2.1直角坐标系下的二重积分的计算ppt课件

1、第三节 一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第八章 引入：底是矩形的曲顶柱体的体积引入：底是矩形的曲顶柱体的体积 在区间上任意取定一点在区间上任意取定一点 ， 作平行于作平行于yoz面的平面面的平面, 截面是一个以截面是一个以 区间为底区间为底, 曲线曲线 为曲边的曲边梯形为曲边的曲边梯形, 其面积为其面积为 任意一点处的横截面积任意一点处的横截面积 0 x 0 x 1020 ,xx 0, zf xy 20 10 00, d x x A xfxyy 2 1 ,d x x A xf x yy 该曲顶柱体的体积为该曲顶柱体的体积为 2 1 ,dd bx ax

2、 Vf x yyx 2 1 d,d bx ax xf x yy 记作 根据二重积分的几何意义根据二重积分的几何意义, 有有 ,d D Vf x y ,d D f x y 综上两个表达式可得综上两个表达式可得 2 1 d,d bx ax xfx yy 一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 且在D上连续时, 0),(yxf当被积函数 bxa xyx D )()( : 21 D yxyxfdd),( yyxf x x d),( )( )( 2 1 b a xd 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X 型区域 那么 )( 1 xy )( 2 xy xbo y D a x 若D为Y

3、型区域 dyc yxy D )()( : 21 y )( 1 yx )( 2 yx x d o c y xyxf y y d),( )( )( 2 1 d c yd D yxyxfdd),( 那 么 （2)若积分区域既是X型区域又是Y型区域 , D yxyxfdd),( )( 2 xy xo y D b a )( 1 yx )( 2 yx d c 则有 x )( 1 xy y yyxf x x d),( )( )( 2 1 b a xd xyxf y y d),( )( )( 2 1 d c yd (1) X- (1) X-型区域的特点：型区域的特点： 穿过区域且平行穿过区域且平行 于于y y

4、轴的直线与区域边界相交不多于两个轴的直线与区域边界相交不多于两个 交点交点. . Y- Y-型区域的特点：穿过区域且平行于型区域的特点：穿过区域且平行于x x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交轴的直线与区域边界相交不多于两个交 点点. . 说明说明: o x y (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 1 D 2 D 3 D X-型域或Y-型域 , 321 DDDD 那么 x y 1 1o 例例1. 计算计算,d D yx eI其中D 是直线 x0, x1,y0, 及 y1 所围的闭区域. 解解. 将将D看作看作X型区域型区域, 那么那么 :D I 1 0 d x ye yx d 1 0 d

5、 xe x ) 1(e 0 1 x e 2 )1(e 1 0 10 y 10 x yee yx d 1 0dx 0 1 1 0 d ye y 0 1 y e ) 1( e ) 5 1 3 1 ( 2 1 例例2. 计算计算,d 2 D yxI 其中D 是直线 y0, x0, 及 x2+y2=1 所围的第一象限区域. 解将解将D看作看作X型区域型区域, 10 , 10| ),( 2 xyxyxD I 1 0 dx yyxd 2 1 0 d x 1 0 22 2 1 d)1 (xxx ) 53 ( 2 1 53 xx 2 2 2 y x 15 1 0 2 1x 0 2 1x 0 1 x y 1 1

6、 o D 0y 2 1 xy 例例3. 计算计算 ,dd)2( D yxyx 其中D 是直线 ,032, 1yxy 所围成的闭区域. 解解: 取D 为X 型域 01 321 : 1 1 x xy D D yxyxdd)2( 03 yx o x y 1 03yx 032yx 121 3 2 5 . 1 D yyxx x d)2(d 0 1 32 1 yyxx x d)2(d 2 0 3 1 取D 为Y 型域: 31 32/)3( : y yxy D D yxyxdd)2(xyxy y y d)2(d 3 1 3 2/ )3( 2 0 2 d)(xyxx 2/ )3(y 3 y 2 0 2 d)3

