两角和与差的公式

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos( a 3 = cos ocos 3+ sin asin 3 (c(犷以cos( 3 = cos_ccos_ 3 sin_ csin_3 (c(a+)sin( a=sin_ccos_ 3 cos_rxsin_ 3(s(a3)sin( a+9 =sin_os b+ cossin_ 3(s( a+3)tan( atan a tan b1 + tan atan 3(t5)tan 好 tan 3tan( a+ q =1 tan atan 3(t(a+b)2.二倍角公式sin 2 a= 2sin_ ”cos_ a；cos 2 a=

2、 cos2 a sin2 a= 2cos2 a 1=1 2sin2 a；tan 2 a=2tan a1 - tan2.3.在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、用等.如t(小3可变形为tan atan 3= tan( a因(1 ?tan can ,tan a+ tan b tan a tan b 、tan otan 3= 1-tan a+ 3 tan a 3【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“或x”)(1)存在实数 a, & 使等式 sin( a+ j3)= sin a+ sin 3成立.( v )(2)在锐角 abc中，sin asin b和cos

3、acos b大小不确定.(x )公式 tan(a+ 3)= ：anj+ 乎 加以变形为 tan a+ tan 3= tan( a+ 3)(1 tan 龙an 17 1 tan atan p角a, 3都成立.(x )(4)存在实数 “，使 tan 2 a= 2tan a.( v )逆用和变形3),且对任意（5）设 sin 2 a= sin a, a （2,兀），则 tan 2 a=5.（ v ）1. （2013 浙江）已知 代 r, sin a+ 2cos a=，则 tan 2a等于（43a- b.二 c.34d.答案解析. sin a+ 2cos10-2 .sin2 a+ 4sin ocos

4、a+ 4cos2 a= 2.化简彳导:4sin 2 a= 3cos 2 a,tan 2”= cos2t= 3.故选 c. cos2.若sin a+ cos asin1 .2,则tan 2 a等于（）a- -43-44b.4 c,-3 d.3答案解析sin a+ cos a 1由=2,等式左边分子、分母同除sin a cos a 2tan a+ 11cos a得,=-2,解得 tan a= 3,tan a 1 2则tan2tan a 32 a=1 tan a4-3. (2013课标全国n)设。为第二象限角，若tan兀 10+ 4 =-,则 sin 0+ cos 0=,10答案-l兀斛析/tan

5、e+ 4 = .tan 0=一；, 3且。为第二象限角,3sin 0= cos 0, 即sin2 0+ cos2 0= 1,10解得 sin 0= 70-, cos_3 ,1100一 10 .(fcos(x+耳的最大值为4. （2014 课标全国 n ）函数 f（x）= sin（x+2 昉一2sin 答案 1解析 .f（x） = sin（x+ 2 昉一2sin（j）cos（x+ = sin（x+（j）+ 同一2sin （jcos（x+ 昉= sin（x+（t）cos（j）+ cos（x+（j）sin q 2sin（j）cos（x+ = sin（x+（t）cos（） cos（x+（j）sin （

6、）= sin（x+ （j） （） = sin x,.f(x)的最大值为1.题型一三角函数公式的基本应用例1 (1)设tan a, tan 3是方程x23x+2= 0的两根，则tan(a+份的值为()a. 3b. 1c. 1d. 3(2)若 0制，- 30, cos(+ a)=1, 2243cos(j2) =兴 则 cos(a+2)等于(b.333c. 9d.答案(1)a(2)c解析(1)由根与系数的关系可知tan a+ tan 3= 3, tan 龙an 3= 2.tan a+ tan 33-tan( a+ 份=一 3.1 tan atan 3 1 2故选a.(2)cos(叶 2)r/jt,、

7、 ，且 _s,=c0s(4+ q2)i兀兀 3兀兀 3=c0s(4+ 4cosq2)+sinq+ a)sin(4-2).兀0a2,兀2v2 sin(4十 铲 3 .一 兀又一2华0,i r兀兀 b 兀则44- 2 sin2) (cos2 sin2) = cos2： sin： = cos a(2)因为三个内角a, b, c成等差数列，且a+ b+ c=兀，所以a+c = 2tt, 怨ctan w3232=乖,所以tana2 + tanc . a c 2 + 3tan 2tan 2= tan 2+2a ca c1 tan 2tan 2 + v3tan 2tan -a cac 一=、3 1 tan

8、_2tan _2 +、3tan 2tan = 3.题型三三角函数公式运用中角的变换例3已知%3均为锐角，且sina=；, tan( a- 3=：则 sin(a 9 = 53,cos 3=(2)(2013课标全国n )已知sin 2 a=23则cos2 a+4等于()1a.61b.31 c.22d.3答案1010590 m(2)a解析工从而一 2 8一又 tan( a )= 0 , 3兀一2 v a一 30.i03 50 sin( a一份=10-, cos( a- ；。.,a为锐角)sin a= , cos a=工55 .cos 3= cos a ( a阴 =cos acos( a份+sin a

