2.1随机信号分析ppt课件

1、随机信号分析随机信号分析 内容结构内容结构 引言；引言； 随机过程的一般描述；随机过程的一般描述； 平稳随机过程；平稳随机过程； 高斯过程正态随机过程）；高斯过程正态随机过程）； 窄带随机过程；窄带随机过程； 余弦波加窄带高斯噪声；余弦波加窄带高斯噪声； 随机过程通过线性系统；随机过程通过线性系统； 引言引言 随机信号：随机信号： 某个或某几个参量不能被预知或某个或某几个参量不能被预知或 不能完全被预知的信号。不能完全被预知的信号。 随机噪声：随机噪声： 不能被预测的噪声。不能被预测的噪声。 随机过程的一般描述随机过程的一般描述 随机过程的基本概念：随机过程的基本概念： 随时间变化的随机变量的

2、全体；随时间变化的随机变量的全体； 兼有时间函数与随机变量的特点。兼有时间函数与随机变量的特点。 随机过程的统计特性：随机过程的统计特性： 分布函数与概率密度函数；分布函数与概率密度函数； 数字特征：数学期望均值）、数字特征：数学期望均值）、 方差、自相关函数、自协方差函数；方差、自相关函数、自协方差函数； 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 在观察区间内，随机过程是时间的函数，在观察区间内，随机过程是时间的函数， 每次观察结果即每次实现均可视为一每次观察结果即每次实现均可视为一 个样本，无数次的结果亦即无数个样本构个样本，无数次的结果亦即无数个样本构 成了随机过程的样本空间；成了随机过程的

3、样本空间； 在任一时刻上观察到的样值是不确定的，在任一时刻上观察到的样值是不确定的， 是一个随机变量，在观察区间内与每一时是一个随机变量，在观察区间内与每一时 刻相对应的随机变量的全体构成了随机过刻相对应的随机变量的全体构成了随机过 程的样本空间；程的样本空间； 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 随机变量与随机过程二者最大的区随机变量与随机过程二者最大的区 别在于：随机变量的样本空间是一别在于：随机变量的样本空间是一 个实数集合，而随机过程的样本空个实数集合，而随机过程的样本空 间是一个时间函数的集合或是一个间是一个时间函数的集合或是一个 随机变量的集合。随机变量的集合。 分布函数与概率密

4、度函数分布函数与概率密度函数 随机过程随机过程 的一维分布函数：的一维分布函数： 随机过程随机过程 的一维概率密度函数：的一维概率密度函数： )(t )(t 11111 )(),(xtPtxF 1111111 ),(),(xtxFtxf 分布函数与概率密度函数分布函数与概率密度函数 随机过程随机过程 的的n维分布函数：维分布函数： 随机过程随机过程 的的n维概率密度函数：维概率密度函数： n越大，对随机过程的描述越充分。越大，对随机过程的描述越充分。 )(t )(t nn nn xtxtxtP tttxxxF )(,)(,)( ),;,( 2211 21211 nnn nn xxxtttxxx

5、F tttxxxf 2121211 21211 ),;,( ),;,( 随机过程的数学期望均值）随机过程的数学期望均值） 反映了随机过程各个时刻的数学期望均反映了随机过程各个时刻的数学期望均 值随时间的变化情况；值随时间的变化情况； 本质上就是随机过程所有样本函数的统计本质上就是随机过程所有样本函数的统计 平均函数；平均函数； 它由随机过程的一维概率分布决定；它由随机过程的一维概率分布决定； 表征了随机信号的直流分量；表征了随机信号的直流分量； )(),()( 1 tadxtxxftE 随机过程的方差随机过程的方差 反映了随机过程在任意时刻反映了随机过程在任意时刻 t 相对于相对于 均值的偏离

6、程度；均值的偏离程度； 它由随机过程的一维概率分布决定；它由随机过程的一维概率分布决定； 2 1 2 2 2 2 2 )(),( )()( )()()()( tadxtxfx tEtE ttEtEtD 随机过程的方差随机过程的方差 表征了随机信号的交流平均功率；表征了随机信号的交流平均功率； 随机过程的数学期望均值和方差随机过程的数学期望均值和方差 仅描述了各孤立时刻的统计特性，无仅描述了各孤立时刻的统计特性，无 法反映不同时刻之间的联系，为此引法反映不同时刻之间的联系，为此引 入了自相关函数和自协方差函数，用入了自相关函数和自协方差函数，用 来衡量随机过程在任意两个时刻上获来衡量随机过程在任