7、4( 4 9 yyy )32 3 1 ( 4 9 23 yyy 1 3 )13( 3) 19(2) 127( 3 1 4 9 3 说明说明: 有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序还需交换积分顺序. 20 31 : 2 x xy D 例例4. 用二重积分用二重积分 所围成的闭区域的面积. 解解: D yxAdd 由二重积分性质知： 2 0 d x 的值 D yxdd1 的面积。就是积分区域D 2 y 4 o x 2 xy 2 4xxy 2 0 2 d)24(xxx ) 3 2 2( 32 xx 0 2 3 8 求求平平面面上上与与x y 2 =yx 2 = 4-y

8、xx 2 2 4 d xx x y 例例5. 解： 。两种积分次序为二次积分 化二重积分 )( 1, 1| ),() 1 (yxyxD 法法1. 将将D看作看作X型区域型区域, :D 11y 11x D dydxyxf),( 1 1 dx yyxfd),( 1 1 D dxdyyxf),( 法法2. 将将D看作看作Y型区域型区域, :D 11x 11y D dydxyxf),( 1 1 d y xyxfd),( 1 1 o x y 1 1x 1y D 1 1 1 o x y 1 1x 1y D 1 1 1 例例6. 解： 。两种积分次序为二次积分 化二重积分 )( 所围成的区域。及轴，是xyy

9、yD1)2( D dxdyyxf),( 解法解法1. 将将D看作看作X型区域型区域, 那那 么么 :D 1 0 dx yyxfd)( 解法解法2. 将将D看作看作Y型区域型区域, 那那 么么 :D xyxfd)( 1 0 d y 1 x 0 y 1 yx 10 x yx 0 10 y x y 1 1 xy o x y D dxdyyxf),( D dxdyyxf),( 例例7 解： 在第一象限部分轴，圆是02 )3( 22 xyxxD 法法1. 将将D看作看作X型区域型区域, : 1 D 1 0 dx yyxfd)( 法法2. 将将D看作看作Y型区域型区域, :D xyxfd)( 1 0 d

10、y 2 2xx 0 2 11y y2 2 20 xxy 10 x yxy211 2 10 y D dxdyyxf),( D dxdyyxf),( 所围成的区域。及直线2 yx : 2 D xy20 21 x 2 1 dx yyxfd)( x2 0 x y 1 1 2yx o 02 22 xyx 2 x y 2 1 1 xy o 2 2 1 d y 例例8. 计算计算,d D yxI其中D 是直线 y1, x2, 及 yx 所围的闭区域. x 解法解法1. 将将D看作看作X型区域型区域, 那那 么么 :D I 2 1 d xyyx d 2 1 d x 2 1 2 1 3 2 1 dxxx 8 9

11、 1 2 2 1 x yx 解法解法2. 将将D看作看作Y型区域型区域, 那那 么么 :D I xyx d 2 1 d y y yx 2 2 2 1 2 1 3 2 1 d2yyy 8 9 y 1 x y 2 xy 1 21 x 2 xy 21 y 例例9. 计算计算 ,d D yx其中D 是抛物线xy 2 所围成的闭区域. 解解: 为计算简便为计算简便, 先对先对 x 后对后对 y 积分积分, :D xyx d D yxd 2 1 dy 2 1 2 2 2 1 d 2 yyx y y 2 1 52 d)2( 2 1 yyyy 1 2 6 1 2 3 4 42 1 623 4 yyy y 8

12、45 D 2 xy 2 1 4 o y x y 2 2 yxy 21y 2 y 2y 2 xy 及直线 那么 xy 2 例例10. 计算计算,dd sin D yx x x 其中D 是直线 ,0,yxy 所围成的闭区域. ox y D x xy 解解: 由被积函数可知由被积函数可知, 因此取D 为X 型域 : x xy D 0 0 : D yx x x dd sin x y 0 d 0 dsinxx 0 cos x2 0 d sin x x x x 先对 x 积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序还需交换积分顺序. 备用题备用题. 交换下列积分顺序交换下列积分顺序 2 2 8 0 22 2 2 0 2 0 d),(dd),(d x x yyxfxyyxfxI 解解: 积分域由两部分组成积分域由两部分组成: , 20 0 : 2 2 1 1 x xy D 8 22 yx 2 D 22 y xo2 1 D 2 2 1 xy 2 222 80 : 2 2 x xy D 21 DDD将 :D 视为Y型区域