以正方形为载体的中考试题赏析

1、以正方形为载体的中考试题赏析 正方形是初中的重要知识内容，纵观2008年全国各地中考试题，可以发现诸多以正方形为载体，结合其它数学知识的优秀试题，格调清新、构思巧妙，较好的考察了学生的基础知识、学习能力和思维水平.现拮取几例加以赏析：  1  与拼图相结合,注重考察学生的观察能力.  例1  (湖南湘潭市)如图1，将一副七巧板拼成一只小猫，则下图中 aob=  .  解析  观察发现这里正方形内的七巧板有5块是等腰直角三角形，1块正方形和1块锐角为45的平行四边形。利用数字标出组成正方形和小猫的七巧板之间的对应关系，如图2所

2、示，aob内部的两块是等腰直角三角形，则aob = 90.      例2  (湖北荆门市)用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图3所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4,若用x，y表示矩形的长和宽(xy)，则下列关系式中不正确的是(    )(a) x+y=12 (b) xy=2  (c) xy=35 (d) x y =144解析  观察拼图3可发现:大正方形的边长是矩形的长和宽之和；小正方形的边长是矩形的长和宽之差.由大正方形的面积是144可知其边长是12,

3、即x+y=12；由小正方形的边长是4可知其边长是2,即x-y=2,因此选项a和b的关系式均正确. 解、得x=7,y=5.因此：xy=35, x y =74.所以答案为选择d.点评  例1、例2的拼图试题在教材中是具有相应原型的，这里改编成中考试题可谓老树发新枝。事实上学生若能认真观察图形的本身特点进而找到相应数量关系，准确解答并不是件难事。2  与多边形、圆相结合,注重考察学生对几何性质的综合运用.例3   (陕西省)如图4，梯形abcd中，abcd，adc+bcd=90，且dc=2ab，分别以da、ab、bc为边向梯形外作正方形，其面积分别为s1、s2

4、 、s3，则s1、s2 、s3之间的关系是         解析  此题中所求三个正方形的面积s1、s2 、s3之间的关系实质是求梯形abcd的两个腰长及上底边边长三者的平方关系.可利用梯形的高来建立桥梁作用.如图5，分别过点a、b做aedc,bfdc,垂足分别为e、f.设梯形abcd的高为h ,ab=a, de=x,则dc=2a,fc=a-x.由于adc+bcd=90，可证得aedcfb，有h2=ax-x. s1= ad2=h2+x2=ax,s2=a2,s3=bc2=h2+ (ax)2 = a2ax.因

5、此:s1+ s3= s2.      例4   (江苏南通市)在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面他们首先设计了如图6所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图7所示的方案二（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）（1）请说明方案一不可行的理由；（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其

6、底面圆半径；若不可行，请说明理由解析  (1) 因为扇形abc的弧长 1628，因此圆的半径应为4cm由于所给正方形纸片的对角线长为 cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为 cm，由于 ，所以方案一不可行(2)设圆锥底面圆的半径为r，圆锥的母线长为r，则 , ,由，可解得 ， 故所求圆锥的母线长为 cm，底面圆的半径为 cm点评  将正方形与多边形、圆结合是中考中出现频率较高的题目。此类题目涉及知识点较多，跨度较大，需要学生具有较为扎实的基本功，具有综合运用相关数学知识的能力。3 与“动点问题”相结合,注重考察学生对不变因素的探究能力.  

7、  例5  (湖北武汉市)正方形abcd中，点o是对角线ac的中点，p是对角线ac上一动点，过点p作pfcd于点f。如图8，当点p与点o重合时，显然有dfcf(1)如图9，若点p在线段ao上（不与点a、o重合），pepb且pe交cd于点e.   求证：dfef；   写出线段pc、pa、ce之间的一个等量关系，并证明你的结论；     (2)若点p在线段oc上（不与点o、c重合），pepb且pe交直线cd于点e。请完成图10并判断(1)中的结论、是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（

8、所写结论均不必证明）       解析  (1) 如图11过点p做phbc,垂足为点h,连接pd.此时四边形pfch为正方形.容易证出apbapd,推得   bpc=dpc，进一步可得bph =dpf；由bph +hpe =90,epf + hpe=90，得bph =epf.因为pedc,可证得df=fe.由ef+ce= pc得:df=ef= pcec.因为pfad,有 ,将df= pcec代入得: pc=pa+ ce.(2)连接pb、pd,做pfdc, phbc,垂足分别为f、h,在dc延长线上取一点e,使得pepb.此时有结论df=ef成立.而结论不成立, pc、p