第三十四讲 应用型问题

1、中考总复习中考总复习 1应用型问题一般包括以下几种情况：应用型问题一般包括以下几种情况： (1)方程、不等式的应用方程、不等式的应用以实际生活中的例子为背景，涉及以实际生活中的例子为背景，涉及 方程、不等式等内容的问题，这类题目理解起来相对简单，做方程、不等式等内容的问题，这类题目理解起来相对简单，做 起来也相对容易，但数量间的关系比较隐蔽；起来也相对容易，但数量间的关系比较隐蔽； (2)函数、统计的应用函数、统计的应用以市场经济或日常生活中人们较为关以市场经济或日常生活中人们较为关 注的热点问题为背景，涉及函数、统计等内容的问题，这类题注的热点问题为背景，涉及函数、统计等内容的问题，这类题

2、目往往以文字材料出现，如有关目往往以文字材料出现，如有关“打折打折”与与“利润利润”等问题；等问题； (3)几何知识的应用几何知识的应用以贴近生活实际和经济建设等问题为背以贴近生活实际和经济建设等问题为背 景，运用几何基础知识为解题手段，考查应用能力为目的的一景，运用几何基础知识为解题手段，考查应用能力为目的的一 种题型这类问题要求对实际问题进行分析、计算、比较、抽种题型这类问题要求对实际问题进行分析、计算、比较、抽 象、概括为几何问题来研究，它通常具有探索性象、概括为几何问题来研究，它通常具有探索性 2应用型问题的解题途径：应用型问题的解题途径： 对于上述类型的应用型问题，一般要求考生仔细通

3、读题目，特对于上述类型的应用型问题，一般要求考生仔细通读题目，特 别是文字材料，从中寻找数量关系、建立数学模型，加强文字别是文字材料，从中寻找数量关系、建立数学模型，加强文字 语言语言数学语言数学语言数学模型等环节的训练及思维展现过程数学模型等环节的训练及思维展现过程 3几种常见应用型问题的数量关系：几种常见应用型问题的数量关系： 行程问题：速度时间路程；行程问题：速度时间路程； 工程问题：工作效率工作时间工作量；工程问题：工作效率工作时间工作量； 营销问题：销售额成本营销问题：销售额成本(各种费用各种费用)利润，利润， 进货价进货价(1利润率利润率)销售价；销售价； 利率问题：利息本金利率时

4、间利率问题：利息本金利率时间(1税率税率)； 购物问题：标价购物问题：标价n折售价，单价数量总价；折售价，单价数量总价； 统计问题：频率样本容量频数统计问题：频率样本容量频数 类型一方程、不等式型应用题类型一方程、不等式型应用题 【精选考题 1】 (2013天津)甲、 乙两商场以同样的价格出售同样的商品， 并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过 100 元后， 超出 100 元的部分按 90%收费；在乙商场累计购物超过 50 元后，超 出 50 元的部分按 95%收费设小红在同一商场累计购物 x 元，其中 x 100. (1)根据题意，填写下表(单位：元)： 累计购物 实际花费 1

5、30290 x 在甲商场127 在乙商场126 (2)当 x 取何值时，小红在甲、乙商场的实际花费相同？ (3)当小红在同一商场累计购物超过 100 元时，在哪家商场的实际花费 少？ 解析：(1)在甲商场：100(290100)0.9271， 100(x100)0.90.9x10； 在乙商场：50(29050)0.95278， 50(x50)0.950.95x2.5. (2)根据题意，得 0.9x100.95x2.5，解得 x150. 当 x150 时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同 (3)由 0.9x100.95x2.5，解得 x150. 由 0.9x100.95x2.5，解得 x150.

6、 当小红累计购物大于 150 元时城甲商场实际花费少； 当小红累计购物为 150 元时，在甲、乙两商场的实际花费一样少； 当小红累计购物超过 100 元而不到 150 元时，在乙商场实际花费少 点评：(1)本题主要考查一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用， 难 度中等 (2)此题中属常规题型， 问题较多且有一定难度 涉及方案选择时应与方程 或不等式联系起来 名师点拨 解决实际问题时，首先要仔细审题，理清题意，再根 据各数量间的关系建立方程或不等式等数学模型，从而求 解 【预测演练 11】为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电 收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过 a(kWh)，

7、则一个月 的电费为 20 元；若超过 a(kWh)，则除了交 20 元外，超过部分每千 瓦时要交 a 100元某宿舍 3 月份用电 80 kWh，交电费 35 元；4 月份用 电 45 kWh，交电费 20 元 (1)求 a 的值； (2)若该宿舍 5 月份交电费 45 元， 则该宿舍当月用电量为多少千瓦时？ 解析：(1)根据 3 月份用电 80 kWh，交电费 35 元，得 20 a 100(80a)35，即 a 280a15000， 解得 a30 或 a50. 由 4 月份用电 45 kWh，交电费 20 元，得 a45. a50. (2)设 5 月份用电量为 x(kWh)，由题意，得 4

