把 y=x- 1 代入 y=x?+k,并整理得:x2-x+k+l=o,由题意思可知，x1 , x2是方程x2-x+k+l=0的两个不相等的实数根，故有：(一1)2_4(二 + 1) 0二2七口口2=二 + 1 ,二/2 =仁,-1)(口2-1) ; 口，(口+ 小)22二1口口2一一一一=(一1)(口z j = 2一2-1/一2即：二一

5、9 tn2+ 20 = o解得：k=-2.【考点】根的判别式，根与系数的关系【解析】【分析】(1)根据a, b是x2+15x+5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出二+二的值.(2)根据 a+b+c=0, abc=16,得出 a+b=-c, ab=t , a、b 是方程 x2+cx+!=0 的解，再根据 c?-4当0, 即可求出c的最小值.(3)运用根与系数的关系求出xw=l, x,.x2=k+l,再解y田一良一手2,即可求出k的值.8 .如团所示，某工人师便要在一个面枳为15m2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的束面, 且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1m.求裁剪后剩

6、下的阴影部分的面【卷案】解：设大正方形的边长xm,则小正方形的边长为(x- 1) m, 根据题意得：x (2x- 1) =15, 解得：xl=3, x2=一；(不合题意含去)，小正方形的边长为(x-1) =3-1=2,裁剪后剩下的阴影部分的面枳=15-22-32=2 (m2),谷：裁剪后剩下的阴影部分的面积2m2【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】设大正方形的边长为x米，表示出小正方形的边长，根据总面积为15平方米列出方程 求解即可.9 .小明家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了薨化生活环境，小明的爸爸准备靠培修建一 个矩形花圃，他买回了 32米长的不锈钢管准备作为花园的围

7、栏(如图所示)，花园的一边ad (垂直围墙 的边)究竟应为多少米才能使花圉的面枳最大？【答案】解：劭ab的长为x米，矩形的面积为y平方米，y=x-1(x-16)2+128,v0x40,，x2=10 舍去.等：每件重装应降价20元.【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】设每件童装应降价x元，由题意得：(40-x) (20+2x)=1200,解一元二次方程，再由 尽快减少库存得到答案.1l如图，四边形 abcd 中，ad/7bc, za=90 ad=lcm, ab=3cm, bc=5cm,动点 p 从点 b 出发以 icnvs的速度沿bc的方向运动，动点q从点c出发以2cnvs的速度沿cd方向

8、运动，p、q两点同时出发， 当q到达点d时停止运动，点p也隈之停止，设运动的时间为ts (t0)(1)求线段cd的长；(2) t为何值时，线段pq将四动形abcd的而枳分为1: 2两部分？【答案】(1)解：如图1,作dej_bc于e,则四边形adeb是矩形.-.be=ad=1, de=ab=3,aec=bc-be=4在 rs dec 中，de+ecjdc2,dc= j二二、二二2 =5 湮米；(2)解：.点p的速度为1星米/秒，点q的速度为2厘米/秒，运动时间为t秒, ，bp=t 厘米，pc= (5-t)厘米，cq=2t 厘米,qd= (5-2。厘米，且 ovts2.5,作qhlbc于点h,，

9、deqh,azdec=zqhc,/ zc=zc,aadecaqhc,1 =_= 2 一 一 一 一 ， 八-，一 ，-1 inj wm . lj，qh= 1 t,，sapqc= i pc-qh= i (5 t) g t= ： t2+3t, 乙，js 园电形 abcd= - (ad+bc) *ab= - (1+5) x3=9,分两种情况讨论：当sapqc： s国为形abcd=1 ： 3时,一 1t2+3t= j x9,即 t2-5t+5=0,解得匕f ,匕=竿(舍去)； 一spqc： s 国城影abcd=2: 3 时，一 i t2+3t= ： x9,即 t2-5t+10=0,va0,13解得，,