7、意两个时刻上获 得的随机变量的统计相关特性；得的随机变量的统计相关特性； 随机过程的自相关函数随机过程的自相关函数 212121221 2121 ),;,( )()(),( dxdxttxxfxx ttEttR 随机过程的自协方差函数随机过程的自协方差函数 )()(),( ),;,()()( )()()()(),( 2121 21212122211 221121 tatattR dxdxttxxftaxtax tattatEttB 平稳随机过程平稳随机过程 狭义平稳或严平稳随机过程；狭义平稳或严平稳随机过程； 广义平稳或宽平稳随机过程；广义平稳或宽平稳随机过程； 平稳随机过程的平稳随机过程的“

8、各态历经性各态历经性”； 平稳随机过程的自相关函数；平稳随机过程的自相关函数； 平稳随机过程的功率谱密度；平稳随机过程的功率谱密度； 狭义平稳随机过程狭义平稳随机过程 平稳随机过程的统计特性将不随时平稳随机过程的统计特性将不随时 间的推移而发生变化，即其任何间的推移而发生变化，即其任何n维维 分布函数或概率密度函数与时间起分布函数或概率密度函数与时间起 点无关，亦即对于任意的正整数点无关，亦即对于任意的正整数n和和 任意的实数任意的实数 ，平稳随机，平稳随机 过程过程 的的n维概率密度函数满足：维概率密度函数满足： , 21n ttt )(t ),;,( ),;,( 2121 2121 nnn

9、 nnn tttxxxf tttxxxf 狭义平稳随机过程狭义平稳随机过程 平稳随机过程的一维分布与时间平稳随机过程的一维分布与时间 t 无关，二维分布仅与时间间隔无关，二维分布仅与时间间隔 有关，即：有关，即： )(),( 11 xftxf );,(),;,( 21211212 xxfttxxf 广义平稳随机过程广义平稳随机过程 平稳随机过程的数学期望与时间平稳随机过程的数学期望与时间 t 无关，自相关函数仅与时间间无关，自相关函数仅与时间间 隔隔 有关，即：有关，即： 除特别声明，本课程所讨论的均除特别声明，本课程所讨论的均 为广义平稳随机过程。为广义平稳随机过程。 )(),(;)( 11

10、 RttRatE 平稳随机过程的平稳随机过程的“各态历经性各态历经性” 只有平稳随机过程才可能具有各态只有平稳随机过程才可能具有各态 历经性，即平稳随机过程的任一实历经性，即平稳随机过程的任一实 现均经历了随机过程的所有可能状现均经历了随机过程的所有可能状 态，因而我们可以用任一实现的统态，因而我们可以用任一实现的统 计特性来描述平稳随机过程的统计计特性来描述平稳随机过程的统计 特性，进而通过任一实现的时间平特性，进而通过任一实现的时间平 均特性得到平稳随机过程的统计平均特性得到平稳随机过程的统计平 均特性。均特性。 平稳随机过程的平稳随机过程的“各态历经性各态历经性” dttx T aa T

11、 TT 2 2 )( 1 lim dtatx T T TT 2 2 2 22 )( 1 lim dttxtx T RR T TT )()( 1 lim)()( 2 2 平稳随机过程的自相关函数平稳随机过程的自相关函数 平稳随机过程平稳随机过程 的自相关函数的自相关函数 具有以下重要特性：具有以下重要特性： （ 具有上界）具有上界） （ 是偶函数）是偶函数） （ 的平均功率）的平均功率） （ 的直流平均功率）的直流平均功率） （ 的交流平均功率）的交流平均功率） )(t )(t )(t )(R )(R StER)()0( 2 22 )()(atER 2 )()0( RR )()( RR )0()

12、(RR )(t )(R 平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度 平稳随机过程平稳随机过程 的功率谱密度的功率谱密度 与其自相关函数与其自相关函数 是一对傅利叶是一对傅利叶 变换关系，即：变换关系，即： 是一个非负的偶函数，且是一个非负的偶函数，且 的的 平均功率平均功率 S 满足：满足： )( R )( P)(t )()( RP )( P)(t dPS )( 2 1 高斯过程正态随机过程）高斯过程正态随机过程） 高斯过程正态随机过程的性质；高斯过程正态随机过程的性质； 高斯过程正态随机过程的一维分高斯过程正态随机过程的一维分 布：布： 一维概率密度函数；一维概率密度函数； 一维分布函