9、sin(a新_4x3j0 3 上 9_w =5x 10 +5x(- 10)= 50 .兀兀 1 + cos2 a+ 4(2)因为 cos2 a+ 4 =21 + cos 2 + 21 - sin 2 a=2=22兀 1 sin 2 a 1 3 1所以 co/ a+ 4 =2= -2- = 6选 a.思维升华1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.(1)当“已知角”有两个时，“所求角” 一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角” .2 .常见的配角技巧：2

10、 a= ( a+份+ ( a份，a= ( a+四氏 片“3 , j3 _a 2 = ( + 2)(2 +等，设8 3都是锐角，且cos a= 除sin( ab2-5b. 5d”, x .(2)已知 cos( a 6)+ sina= 4g3,贝u sin( a+ 3 的值是3 一. .+/3，则侬3等于()a.2255c52_c. 25a 54答案(加(2)-5解析(1)依题意得sina= q 1 - cos2 a= 255,cos( a+ 3= h1 - sin - cos( a- 6)+ sin a= 53, a+ 3 =号又a, 3均为锐角，所以 0 acos( a十份.4 ,54因为5半

11、5，是 cos 3= cos( a+ 3) a =cos( a+ gos a+ sin( a+ ,sin a4v 553255_12555* 5 / 5* 5 25 .当cos什2sin户弟1*j3(2cos a+ 乎sin a) = 5/3,sin(p 0 = 5j3,7t，sin(6+ “)=5,7兀7t sin(好6)= - sin(6+ o) = - 5.高考中的三角函数求值、化简问题典例：若tan 2 0= 2422cos22sin。一 1 2)/2tan2。一tan 9- 2=0, 1 tan2 0解得tan仁一了或tan 0=也.2兀1,兀 22 q . -2 0 % . .ta

12、n 0=忑,11+ 丁 故原式=3 + 20 ,兀3 -2k7t+ 2 k2ktt+ 4/kcz),3，4k 什 兀 20, cos a0,.cos a sin a= 0, -tan a= 1.v3tan 12 38 . 4cos212 2 sin 12答案 4姆解析原式=gsin 12 1 3 cos 12 32 2cos212 1 sin 122m sin 12 乎cos 12cos 122cos 24 sin 1223sin 48-2 . 3sin 482cos 24 sin 12 c6s 12 sin 24 cos 242、3sin 48jsin 48 0=4 3.9.已知解因为试确定

13、使等式成立的”的取值集合./ 1 + sin民之 、cos2 民1-sin / co cos a|1 + sin d |1 sin a|cos a|cos o|1 + sin a 1 + sin a|cos a|2sin a |cos a|2sin a. cos aul,、，2sin a所以师|=- 2tan a=所以 sin a= 0 或|cos a|= cos a0.故a的取值集合为a= k兀或2 k兀+ 2 a2 k计 兀或2k兀+兀a2k兀+ ,kcz.10.已知a 2，兀，口一. a , a v6且 sin 2+cos 2=.求cosa的值;(2)若 sin(a份=一 兀，、，跃2,

14、兀，求cos 3的值.一 一. a解（1）因为sin 2 +两边同时平方，得 sin1a= 2又2/兀）所以cos a=，兀兀（2）因为2长兀，2 3兀,所以一兀（一体一子故-2a-得 cos( a49 = 5,cos 3= cos a (a3)=cos o(cos( a一 份+sin asin(a-由*4+ 1x _3_亚25 2510b组专项能力提升（时间:25分钟）2sin2 “+ sin 2 a11 .已知 tan( a+ 4)a.2、55b.cos空c 10 c,答案 a兀 tan a+111解析 由 tan( a+ 4)= =2，得 tan a= 3.兀- 一又一2ak兀 /日 兀

15、又由 ee (0, 4)，得 2 长(0, 2),所以 cos 2 0= aj1 sin22 0= 5,所以sin(2。+力7t7t=sin 2 0cosr+ cos 2 0sin；= 444x .2 32 7,25xt+5xt=t.14.已知函数 f(x) = sin x+ f+cosx朝，xc r.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知 cos(3- o) = 4, cos(3+a)= 4, 00注3 求证：f(3)2 2=0. 5527兀兀 兀(1)解 f(x)= sin x + 7一2 兀 + cos x-4-27t7t7t=sin x 4 +sin x 4 = 2sin x

16、 4f(x)的最小值为一2.(2)证明由 已知得 cos jcos a+ sin 出incos 国os4a sin 肉in a= 1 5,两式相加得2cos因os a= 0, 兀兀0a 产 2,3= 2,. f(阴2-2=4sin24c- 2=0.15.已知 f(x)= (1+rz-)sin2x-2sin(x + 4) sin(x-；5. tan x44(1)若 tan a= 2,求 f(a)的值;(2)若xc 忘 2,求f(x)的取值范围.斛 (1)f(x)= (sin2x+sin xcos x) + 2sin x+4 cos x + 41 cos 2x 17t2+2sin 2x+ sin 2x+ 21,1,.=2 + 2(sin 2x cos 2x) + cos 2x11=21sin 2x+ cos 2x)+ 2,，口2sin ocos a 2tan a 4由 tan a= 2,倚 sin 2k -2 升