10、13即m的取值范围是ne 1【考点】解一元二次方程-因式分解法，根的判别式【解析】【分析】(1)先移项，然后根据提公因式法可以解答此方程；(2)由题意可知，二沙,从而可 以求得m的取值范围.13 .巳知关于x的方程?-(匚+ 1)二一 6 = 0 .(1)求证：无论k取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的一根为2,试求出k的值和另一根.【答案】(1)证明：v b2-4ac=- (k + 1 ) 2-4x 1 x(- 6) = (k + 1 ) 2+ 24 24 ,无论 k 的取何实数，该 方程总有两个不相等的实数根(2)解：将 =2代入方程二2 一 m口一 6=0中，22-2

11、(d+j)-6= 0 ,即二 + 2=0 ,修得：二=一2 .原方程为：口? 十二一 6 = 0 ,即(二一 2)(二+ 3) = 0 ,修得：二1=2 , 口2 = 3 .故k的值为一2 ,方程的另一根为一3【考点】一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式及应用【解析】【分析】(1)首先算出其根的判别式的值，由偶次方的非负性知判别式的值一定大于0,故无 论k的取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；(2)根据方程的根的概念，将x=2代入原方程，即可求出k的值，将k的值，代入原方程，利用因式分 修法即可求出原方程的根，从而得出答案。14 .曲靖市某楼盘准备以每平方米4

12、000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房 者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价 开盘销售.(1)求平均每次下调的百分率.(2)某人准备以开竞价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：打9.9折销售；不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月l4元，请问哪种方案更优惠？ 【答案】 解：设平均每次下调的百分率是x,依题意得，4000 (1-x) 2=3240解之得：x=0.1=10%或x=l9 (不合题意，舍去)所以，平均每次下调的百分率是10%(2)解：方案优惠=100x3240

13、x (1-99%) =3240 元 方案优惠=100x1.4x12x2=3360 元枚选择方案更优惠【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】(1)设出平均每次下调的百分率为x,利用预订每平方米销曾价格x (1-每次下调的百 分率)2=开竞每平方米销售价格列方程解答即可.(2)分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案 更优惠.15.我市票社会团体组织人员参观皇窑瓷展，主办方对团体购票实行优惠：在原定票价的基础上，每张降价 40元，则按原定票价需花费6000元购买门票，现在只花了 4000元.(1)求每张门票原定的票价；(2)在展览期间，平均每天可售出个人票2019张，现主办方决定对个人购票也

14、采取优惠措施，发现原定 票价每降低2元，平均每天可多售出个人票40张，若要使平均每天的个人票收入达到241500元，且能有 效控制游览人数，则票价应降低多少元？6000 4000【答案】(1)解：设每张门票的原定的票价是x元， 二- x x-40解得，x=120经检险x=120是原分式方程的解,第15页/共14页即每张门票的原定的票价是120元；(2)解：要使平均每天的个人票收入达到241500元，且能有效控制游览人数，则票价应降低x元，(120-x)(2019+ -x40) =241500,解得，xi=5, x2=15,能有效控制游览人数，x=5时，购买的人数较少，可以较好的控制，即要使平均

15、每天的个人票收入达到241500元，且能有效控制游览人数，则票价应降低5元.【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】(1)根据题意，可以设每张门票的原定的票价是x元，然后根据按原定票价需花费6000 元购买门票，现在只花了 4000元即可列出方程，本题得以解决；(2)根据题意，可以列出相应的方程， 注意要使平均每天的个人票收入达到241500元，且能有效控制游览人数，则说明在获得这些利润时，游 客越少越容易控制.16.某商场经营a种品牌的玩具，购进时间的单价是30元，但据市场调查，在一段时间内，销售单价是40 元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具.(1)不妨设该种

16、品牌玩具的销售单价为x元(x40),请用等x的代数式表示该玩具的销售量；(2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于450件的销售任务，求商场销 售该品牌玩具获得的最大利涧是多少？(3)该商场计划将(2)中所得的利润的一部分资金采购一批b种玩具并转手出售，根据市场调查并准备 两种方案，方案：如果月初出售，可获利15%,并可用本和利再投奏c种玩具，到月末又可获利10%; 方案：如果只到月末出售可亶接获利30%,但要另支付他库保管费350元，请问商场如何使用这绝褥金， 采用哪种方案获利较多？【答案】(1)解：根据题意，得：销售单价为x元时，销售量为600-10 (x-40)

