第六章节方差分析

1、第六章节方差分析1 第六章第六章 第六章节方差分析2 本章教学目标本章教学目标 l了解方差分析可以解决那些实际问题； l了解应用方差分析的基本条件； l掌握方差分析的基本概念及其分析方法； l正确使用 Excel 软件求解单因素和双因素方差分 析问题及其运行输出结果分析. 本章主要内容本章主要内容 4.1 方差分析概述 4.2 单因素方差分析 4.3 双因素方差分析 本章重点本章重点：考虑交互作用的双因素方差分析 第六章节方差分析3 在生产经营管理过程中，通常有很多因素会影响产品 的质量、产量、销售量等指标。 如农作物的产量受品种、肥料、气候、雨水、光照、 土壤、播种量等众多因素的影响； 产品

2、销售量受品牌、质量、价格、促销手段、竞争产 品、顾客偏好、季节、居民收入水平等众多因素的影响； 化工产品的得率受温度、压力、催化剂、原料配比等 因素的影响。 因此需要了解： 哪些因素会对所研究的指标产生显著影响； 这些影响因素在什么状况下可以产生最好的结果。 方差分析就是解决这类问题的一种统计分析方法。 6.1 方差分析概述方差分析概述 第六章节方差分析4 某大型连锁超市为研究各种促销方式的效果，选 择下属 4 个门店，分别采用不同促销方式，对包装 食品各进行了4 个月的试验。 试验结果如下： 超市管理部门希望了解： 不同促销方式对销售量是否有显著影响？ 哪种促销方式的效果最好？ 促销方式 与

3、上年同期相比(%) A1 (广告宣传) 104.8 95.5 104.2 103.0 A2 (有奖销售) 112.3 107.1 109.2 99.2 A3 (特价销售) 143.2 150.3 184.7 154.5 A4 (买一送一) 145.6 111.0 139.8 122.7 【案例【案例1 1】哪种促销方式效果最好】哪种促销方式效果最好？ 第六章节方差分析5 影响某化工厂化工产品得率的主要因素是反应温度和 催化剂种类。 为研究产品的最优生产工艺，在其他条件不变的情况 下，选择了四种温度和三种催化剂，在不同温度和催化 剂的组合下各做了一次试验，测得结果如下： 化工产品得率试验(得率：

4、%) 催化剂 温度 B1 B2 B3 A1(60 OC) 66 73 70 A2(70 OC) 81 96 53 A3(80 OC) 97 79 66 A4(90 OC) 79 76 88 【案例【案例2 2】如何确定最优生产工艺】如何确定最优生产工艺 第六章节方差分析6 案例案例 2 要研究的问题要研究的问题 温度是否对该产品的得率有显著影响? 若有显著影响，应将温度控制在什么范围内可使 得率最高? 催化剂是否对该产品的得率有显著影响? 若有显著影响，哪种催化剂的效果最好？ 温度和催化剂的不同组合是否对产品得率有显 著影响？ 如有显著影响，哪种温度和催化剂的组合可使得 率最高？ 第六章节方差

5、分析7 记 A, B, C 为试验中状态发生变化的因素， 称因素在试验中所取的不同状态为水平水平。 设因素 A 有 a 个水平，记为 A1, A2, , Aa；因素 B 有 b个水平，记为 B1, B2, , Bb 等。 若试验中只有一个变动的因素，就称为单因素试验； 若有两个变动的因素，就称为双因素试验； 若有两个以上的变动因素，则称为多因素试验。 二二. .方差分析的基本假设方差分析的基本假设 设因素 A 在水平 Ai 下的某项指标为总体 Xi，则假定 Xi N( i, 2 )， Xi 相互独立 一一. 方差分析的基本概念方差分析的基本概念 第六章节方差分析8 就是要检验原假设 H0：1

6、= 2 = = a 是否成立。 若拒绝 H0，就说明因素 A 对试验结果有显著影响， 进一步还应确定使效果达到最佳的水平。 若不能拒绝 H0，则说明因素 A 对该项指标无显著 影响，试验结果中的差异主要是由其他未加控制的 因素和试验误差所引起的。 虽然可以用两两 t 检验法来检验各 i 间是否存在 显著差异，但 t 检验无法检验多个因素间的交互效 应，而这正是方差分析要解决的主要问题。 第六章节方差分析9 6.2 6.2 单因素方差分析单因素方差分析 一一. .基本概念基本概念 记水平 Ai 下的 ni 个试验结果为 xij ，则 xij = i + ij i = 1, 2, a；j = 1,

