生物统计学两向分组资料的方差分析

1、 重重复复 处处理理 IIInTABXAB A1B1 A1B2 AaBb 若有两因素试验：若有两因素试验：A因素有因素有a水平，水平，B因素有因素有b水平，且试验水平，且试验 重复重复n次，则有处理组合次，则有处理组合ab个，有观察值个，有观察值abn个。试验数据个。试验数据 整理如下：整理如下： 如何进行方差分析？如何进行方差分析？ 第三节 两向分组资料的方差分析 （用于单因素试验和两因素试验） 一、模型的类型及交互作用的概念 （一）、模型的类型 1、固定模型 2、随机模型 3、混合模型 （二）交互作用 由于因素水平的改变而造成的因素效应值的改变，称因素 的主效应。 例：有例：有1个两因素试

2、验，个两因素试验，A因素有因素有2水平，水平，B因素有因素有2水平，水平， 水平组合为水平组合为A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，若，若4个处理组合个处理组合 的表现值如下表，则有的表现值如下表，则有A、B 两因素的主效应为：两因素的主效应为： A的主效应的主效应：即当：即当A因素从第因素从第 一个水平变化到第二个水平时，一个水平变化到第二个水平时， A2水平的平均效应值水平的平均效应值 - A1水平水平 的平均效应值。的平均效应值。 22 21112212 BABABABA A 244438 18 34286 22 B因素的主效应： B的主效应：的主效应： 即当即当B因素从第一个水平变

3、化到第二个水平时，因素从第一个水平变化到第二个水平时， B2水平的平均效应值水平的平均效应值 - B1水平的平均效应值。水平的平均效应值。 22 12112221 BABABABA B 38441824 412120 22 ， 12212211 BABABABA 若A、B间不存在交互作用，则有： 626224384418，即： 有时，会发现某一因素在另一因素的不同水平上， 所产生的效应值不同，例如： A A在在 B B1 1 水平上的主效应： 水平上的主效应： = A= A2 2B B1 1 - A - A1 1B B2 2 = 28 - 18 = 10 = 28 - 18 = 10 A A在

4、在 B B2 2 水平上的效应： 水平上的效应： = A= A2 2B B2 2 - A - A1 1B B2 2 = 22 - 30 = -8 = 22 - 30 = -8 可以看出，可以看出，A的效应在的效应在B的不同水平上不同，这时的不同水平上不同，这时 我们就说我们就说A与与B存在存在交互作用交互作用 交互作用的大小：（交互作用的大小：（A1B1+A2B2）-（A1B2+A2B1） =（18+22）-（28+30）=18 A的主效应：的主效应： 28221830 25241 22 在有交互作用的试验中，分析因素的交互作用比分析因素的主在有交互作用的试验中，分析因素的交互作用比分析因素的

5、主 效应更重要。效应更重要。 交互作用简称互作。交互作用简称互作。 22 21112212 BABABABA A 二、固定模型的方差分析二、固定模型的方差分析 （一）有重复试验时（一）有重复试验时 （A、B 间可能存在互作，事先不能确定）间可能存在互作，事先不能确定） 1、数据整理（列两向表），并进行平方和与自由度的分解、数据整理（列两向表），并进行平方和与自由度的分解 a、处理（组合）与重复两向分组表、处理（组合）与重复两向分组表 重复重复 处理处理 I II n TAB XAB A1B1 A1B2 AaBb abnxCabnxxSS T /,/ 22 2 AB x , 2 C n T SS

6、 AB t tTe SSSSSS b、列列A、B两向分组表两向分组表 A x B x , . 2 C bn T SS A A , 1 abndfT A B A1 A2 AaTB. B1 B2 Bb TA1B1 TAaB1 TA1B2 TA1Bb TAaBb TB1 TB2 TBb TA.TA1 TA2 TAa 1B x 2B x Bb x 1A x 2A x Aa x , 2 . C an T SS B B ABBAt SSSSSSSS ABtAB SSSSSSSS , 1 adf A 1 bdfB ),1)(1(badf AB ) 1( nabdf e 2、列方差分析表，进行、列方差分析表，