8、520 50 100(x50)，解得 x 100. 该宿舍 5 份月用电量为 100 kWh. 【预测演练 12】 某商场促销方案规定： 商场内所有商品按标价的 80% 出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的 返还金额 消费金额(元) 300 400 400 500 500 600 600 700 700 900 返还金额(元)3060100130150 注：300400 表示消费金额大于 300 元且小于或等于 400 元，其他类 同 根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，若 购买标价为 400 元的商品，则消费金额为 320 元，获得的优惠额为 4

9、00(180% )30110(元) (1)购买一件标价为 1000 元的商品，顾客获得的优惠额是多少？ (2)如果顾客购买标价不超过 800 元的商品，要使获得的优惠额不少于 226 元，那么该商品的标价至少为多少元？ 解析：(1)标价为 1000 元的商品按 80%的价格出售，消费金额为 800 元， 消费金额 800 元在 700900 之间，返还金额为 150 元， 顾客获得的优惠额为 1000(180% )150350(元) (2)设该商品的标价为 x 元 标价不超过 800 元， 消费金额不超过 640 元 当消费金额在 600700 之间时，13020%x226， 解得 x480(

10、显然不符合题意，舍去) 当消费金额在 500600 之间时， 10020%x226，解得 x630. 6300.8504，在 500600 之间，故符合题意 答：该商品的标价至少为 630 元 类型二函数、统计型应用题类型二函数、统计型应用题 【精选考题 2】(2013江苏南京)小丽驾车从甲地到 乙地， 设她出发第 x(min)时的速度为 y(km/h)， 图 341 中折线表示她在整个驾车过程中 y 与 x 之 间的函数关系 (1)小丽驾车的最高速度是km/h； (2)当20 x30时， 求y与 x 之间的函数关系式， 并求出小丽出发第 22 min 时的速度； (3)如果汽车每行驶 100

11、 km 耗油 10 L，那么小丽驾车从甲地到乙地共耗油多 少升？ 方法指导 如果物体的运动速度随着时间均匀增加(或减少)， 那么其在某个时间段 内的平均速度为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数例 如，由图像可知，第 5 min 到第 10 min 汽车的速度随着时间均匀增加，因 此汽车在该时间段内的平均速度为1260 2 36(km/h)，该时间段行驶的路 程为 36105 60 3(km) 解析：(1)60由图可知，第 10 min 到 20 min 之间的速度最高，为7248 2 60(km/h) (2)设 ykxb(k0)，函数图象过点(20，60)，(30，24)， 20k

12、b60， 30kb24，解 得 k18 5 ， b132. y 与 x 之间的关系式为 y18 5 x132.当 x22 时，y18 5 22 13252.8(km/h) (3)行驶的总路程1 2(120) 5 60 1 2(1260) 105 60 602010 60 1 2(60 24)3020 60 1 2(2448) 5 6048 4535 60 1 2(480) 5 60 1 23107 38233.5(km)汽车每行驶 100 km 耗油 10 L，小丽驾车从甲地到乙 地共耗油 33.5 10 1003.35(L) 点评：(1)本题考查一次函数等的应用，难度中等 (2)掌握“路程速

13、度时间”这一等量关系是基础， 从图形中准确获取信息并利 用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键 名师点拨 1函数类问题常常数形结合，建立准确的函数模型，找 出点的的坐标，利用待定系数法求出函数解析式往往 是解题的关键 2对于统计类问题，读懂统计图表、提取解题的有效信 息是关键 【预测演练 21】新星电子科技公司积极应对市场变化，及时调整投 资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线由于受新产 品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市 一年来， 公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程(公司对经营 的盈亏情况每月最后一天结算 1 次)公司累积获得的利润 y(万元)与

14、 销售时间第 x(月)之间的函数关系式(即前 x 个月的利润总和 y 与 x 之 间的关系)对应的点都在如图 342 所示的图象上 该图象从左至右依 次是线段 OA、曲线 AB 和曲线 BC，其中曲线 AB 为抛物线的一部分， 点 A 为该抛物线的顶点， 曲线 BC为另一抛物线y5x2205x1230 的一部分，且点 A，B，C 的横坐标分别为 4，10，12. (1)求该公司累积获得的利润 y(万元)与时间第 x(月) 之间的函数关系式； (2)直接写出第 x 个月所获得利润 S(万元)与时间 x(月)之间的函数关系式(不需要写出计算过程)； (3)前 12 个月中，第几个月该公司所获得的利

