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文档简介

1、函数与导数综合题1.已知函数.(1)若函数在上单调递减,求实数的取值范围;(2)求函数的极值;(3)求证:解:时,恒成立所以由于所以从而因而所求,(1)时,恒成立在上单调递增,无极值。(2)时,由于所以在上单调递增,在上单调递减,从而由(1)知时,在上递减。从而时,令,则所以从而即有2.设,.(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数;(3)如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围。解:(1)当时,所以曲线在处的切线方程为;(2)存在,使得成立等价于:,考察,0003递减极(最)小值递增由上表可知:,所以满足条件的最大整数;(3)对任意的,都有成立等价

2、于:在区间上,函数的最小值不小于的最大值,由(2)知,在区间上,的最大值为恒成立等价于恒成立,记,记,由于,所以在上递减,当时,时,即函数在区间上递增,在区间上递减,所以,所以3.已知函数.(1)若函数在其定义域内为增函数,求实数的取值范围;(2)在(1)的条件下,若,求的极小值;(3)设,若函数存在两个零点,且,问:函数在点处的切线能否平行于轴?若能,求出该切线方程;若不能,请说明理由。解:(1),.由题意,知恒成立,即又,当且仅当时等号成立。故,所以(2)由(1)知, 因为,所以若,则,单调递减;若,则,单调递增。故当时,取得极小值,极小值为(3)设在的切线平行于轴,其中. 结合题意,有得联立得由得设,式变为设,所以函数在上单调递增,因此,即,也就是,此式与矛盾。所以在处的切线不能平行于轴。4.已知函数,其中,;(1)当时,求的值并判断函数的奇偶性;(2)当时,若函数的图像在处的切线经过坐标原点,求的值;(3)当时,求函数在上的最小值。解:(1)时 ,所以,所以时非奇非偶函数(2)时,所以所以在处的切线方程为因为过原点,所以;(3)(i)当时,上,所以在内单调递减,递增,所以(ii)当时,上,所以单调递增,(iii)当时,当时,所以单调递增,当时,因,

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