17、 =1000-10x(2)解：由题意可得， w= (x-30) 600- (x-40) xlo化简，得 w= - 1 ox?+ 1300x- 30000即 w与x 的函数关系式是：w= - 10x2+1300x - 30000= - 10 (x-65) 2+12250,x441000-10x 45044x丫2时，即l.265al3a 350,解得avlooo,此时获利多；当为丫2 时,bp 1.265a 1.3a-350,1000a 11250,此时获利多【考点】一元二次方程的应用，二次函数的应用【解析】【分析】(1)根据销售量由原销量-因价格上涨而减少的销量可得；(2)根据利润=销售量x每

18、件的利润，即可解决问题，根据题意确定自变的取值范围，再根据二次函数的性质，即可解决问题；(3) 设取用资金为a元，先表示出两种方案的获取利润表达式，再分类讨论可得.17 .某租赁公司拥有汽车100辆.据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出.每辆车的月租金每 增加100元，米租出的车将增加1辆.租出的车每辆每月的维护费为500元，米租出的车每辆每月只需维 护费100%.(1)当每辆车的月租金为4600元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益(租金收入扣除维护 费)是多少万元？(2)规，定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益(租金收 入扣除

19、维护费)可达到40.4万元？【答案】(1)解：因为月租金4600元，未租出6辆车，租出94辆车； 月收益：94x (4600-500)- 6x100=384800 (元),即 38.48 万元(2)解：设上涨 x 个 100 元，由题意得(4000+100x 500) (100-x) - 100x=404000整理得：x p、q两点从出发开始到几秒？四边形pbcq的面枳为33cm) p、q两点从出发开始到几秒时？点p和点q的距离是10cm.【卷案】(1)解：设p、q两点从出发开始到x秒时四边形pbcq的面积为33cm2 , 3x) cm, qc=2xcm,根据梯形的面积公式得1 (16-3x+

20、2x) x6=33,.解之得x=5(2)解：设p, q两点从出发经过t秒时，点p, q间的距离是10cm, 作qe_lab, 则 qe=ad=6, pq=10, - 64x+540=0解得:xi=54, x2=10,因为规定每辆车月租金不能超过7200元，所以取 x=10 , 4000+10x100=5000.谷：月租金定为5000元【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】(1)由月租金比全部租出多4600 - 4000=600元，得出来租出6辆车，租出94辆车， 进一步算得租赁公司的月收益即可；(2)设上涨x个100元，根据租赁公司的月收益可达到40.4万元列 出方程解答即可.18 .如图

21、，a、b、c、d为矩形的四个顶点，ab=16cm, ad=6cm,动点p、q分别从点a、c同时出发，则 pb= (16-垂足为e,点p以3cm/s的速度向点b移动，一直到达b为止，点q以2cm/s的速度向d移动.vpa=3t, cq=be=2t, .*.pe=ab-ap-be=ll6-5tl, 由勾股定理,得(16-5t) 2+62=102 , 解得ti=4.8, t2=l.6.谷：(1) p、q两点从出发开始到5秒时四边形pbcq的面枳为33cm2; (2)从出发到1.6秒或4.8秒时, 点p和点q的距离是10cm.【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】(1)设p、q两点从出发开始到x秒

22、时四边形pbcq的面枳为33cm2 ,则pb=(16-3x) cm, qc=2xcm,根据梯形的面枳公式可列方程：；(16-3x+2x) x6=33,解方程可得解；(2) 一作qe_lab,垂足为e,设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解.19.如图 s2 2,在 raabc 中，zc=90, ac=20 cm , bc= 15 0 .现有动点 p 从点 a 出发，沿 ac 向点c方向运动，动点q从点c出发，沿线段cb向点b方向运动.如果点p的速度是4a/s,点q的 速度是2c/s,它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.诙运动的时间为ts,求：(1)用含t的代