7、进行F检验。检验。 当处理效应显著时，做多重比较。当处理效应显著时，做多重比较。 两因素固定模型数据的方差分析表两因素固定模型数据的方差分析表 变异变异 来源来源 平方和平方和 SS 自由度自由度 DF 均方均方 MS F值值 均方均方 期望期望 A因素因素SSAdfAS2AS2A/S2e2 2+bn+bn2 2 B因素因素SSBdfBS2BS2B/S2e2 2+an+an2 2 AB互作互作SSABdfABS2ABS2AB/S2e2 2+n+n2 2 误差误差SSedfeS2e2 2 总变异总变异 SSTdfT H01：2 =0 H02： 2 =0 H03： 2 =0 方差分析的随机模型的方

8、差分析的随机模型的 F 测验公式测验公式 变异变异 来源来源 平方和平方和 SS 自由度自由度 DF 均方均方 MS F值值 均方均方 期望期望 A因素因素SSAdfAS2AS2A/ S2AB2 2+n+n2 2 +bn +bn2 2 B因素因素SSBdfBS2BS2B/ S2AB2 2+n+n2 2 +an +an 2 2 AB互作互作SSABdfABS2ABS2AB/S2e2 2+n +n 2 2 误差误差SSedfeS2e2 2 总变异总变异SSTdfT H01：2 =0 H02： 2 =0 H03： 2 =0 方差分析混合模型的方差分析混合模型的 F 测验公式（测验公式（A固定，固定，

9、B随机）随机） 变异变异 来源来源 平方和平方和 SS 自由度自由度 DF 均方均方 MS F值值 均方均方 期望期望 A因素因素SSAdfAS2AS2A/ S2AB2 2+n+n2 2 +bn +bn2 2 B因素因素SSBdfBS2BS2B/ S2AB2 2+an+an2 2 AB互作互作SSABdfABS2ABS2AB/S2e2 2+n+n2 2 误差误差SSedfeS2e2 2 总变异总变异 SST dfT H01：i =0 或2=0 H02： 2 = 0 H03： 2=0 3、例题、例题 为了从三种不同的原料（为了从三种不同的原料（A）和三种不同的发酵温）和三种不同的发酵温 度（度（

10、B）中，选出最适宜的条件，设计了一个两因）中，选出最适宜的条件，设计了一个两因 素试验，并得到了如表的结果。素试验，并得到了如表的结果。 （每处理（每处理4次重复，次重复，A、B因素为固定因素）因素为固定因素） a、试验数据的记录及整理、试验数据的记录及整理 （列两个两向分组表）（列两个两向分组表） 按处理（组合）与重复列表：按处理（组合）与重复列表： 重复重复 处理处理 I II III IV TAB A1B1 41 49 23 25 138 34.5 A1B2 11 13 25 24 73 18.25 A1B3 6 22 26 18 72 18 A2B1 47 59 50 40 196 4

11、9 A2B2 43 38 33 36 150 37.5 A2B3 8 22 18 14 62 15.5 A3B1 43 35 53 50 181 45.25 A3B2 55 38 47 44 184 46.0 A3B3 30 33 26 19 108 27 AB x 71703763644806 2 2 abn x xSST b：平方和的分解：平方和的分解 37636 433 11642 2 abn x C 5 .55134)10873138( 222 2 CC n T SS AB t 5 .16565 .55137170 tTe SSSSSS 列列A、B因素两向分组表因素两向分组表 A x

12、B x 2 .1554 43 470282 2 CC bn T SS A A b：平方和的分解：平方和的分解 BAtAB SSSSSSSS 5 .3150 43 489438 2 CC an T SS B B b：自由度的分解：自由度的分解 , 2131 adf A , 422) 1)(1(badf AB 2131 bdfB 27333) 1(nabdfe 8 .8085 .31502 .15545 .5513 3514331 abndfT C：列方差分析表，并进行：列方差分析表，并进行 F 检验检验 变异变异 来源来源 平方和平方和 SS 自由度自由度 DF 均方均方 MS F 值值 A 因

13、素因素 1554.2 2 777.1 12.67* B 因素因素 3150.5 2 1575.3 25.68* AB 互作互作 808 4 202.2 3.30* 误差误差 1656.5 27 61.35 总变异总变异 7170 35 02. 4,69. 2 39. 5,16. 3 01. 0,27, 405. 0,27, 4 01. 0,27, 205. 0,27, 2 FF FF A、B两因素互作明显两因素互作明显 d：多重比较（：多重比较（LSR法）法） 在互作明显时，仅比较处理组合间的平均数的差异显著在互作明显时，仅比较处理组合间的平均数的差异显著 性即可性即可 92. 3 4 35.