15、润最 多？最多利润是多少万元？ 解析：(1)设直线 OA 为 ykx，直线过点(4，40)，y10 x. 设曲线 AB 为 ya(x4)240，点 B 在 y5x2205x1230 上，设 B(10， m)，则 m320. 又点 B 在 AB 上，320a(104)240，a10.即 y10(x4)24010 x2 80 x120. y 10 x（x1，2，3，4）， 10 x280 x120（x5，6，7，8，9）， 5x2205x1230（x10，11，12）. (2)S 10（x1，2，3，4）， 20 x90（x5，6，7，8，9）， 10 x210（x10，11，12）. (3)由(

16、2)知，当 x1，2，3，4 时，S 的值恒为10，当 x5，6，7，8，9 时， S 20 x90.当 x9 时，S 有最大值 90；当 x10，11，12 时，S10 x210， 当 x10 时，S 有最大值为 110，因此在第 10 个月公司所获利润最大，是 110 万 元 【预测演练 22】 许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料， 节约用气是我们日常 生活中非常现实的问题某款燃气灶旋转位置从 0到 90(如图 343)，燃气 关闭时，燃气灶旋转的位置为 0，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到 最大时，旋转角度为 90.为测试燃气灶旋转到不同位置上的燃气用量，在相 同条件下，选择燃气灶旋钮

17、的 5 个不同位置上分别烧开一壶水(当旋钮角度太 小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度 x的范围是 18x90)，记 录相关数据得到下表： 旋钮角度(度)2050708090 所用燃气量(L)73678397115 (1)请你从所学习过的一次函数、 反比例函数和二次函数中 确定哪种函数能表示所用燃气量y(L)与旋钮角度x(度) 的变化规律，并说明确定是这种函数而不是其他函数 的理由，再求出它的解析式； (2)当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最 少是多少？ (3)某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大， 现 采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气 10 m3，求该

18、家庭以前每月的平均燃气量 解析：(1)若设 ykxb(k0)，由 7320kb， 6750kb，解得 k1 5， b77. y1 5x77. 把 x70 代入，得 y6583，不符合 若设 yk x(k0)，由 73 k 20，解得 k1460，y 1460 x . 把 x50 代入，得 y29.267，不符合 若设 yax2bxc(a0)，则 73400a20bc， 672500a50bc， 834900a70bc， 解得 a 1 50， b8 5， c97. y 1 50 x 28 5x97(18x90) 把 x80 代入，得 y97，把 x90 代入，得 y115，符合题意 二次函数能表

19、示所用燃气量 y(L)与旋钮角度 x(度)的变化规律 (2)由(1)，得 y 1 50 x 28 5x97 1 50(x40) 265， 当 x40 时，y 取得最小值 65. 即当旋钮角度为 40时，烧开一壶水所用燃气量最少，最少为 65 L. (3)设该家庭以前每月平均用气量为 a(m3)，由题意，得 65 115a a10， 解得 a23(m3)， 即该家庭以前每月平均用气量为 23 m3. 类型三几何知识综合型应用题类型三几何知识综合型应用题 【精选考题 3】(2012江苏南京)某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域 组成，如图 344，在O1和扇形 O2CD 中，O1与 O2C，O2D

20、分别 相切于点 A， B， CO2D60，E， F 是直线 O1O2与O1， 扇形 O2CD 的两个交点，EF24 cm，设O1的半径为 x(cm) (1)用含 x 的代数式表示扇形 O2CD 的半径； (2)若O1和扇形 O2CD 两个区域的制作成本分别为 0.45元/cm2和 0.06 元/cm2， 当O1的半径为多少时， 该玩具成本最小？ 点评：(1)本题考查切线的性质、扇形面积的计算、解直角三角形等几何知 识以及求二次函数的最值，难度中等 (2)在利用二次函数求最值时，往往采用配方法 解析：(1)如解图 1，连结 O1A. O1与 O2C，O2D 分别相切于点 A，B， O1AO2C，

21、O2E 平分CO2D， AO2O11 2CO 2D30. 在 RtO1AO2中，sinAO2O1 AO1 O1O2， O1O2 AO1 sinAO2O1 x sin 302x. FO2EFEO1O1O2243x，即扇形 O2CD 的半径为(243x)cm. (2)设该玩具的制作成本为 y 元，则 y0.45x20.06（36060）（243x） 2 360 0.9x27.2x28.8 0.9(x4)214.4. 当 x40，即 x4 cm 时，y 的值最小 名师点拨 几何型应用题常常和解直角三角形，求最值或设计方 案等知识结合在一起，还有一种是与图形的面积或边的长 度有关，解题的关键是将几何问题代数化，与函数、方程 或不等式建立联系 【预测演练 31】将一直径为 17 cm 的圆形纸片(图 345)剪成如图 345所示形状的纸片， 再将纸片沿虚线折叠得到正方体(图 345) 形状的纸盒，则这样的纸盒