23、数式表示hacpq的面积s;(2)当t = 3秒时，这时，p、q两点之间的距离是多少？(3)当t为多少秒时，s=(saabc?【答案】(1)解：s = 20t-4t2(2)解：当 t = 3 时，cp=20-4x3 = 8(cm), cq=2x3=6(cm), apq=10(cm)(3)解：列方程 20t4f=xxl5x20,解得 t=2 或 t = 3.t为2秒或3秒时s = saabc.【考点】一元二次方程的应用，根据实际问题列二次函数关系式【解析h分析】根据题意可得，cq=2t, cp=204,所以rucpq的面枳s=；cqcp=：x2tx (2(mt) =20t-4t2;(2)当 t

24、= 3 秒时，cq=2t=2x3=6, cp=20-4t=204x3=8,所以根据勾股定理可得，pq=10;(3)根据题意列方程得，20t412=(x15x20,解方程得，t = 2或t=3,即t为2秒或3秒时s=(saabc.20.巳知：如团所示，abc中，zb=90, ab=5cm, bc=7cm,点p从点a开始沿ab边向点b以lcm/s 的速度移动，点q从点b开始沿bc边向点c以2cnvs的速度移动.r p- /(1)如果p, q分别从a, b同时出发，那么几秒后，apbq的面枳等于4cm笠(2)如果p, q分别从a, b同时出发，那么几秒后，apbq中pq的长度等于5cm?(3)在(1

25、)中，当p, q出发几秒时，apbq有最大面枳？【答案】(1)解：设t秒后，apbq的面枳等于4cm2 ,则列方程为：(5-t) x2tx g =4,一解得 tl=l, t2=4 (舍)，等：1秒后，apbq的面枳等于4cnr(2)解：设x秒后， pbq中pq的长度等于5cm,列方程为:(5-x) 2+ (2x) 2=52 ,解得 xl=。(合)，x2=2,每：2秒后， pbq中pq的长度等于5cm。(3)解：设面积为sen* ,时间为t,则 s= (5-t) x2tx ； =-t2+5t,一当t=2.5时，面积最大.【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】(1)设t秒后， pbq的面积等于

26、4cm2 ,根据题意pa=t , bp=5-t , bq=2t ,根 据三角形的面积公式及三角形的面积等于4,列出方程，求解并检脸即可；(2)诙x秒后，apbq中pq的长度等于5cm,根据题意pa=x , bp=5-tx, bq=2x ,根据勾股定理得出 方程，求解并检险即可；(3)设面积为sen?,时间为t,根据三角形的面积公式得出s与t的函数解析式，从而得出次函数是 s与t的二次函数，然后利用顶点坐标公式得出当t=2.5时，而枳最大.21.为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了 一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加.某农 户生产经销一种农产品，巳知这种产品的成本价为每千克20元

27、，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千 克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y=-2x+80.诙这种产品每天的销售利润为w元.(1)求w与x之间的函数关系式；要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我 在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别亶视教师的语言，我对幼儿说话，注意声 音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有灭引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就陋时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用 心记。平时我还通过各种趣味活动，培赛幼儿边听边记，边听边想，边听

28、边说的能力，如听词对词，听词 句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句， 接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，此训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为 说打下了基础。(2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销作利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润， 销僧价应定为每千克多少元？【答案】(i)解：y= (x-20)w=(x-20) ( -2x+80)= -2x2+120x- 1600,*.y与x的函数关系式为：y=-2x2+120x- 1600(2)解：y=-2x2+120x-1600=-2 (x-30) 2+200,，当x=30时，y有最大值200,当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元；(3)解：当y=150时，可得方程：-2 (x-30) 2+200=150,解这个方程，得x=25, x2=35,根据题意，x2=35不合题意，应舍去，当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元.【考点】解一元二次方程-因式分解法，一元二次方程的应用，二次函数的最值，根据实际问题列二次函 数关系式死记琅背是一种传统的教学方式，在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展，死记硬背被作为一种僵 化的、