13、数；一维分布函数； 高斯过程的性质高斯过程的性质 对高斯过程对高斯过程 在在 时刻观时刻观 察得到的一组随机变量察得到的一组随机变量 ， 其其n 维联合概率密度函数仅由各随维联合概率密度函数仅由各随 机变量的数学期望、方差和两两之机变量的数学期望、方差和两两之 间的归一化协方差函数决定。间的归一化协方差函数决定。 高斯过程宽平稳亦即严平稳。高斯过程宽平稳亦即严平稳。 若高斯过程中的各随机变量两两之若高斯过程中的各随机变量两两之 )(t n ttt, 21 tntt , 21 高斯过程的性质高斯过程的性质 间相互统计独立，那么：间相互统计独立，那么： ),(),(),( ),;,( 122111

14、1 2121 nn nnn txftxftxf tttxxxf 高斯过程的一维概率密度函数高斯过程的一维概率密度函数 2 2 2 )( exp 2 1 )( ax xf 高斯过程的一维概率密度函数高斯过程的一维概率密度函数 关于关于 对称，即：对称，即： 在在 内单调上升，在内单调上升，在 内单调下降，在内单调下降，在 处有最大值处有最大值 ，当，当 时，时， ； ，且有：，且有： )(xfax )()(xafxaf )(xf),(a),(a ax 21x 0)(xf 1)( dxxf 21)()( dxxfdxxf a a 高斯过程的一维概率密度函数高斯过程的一维概率密度函数 对不同的对不同

15、的 （固定（固定 ），表现为），表现为 的图形左右平移；对不同的的图形左右平移；对不同的 （固（固 定定 ），）， 的图形将随的图形将随 的减小的减小 变高变窄。变高变窄。 当当 时，即正态分布的标时，即正态分布的标 准化：准化： a)(xf a)(xf 1, 0a 2 exp 2 1 )( 2 x xf 高斯过程的一维分布函数高斯过程的一维分布函数 其中：其中： 为误差函数；为误差函数； ax ax erfc ax ax erf dzzfxF x , 22 1 1 , 22 1 2 1 )()( dttxerf x 0 2 exp 2 )( 高斯过程的一维分布函数高斯过程的一维分布函数 为互

16、补误差函数；为互补误差函数； 误差函数与互补误差函数的性质；误差函数与互补误差函数的性质； dtt xerfxerfc x 2 exp 2 )(1)( 误差函数与互补误差函数的性质误差函数与互补误差函数的性质 在在 内单调上升；内单调上升； 是奇函数，即：是奇函数，即： 且且 在在 内单调下降；内单调下降； 且且 ),()(xerf )(xerf )()(xerfxerf1)(erf )(xerfc),( )(2)(xerfcxerfc0)(erfc 2 1 ( )exp,1erfc xxx x 窄带随机过程窄带随机过程 窄带随机过程及其描述；窄带随机过程及其描述； 零均值平稳窄带高斯过程；零

17、均值平稳窄带高斯过程； 通信中常见噪声的特性；通信中常见噪声的特性； 窄带随机过程及其描述窄带随机过程及其描述 若随机过程若随机过程 的频谱被限制在某的频谱被限制在某 个远离零频率的中心频率附近一个个远离零频率的中心频率附近一个 窄的频带范围内，则称之为窄带随窄的频带范围内，则称之为窄带随 机过程，即：机过程，即： )(t tttt cscc sin)(cos)( 0)(,)(cos)(tattta c )(exp)(Re)(ttjtat c 窄带随机过程及其描述窄带随机过程及其描述 其中：其中： 和和 分别是窄带随机分别是窄带随机 过程过程 的包络函数和随机相位函的包络函数和随机相位函 数，