7、 2, ni ij N(0, 2 )，且相互独立 其中 ij 是由各种无法控制的因素引起的随机误差随机误差。 上式说明，试验结果 xij 受到两方面的影响： 因素 A 的水平 Ai 的均值 i 随机误差 ij 第六章节方差分析10 为一般平均。 称 i = i - ； i = 1, 2, , a n N i ii 1 称 ) (为试验总次数 i i nN 从而要检验的原假设可改写为： H0：1= 2 = = a = 0 为水平 Ai 的效应效应，反映了水平 Xi 的均值与一般平均 的差异。 第六章节方差分析11 方差分析 的基本思路： 将因素的不同水平和随机误差对试验结果的影响 进行分离，并比

8、较两者中哪一个对试验结果 xij 的影 响起主要作用。 若因素的不同水平对试验结果 xij 的影响是主要的， 就拒绝 H0，说明因素 A 对试验结果有显著影响； 若试验结果 xij 中的差异主要是由随机误差引起的， 就不能拒绝 H0，说明因素 A 对试验结果无显著影响。 为此，需要对总的偏差平方和进行分解。 第六章节方差分析12 称 j ij i i x n x 1 ) 1 ( ij ij x N x ij ijT xxS 2 )( 为总的偏差平方和总的偏差平方和， 它反映了样本数据 xij 间总的差 异量的大小。 为便于对 ST 进行分解，记水平 Ai 下的样本均值为 第六章节方差分析13

9、2. 偏差偏差平方和的分解平方和的分解 ij ijT xxS 2 )( ij iije xxS 2 )( i iiA xxnS 2 )( 其中 i ii ij iiij ij iij xxnxxxxxx 22 )()(2()( i ii ij iij xxnxx 22 )()( ij iiij xxxx 2 )( Ae SS 反映了各样本(同一水平)内的数据差异， 主要是由随机误差所引起的，称为误差平方和误差平方和或组内平方和组内平方和。 反映了各样本(不同水平)间数据的差异， 主要是由因素A的不同水平效应间的差异引起的，称为因素 A的平方和的平方和 或 组间平方和组间平方和。 利用 SA 和

10、 Se 之比就可以构造出检验 H0 的统计量。 第六章节方差分析14 故在给定水平 下，若 F F (a-1, N-a) )/( ) 1/( aNS aS F e A 可以证明， F (a-1, N-a) 3. 检验检验 H0 的统计量的统计量 当 H0 为真时，统计量 就拒绝 H0，说明各水平 Ai 的效应间存在显著差异， 或称因素 A 的作用是显著的。 由于 SA /(a-1) 和 Se /(N-a) 分别是组间数据和组内 数据的样本方差，故称这种基于检验样本方差比的 方法为方差分析方差分析。 第六章节方差分析15 若 F F(a-1, N-a)，称因素 A 的作用极高度显著； 若 F F

11、(a-1, N-a)，称因素 A 的作用高度显著； 若 F0.01 (a-1, N-a) F F(a-1, N-a)，称因素 A 的作用 一般显著； 若 F F(a-1, N-a)，则认为因素 A 的作用不显著。 )/( ) 1/( aNS aS e A 来源平方和自由度均方和F 比显著性 ASAa-1SA/(a-1) 误差SeN-aSe/(N-a) 总和STN-1 单因素方差分析表 第六章节方差分析16 2. 因素因素 A 的各水平间是否都存在显著差异？的各水平间是否都存在显著差异？ 这可以通过对各 i 进行两两 t 检验来确定。 如果存在多个效果最好的水平(它们间并无显著差 异)，就可以有

12、多种最优水平可供决策者选择。 i x 若因素 A 的作用是显著的，接下来还需要确定： 1. 因素因素 A 的哪一水平效果最好？的哪一水平效果最好？ 这可以通过求出各来确定， 它是 i 的优良估计。 第六章节方差分析17 某大型连锁超市为研究各种促销方式的效果，选 择下属4个门店，分别采用不同促销方式，对包装食 品各进行了4个月的试验。 试验结果如下： 超市管理部门希望了解： 不同促销方式对销售量是否有显著影响？ 哪种促销方式的效果最好？ 促销方式 与上年同期相比(%) A1(广告宣传) 104.8 95.5 104.2 103.0 A2(有奖销售) 112.3 107.1 109.2 99.2

13、 A3(特价销售) 143.2 150.3 184.7 154.5 A4(买一送一) 145.6 111.0 139.8 122.7 【案例【案例1 1】哪种促销方式效果最好】哪种促销方式效果最好？ 第六章节方差分析18 可用 Excel 的【工具】“数据分析”“方差分析： 单因素方差分析”求解单因素方差分析问题。 案例 1 的方差分析表 其中：P-value P 值，为检验中达到的显著性水平， 其含义与 t 检验中“P(T F ( a-1，(a-1)(b-1) ) 时，拒绝 H01； 当 FB F ( b-1，(a-1)(b-1) ) 时，拒绝 H02。 ) 1)(1/( ) 1/( baS