14、61 2 n s s e x 显著水平显著水平 处理处理 平均数平均数 0.05 0.01 A2B1 49 A3B2 46 A3B1 45.25 A2B2 37.5 A1B1 34.5 A3B3 27 A1B2 18.25 A1B3 18 A2B3 15.5 多重比较的结果（字母标记法）多重比较的结果（字母标记法） a a a a b b b b c c c d d d d A A A A A B B B C C C C 结论：凡含相同字母结论：凡含相同字母 的平均数差异不显著；的平均数差异不显著； 凡含不同字母的平均凡含不同字母的平均 数，差异显著。数，差异显著。 最好的处理组合：最好的处理

15、组合： A2B1或或A3B1。 如果互作效应不显著，则要对试验因素主效应显著的因素如果互作效应不显著，则要对试验因素主效应显著的因素 的各个水平下的平均数进行多重比较。的各个水平下的平均数进行多重比较。 对对A因素各水平的平均数进行多重比较的均数标准差计算：因素各水平的平均数进行多重比较的均数标准差计算： 对对B因素各水平的平均数进行多重比较的均数标准差计算：因素各水平的平均数进行多重比较的均数标准差计算： bn s s e Ax 2 an s s e Bx 2 A B A1 A2 AaTBXB B1 B2 Bb TB1 TB2 TBb TATA1 TA2 TAa XA （二）无重复试验时（二

16、）无重复试验时 应用前提：应用前提：A、B间无交互作用间无交互作用 1、试验数据的整理、试验数据的整理 A B A1 A2 Aa TB B1 B2 Bb TA A x B x 2、平方和与自由度的分解、平方和与自由度的分解 ,/ 2 2 abxxSST 互作混杂在误差平方和里，互作混杂在误差平方和里， 无法分解无法分解 1 abdfT , 2 C b T SS A A , 2 C a T SS B B BATe SSSSSSSS A B A1 A2 AaTBXB B1 B2 Bb TB1 TB2 TBb TATA1 TA2 TAa XA abxC/ 2 1bdfB 1 adf A ) 1)(1

17、(badfe 变异变异 来源来源 平方和平方和 SS 自由度自由度 DF 均方均方 MS F 值值 A 因素因素 SSA dfA S2A S2A / S2e B 因素因素 SSB dfB S2B S2B /S2e 误差误差 SSe dfe S2e 总变异总变异 SST dft 列方差分析表列方差分析表 , 2 b s s e xA 多重比较：多重比较： , 2 a s s e xB 例：下表记载了四种种植密度（例：下表记载了四种种植密度（A）在四年期间（）在四年期间（B）的小）的小 麦大区产量，现在需要判断不同年份，不同种植密度对产量麦大区产量，现在需要判断不同年份，不同种植密度对产量 是否有

18、显著的影响。是否有显著的影响。 年度年度 密度密度 1986198719881989TAXA 一一5465788138152752688.0 二二6007038618543018754.5 三三5486828158522897724.25 四四5516908318532925731.25 TB224526533320337411592 XB561.25663.25830.0843.5724.5 两向分组资料，无重复。年度与密度一般不会产生互作。两向分组资料，无重复。年度与密度一般不会产生互作。 解：解： （1）平方和与自由度的分解）平方和与自由度的分解 年度年度 密度密度 1986198719

19、881989TAXA 一一5465788138152752688.0 二二6007038618543018754.5 三三5486828158522897724.25 四四5516908318532925731.25 TB224526533320337411592 XB561.25663.25830.0843.5724.5 CxSS a i b j ijT 11 2 ab T C 2 8398404 44 11592 2 C8635668 237264 C b T SS A A 2 5 .9111 C a T SS B B 2 5 .222773 BATe SSSSSSSS 0 .5379 1