18、数， 和和 分别称为分别称为 的同相的同相 分量和正交分量，且：分量和正交分量，且： )(t )(ta )(t )(t c )(t s )(t )()(tan)(,)()()( 122 tttttta cssc )(sin)()(,)(cos)()(ttatttat sc 窄带随机过程及其描述窄带随机过程及其描述 零均值平稳窄带高斯过程零均值平稳窄带高斯过程 一个均值为一个均值为 0 ，方差为，方差为 的平稳窄带的平稳窄带 高斯过程高斯过程 ，其同相分量，其同相分量 和正交和正交 分量分量 同样是平稳高斯过程，且均同样是平稳高斯过程，且均 值都为值都为 0 ，方差均为，方差均为 ，即：，即：

19、另外，在同一时刻得到的另外，在同一时刻得到的 和和 是相是相 互统计独立的。互统计独立的。 )(t 2 2 )(t c )(t s s c 2222 ,0 scsc aaa 零均值平稳窄带高斯过程零均值平稳窄带高斯过程 一个均值为一个均值为 0 ，方差为，方差为 的平稳的平稳 窄带高斯过程窄带高斯过程 ，其包络，其包络 的的 一维分布是瑞利分布，相位一维分布是瑞利分布，相位 的的 一维分布是均匀分布，且就一维分一维分布是均匀分布，且就一维分 布而言，在同一时刻得到的布而言，在同一时刻得到的 和和 是相互统计独立的，即：是相互统计独立的，即： 2 )(t)(ta )(t a 零均值平稳窄带高斯过

20、程零均值平稳窄带高斯过程 20 0 , 2 exp 2 )()(),( 2 2 2 aaa fafaf 20,21)(f 0, 2 exp)( 2 2 2 a aa af 通信中常见噪声的特性通信中常见噪声的特性 白噪声：功率谱密度在整个频域内白噪声：功率谱密度在整个频域内 都是均匀分布的噪声，即：都是均匀分布的噪声，即： 可见，白噪声在任意两可见，白噪声在任意两 个不同时刻得到的随机个不同时刻得到的随机 变量相互统计独立。变量相互统计独立。 HzWnP2)( 0 )( 2 )( 0 n R 通信中常见噪声的特性通信中常见噪声的特性 带限白噪声：白噪声的功率谱密度带限白噪声：白噪声的功率谱密度

21、 被限制在某一频段范围内，超出该被限制在某一频段范围内，超出该 范围则为零，即：范围则为零，即： HzW n P 0 00 ,0 ,2 )( )()( 000 SafnR 通信中常见噪声的特性通信中常见噪声的特性 可见，带限白噪声只在可见，带限白噪声只在 上得到的随机变量才相互统计独立。上得到的随机变量才相互统计独立。 , 3 , 2 , 1,2 0 kfk 通信中常见噪声的特性通信中常见噪声的特性 若噪声的任意若噪声的任意 n 维分布都服从高斯维分布都服从高斯 分布，则称之为高斯噪声。分布，则称之为高斯噪声。 若高斯噪声的功率谱密度在整个频若高斯噪声的功率谱密度在整个频 域内都是均匀分布的，

22、则称之为高域内都是均匀分布的，则称之为高 斯白噪声；若其功率谱密度被限制斯白噪声；若其功率谱密度被限制 在某一频段范围内，超出该范围即在某一频段范围内，超出该范围即 为零，则称之为带限高斯噪声。为零，则称之为带限高斯噪声。 余弦波加窄带高斯噪声余弦波加窄带高斯噪声 )()cos()(tntAtr c ttnttn tAtA cscc cc sin)(cos)( sinsincoscos ttnA ttnA cs cc sin)(sin cos)(cos 余弦波加窄带高斯噪声余弦波加窄带高斯噪声 包络包络 的一维分布服从广义瑞利分的一维分布服从广义瑞利分 布莱斯分布），即：布莱斯分布），即： ttZttZ cscc sin)(cos)( )(cos)(tttZ c )(tZ 0, 2 )( exp)( 2 0 2 22 2 Z AZ I AZZ Zf 余弦波加窄带高斯噪声余弦波加窄带高斯噪声 其中：其中： 为零阶修正贝塞尔函数，为零阶修正贝塞尔函数， 当当 时，时， 单调上升，单调上升， 且且 ； 假设假设 A = 0 , 那么那么 为瑞利分布。为瑞利分布。 相位相位 的一维分布与信道中的信噪比的一维分布与信道中的信噪比 有关；假设有关；假设 A = 0 , 则为均匀分布则为均匀分布 。 假设假设 确定，则同相分量确定，则同相