14、 bS F e B B 同样可以证明：当 H01 为真时，统计量 ) 1)(1/( ) 1/( baS aS F e A A F( a-1, (a-1)(b-1) ) 当 H02 为真时，统计量 F(b-1, ( a-1)(b-1) ) 4. 检验用的统计量检验用的统计量 第六章节方差分析26 无交互作用的双因素方差分析表 来源 平方和 自由度 均方和 F 比 A SA a-1 SA /(a-1) B SB b-1 SB /(b-1) 误差 Se (a-1)(b-1) Se /(a-1)(b-1) 总和 ST ab-1 ) 1)(1/( ) 1/( baS aS e A ) 1)(1/( )

15、1/( baS bS e B 5. 方差分析表方差分析表 第六章节方差分析27 影响某化工厂化工产品得率的主要因素是反应温 度和使用的催化剂种类。为研究产品的最优生产工 艺条件，在其他条件不变的情况下，选择了四种温 度和三种催化剂，在不同温度和催化剂的组合下各 做了一次试验，测得结果如下： 化工产品得率试验(%) 催化剂 温度 B1 B2 B3 A1 (60 OC) 66 73 70 A2 (70 OC) 81 96 53 A3 (80 OC) 97 79 66 A4 (90 OC) 79 76 88 【案例【案例2 2】如何确定最优生产工艺？】如何确定最优生产工艺？ 第六章节方差分析28 可

16、用 Excel 【工具】“数据分析”“方差分 析：无重复双因素分析”求解无交互作用的双因素 方差分析问题。 案例2的方差分析表 来源 平方和 自由度 均方和 F 比 P-value A 250 3 83.3 0.42 0.743 B 360.5 2 180.3 0.92 0.449 误差 1179.5 6 196.6 总和 1790 11 因素 A 因素 B 故温度和催化剂对该化工产品的得率都无显著影 响!? 案例案例 2 分析分析 第六章节方差分析29 显然，很可能是由于未考虑因素间的交互作用， 才导致了错误的分析结果。 问题出在哪里？问题出在哪里？ 催化剂 温度 B1 B2 B3 A1 (

17、60 OC) 66 73 70 A2 (70 OC) 81 96 53 A3 (80 OC) 97 79 66 A4 (90 OC) 79 76 88 以上结论既不符合实际情况， 也违背化学反应的 基本常识。 由本案例的试验数据可以明显看出，温度和催化剂 不同搭配下的得率之间是存在显著差异的。 第六章节方差分析30 1. 考虑交互作用时的双因素试验考虑交互作用时的双因素试验 交互效应交互效应 记 A, B 间的交互作用为 AB， , i , j 的定义同 前。 由于存在交互作用，因此 ij + i + j 称 ( )ij = ij - - i - j 为 Ai 与 Bj 的交互效应交互效应，它

18、反映了两因素间不同水平 的组合对试验结果的影响。 因此，总体 Xij 的均值可表示为 ij = + i + j + ( )ij 第六章节方差分析31 (2)(2)要检验的假设要检验的假设 由于考虑了交互作用，因此要检验的原假设有以 下三个： H01：1= 2 = = a = 0 H02：1= 2 = = b = 0 H03：( )ij = 0；对一切 i, j 为检验交互作用，就需要在每一 Ai Bj 水平组合下 进行重复试验。 记 xijk 为在 Ai Bj 组合下的第 k 次试验的结果。 第六章节方差分析32 其中 Se , SA , SB 的含义同前； SAB 则主要是由交互效应所引起的

19、差异，称为 AB 间平方和间平方和。 ijk ijkT xxS 2 )( 完全类似地，可以将总的偏差平方和 ST 作如下分 解： BABAe SSSS 第六章节方差分析33 故 H01, H02, H03 的拒绝域分别为： FA F( a-1，ab(n-1) ) FB F( b-1，ab(n-1) ) FAB F( (a-1)(b-1)，ab(n-1) ) 当 H02为真时， ) 1(/ ) 1/( nabS bS F e B B 同样可以证明： 当 H01为真时， ) 1(/ ) 1/( nabS aS F e A A F( a-1, ab(n-1) ) 当 H03为真时， ) 1(/ )

20、1)(1/( nabS baS F e BA BA F( (a-1)(b-1), ab(n-1) ) F( b-1, ab (n-1) ) 第六章节方差分析34 有交互作用的双因素方差分析表 来源 平方和 自由度 均方和 F 比 A SA a-1 SA /(a-1) B SB b-1 SB /(b-1) AB SAB (a-1)(b-1) SAB /(a-1)(b-1) 误差 Se ab(n-1) Se /ab(n-1) 总和 ST abn-1 ) 1(/ ) 1/( nabS aS e A ) 1(/ ) 1/( nabS bS e B ) 1(/ ) 1)(1/( nabS baS e BA 第六章节方差分析35 影响某化工厂产品得率的主要因素是反应温度和 使用的催化剂种类。为研究产品