20、51441 abdfT , 3141 adf A , 3141bdfB , 933) 1)(1(badfe （2）列方差分析表，并进行）列方差分析表，并进行F检验检验 变异来源变异来源平方和平方和自由度自由度均均 方方F 值值 密度密度A9111.533037.175.08* 年度年度B222773.5374257.83124.25* 误误 差差53799597.67 总变异总变异23726415 992. 6,868. 3 01. 0, 9 , 305. 0, 9 , 3 FF (3)多重比较：多重比较： ,22.12 4 67.597 2 b s s e xA ,22.12 4 67.59

21、7 2 a s s e xB a：对：对A因素各个水平的平均数进行多重比较因素各个水平的平均数进行多重比较 密度密度A平均数平均数 显著性测验显著性测验 0.050.01 二二754.5 四四731.25 三三724.25 一一688.0 k234 SSR0.053.203.343.40 SSR 0.014.604.864.99 LSR 0.0539.1040.8141.55 LSR 0.0156.2159.3960.98 a a a b b A A A B B B xk sdfkSSRLSR, ,22.12 xA s 9 e df b：对：对B因素各个水平的平均数进行多重比较因素各个水平的平

22、均数进行多重比较 年度年度B平均数平均数 显著性测验显著性测验 0.050.01 1989 843.5 1988830.0 1987663.25 1986561.25 a a b c A A B C xk sdfkSSRLSR, ,22.12 xB s 9 e df k234 SSR0.053.203.343.40 SSR 0.014.604.864.99 LSR 0.0539.1040.8141.55 LSR 0.0156.2159.3960.98 密度（密度（A）因素多重比较的梯形表表示法：）因素多重比较的梯形表表示法： 处处 理：理： 二二 四四 三三 一一 平均数：平均数： 754.5

23、 731.25 724.25 688.0 编编 号：号： 1 2 3 4 432 166.530.2523.25 243.257 336.25 k234 LSR 0.0539.1040.8141.55 LSR 0.0156.2159.3960.98 * * 年度（年度（B）因素多重比较的梯形表表示法：）因素多重比较的梯形表表示法： 处处 理：理： 1989 1988 1987 1986 平均数：平均数： 843.5 830.0 663.25 561.25 编编 号：号： 1 2 3 4 432 1282.25180.2513.5 2286.75166.75 3102 k234 LSR 0.05

24、39.1040.8141.55 LSR 0.0156.2159.3960.98 * * * 选取四个小麦品种，施以三种不同的肥料： (NH4）2SO4， NH4NO3 及 Ca(NO3)2，小区产量如下，试对表中的数据做方 差分析。 肥肥 料料 种种 类类 (NH4)2SO4NH4NO3Ca(NO3)2 品品 种种 A21.118.019.4 B24.022.021.7 C14.213.312.3 D31.531.427.5 B因素的主效应： B的主效应：的主效应： 即当即当B因素从第一个水平变化到第二个水平时，因素从第一个水平变化到第二个水平时， B2水平的平均效应值水平的平均效应值 - B

25、1水平的平均效应值。水平的平均效应值。 22 12112221 BABABABA B 38441824 412120 22 有时，会发现某一因素在另一因素的不同水平上， 所产生的效应值不同，例如： A A在在 B B1 1 水平上的主效应： 水平上的主效应： = A= A2 2B B1 1 - A - A1 1B B2 2 = 28 - 18 = 10 = 28 - 18 = 10 A A在在 B B2 2 水平上的效应： 水平上的效应： = A= A2 2B B2 2 - A - A1 1B B2 2 = 22 - 30 = -8 = 22 - 30 = -8 可以看出，可以看出，A的效应在的效应在B的不同水平上不同，这时的不同水平上不同，这时 我们就说我们就说A与与B存在存在交互作用交互作用 二、固定模型的方差分析二、固定模型的方差分析 （一）有重复试验时（一）有重复试验时 （A、B 间可能存在互作，事先不能确定）间可能存在互作，事先不能确定） 1、数据整理（列两向表），并进行平方和与自由度的分解、数据整理（列两向表），并进行平方和