（全国通用）近年高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用热点探究训练1导数应用中的高考热点问题教师专用文新人教A版

1、热点探究训练（一)导数应用中的高考热点问题1（2015重庆高考)设函数f(x）（ar)（1）若f(x）在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yf（x)在点（1，f(1)）处的切线方程；(2)若f(x）在3，)上为减函数,求a的取值范围解（1)对f(x）求导得f(x）。2分因为f（x)在x0处取得极值，所以f（0)0,即a0.当a0时，f(x),f（x),故f（1），f(1)，从而f（x）在点（1，f(1）)处的切线方程为y（x1)，化简得3xey0.5分(2)由（1)知f(x）,令g（x）3x2(6a）xa，由g（x）0解得x1，x2.7分当x0，故f(x)为增函数；当xx2时，g(x）0

2、，即f(x)0,故f（x）为减函数。9分由f（x)在3，）上为减函数，知x23，解得a。故a的取值范围为。12分2已知函数f(x）ex(x2axa）,其中a是常数 【导学号:31222100】（1)当a1时,求曲线yf(x）在点（1，f（1)处的切线方程;（2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x）k在0，)上有两个不相等的实数根,求k的取值范围解(1)由f(x)ex（x2axa）可得f（x)exx2（a2）x.2分当a1时，f(1）e，f（1）4e.所以曲线yf（x)在点(1，f(1)）处的切线方程为：ye4e（x1)，即y4ex3e.5分(2)令f(x)exx2（a2)x0，解得x(a2）

3、或x0.6分当(a2）0，即a2时，在区间0,）上，f(x）0，所以f(x)是0，）上的增函数,所以方程f（x)k在0，)上不可能有两个不相等的实数根.8分当(a2）0，即a2时，f（x)，f（x）随x的变化情况如下表：x0(0,（a2）)（a2)（(a2），)f（x)00f(x)a由上表可知函数f（x)在0,)上的最小值为f(（a2）)。因为函数f（x）是（0,(a2)）上的减函数，是（a2）,)上的增函数,且当xa时，有f（x)ea(a）a，又f(0）a.所以要使方程f(x）k在0，）上有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。12分3（2016全国卷）已知函数f(x）（x2)exa(x1)

4、2。(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f（x)有两个零点，求a的取值范围解（1)f(x）（x1）ex2a(x1）(x1）（ex2a).1分（）设a0，则当x（,1)时，f（x）0；当x(1，）时，f(x)0.所以f(x)在(，1)上单调递减，在（1，）上单调递增。3分（)设a0，由f(x）0得x1或xln（2a)若a,则f（x）(x1)(exe），所以f(x）在（，)上单调递增若a,则ln(2a)1,故当x(,ln（2a)(1，)时，f（x）0；当x(ln（2a),1）时,f(x)0。所以f（x）在(，ln（2a）,（1，)上单调递增，在(ln(2a)，1）上单调递减。5分若a，则ln(2a

5、)1，故当x（，1)(ln(2a)，)时，f(x）0;当x(1，ln(2a)）时，f(x）0.所以f（x）在(,1）,(ln(2a），)上单调递增，在(1，ln(2a）上单调递减。7分（2)(）设a0,则由(1）知，f（x）在（,1)上单调递减，在(1，)上单调递增又f(1)e，f(2）a，取b满足b0且bln，则f(b)(b2）a(b1)2a0，所以f（x)有两个零点.9分()设a0，则f(x）(x2)ex，所以f(x)只有一个零点（)设a0，若a,则由（1）知，f(x）在(1,）上单调递增又当x1时f(x）0，故f(x）不存在两个零点；若a，则由(1)知，f（x)在(1，ln(2a）)上单

6、调递减，在（ln(2a),)上单调递增又当x1时，f(x)0，故f（x）不存在两个零点综上,a的取值范围为（0,）.12分4（2017郑州二次质量预测)已知函数f(x)。（1）讨论函数yf（x)在x（m，)上的单调性；（2）若m，则当xm,m1时，函数yf（x）的图象是否总在函数g(x）x2x图象上方?请写出判断过程解(1）f（x),2分当x(m，m1)时，f（x）0；当x（m1，）时，f(x)0，所以函数f(x）在（m，m1)上单调递减,在(m1，）上单调递增。4分（2)由（1）知f(x)在（m，m1）上单调递减，所以其最小值为f(m1）em1.5分因为m，g（x）在xm，m1最大值为(m1

7、）2m1。所以下面判断f（m1）与（m1)2m1的大小,即判断ex与（1x）x的大小,其中xm1.令m(x)ex(1x)x,m（x)ex2x1，令h(x)m(x），则h(x)ex2，因为xm1，所以h(x)ex20，m（x)单调递增。8分所以m（1）e30，me40,故存在x0，使得m(x0)ex02x010，所以m(x)在(1,x0）上单调递减,在上单调递增，所以m(x）m(x0)ex0xx02x01xx0xx01,所以当x0时,m（x0)xx010，即ex（1x)x，也即f(m1)(m1）2m1，所以函数yf（x）的图象总在函数g(x）x2x图象上方.12分尊敬的读者：本文由我和我的同事在

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