高数B期末复习

1、少学时高等数学（下）总复习 要点及举例 （复习举例，仅供参考） 第六章：微分方程 可以分离变量的方程的解法 阶、任意常数、通解、特解 一阶线性微分方程的求解 初值问题 常系数微分方程的解法 例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的的通通解解xy dx dy 解解分离变量分离变量 ,2xdx y dy 两端积分两端积分 ,2 xdx y dy 1 2 lnCxy . 2 为所求通解为所求通解 x Cey 例2 求解微分方程的通解 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 )2( )2( 2 2 2 2 cxcdxexeex dxcexeexy cexeex cdxe

2、xeex cxdeex cdxxeex cdex cdxexy exy xxx xxx xxx xxx xx xx x x x 再积分 解：两边积分 1sin2 3: 22 2 ,. 4 2, 1sin 1sin ( ),( ) x yy xx xy xtx x yy xx x p xQ x xx 例求微分方程的通解 以及时的特解。 解：令仍记为 则方程变为 带入一阶微分方程解的公式 ( )( ) ( ) 1 (cos2) 2 1 (cos21 2 p x dxp x dx yeCQ x edx yxC x yx x 计算得到通解 特解：） 关于常系数齐次（非齐次）微分方程，书上 例题会做，即

3、可，P351，例1，2,3，P361， 例1,2 第七章：向量代数与空间几何 1.数量积与向量积 垂直、平行的条件 2.直线与平面的关系:垂直、平行、相交 3.简单图形的方程 20 6:210 103 ,. xyz Lxyz xz 例 ：求经过直线且与平面形成角的 平面方程 并给出该平面的单位法向量 解： 过已知直线的平面束方程为 , 0) 1(2zxzyx , 0)1 (2)1 (zyx即 .1 , 2 ,1n 其法向量 .2, 1, 1n 又已知平面的法向量 由题设知由题设知 1 1 3 cos nn nn 222222 )1 (2)1 ()2() 1(1 )2()1 () 1(21)1

4、( 故 即3, 626 33 2 1 2 01224:zyx所求平面方程 第八章：偏导数 偏导数的定义、计算、几何意义 连续、可导、微分之间的关系 隐函数的偏导数、复合函数的偏导数 高阶导数、一般求二阶导数的方法 几何应用，空中曲线的切线、空中曲面的切平面。 极值及其计算方法 解解 x z ;32yx y z .23yx 2 1 y x x z ,82312 2 1 y x y z .72213 证证 x z , 1 y yx y z ,ln xx y y z xx z y x ln 1 xx x yx y x yy ln ln 1 1 yy xx .2z 原结论成立原结论成立 解解 , xy

5、 ye x z , xy xe y z , 2 )1 ,2( e x z ,2 2 )1 ,2( e y z .2 22 dyedxedz 所求全微分所求全微分 解解 x z u z x u v z x v 1cossin veyve uu ),cossin(vvye u y z u z y u v z y v 1cossin vexve uu ).cossin(vvxe u 解解 x z , 2 z xy e ye y z . 2 z xy e xe 将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导 04222 04222 yy xx zzzy zzzx 由由函函数数取取极极值值的的必必要

6、要条条件件知知,驻驻点点为为)1, 1( P, 将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数数, 解解 , 2 1 |, 0|, 2 1 | z zCzB z zA PyyPxyPxx 故故 )2(0 )2( 1 2 2 z z ACB,函函数数在在P有有极极值值. 将将)1, 1( P代代入入原原方方程程,有有6, 2 21 zz, 当当2 1 z时时，0 4 1 A, 所所以以2)1, 1( fz为为极极小小值值； 当当6 2 z时时，0 4 1 A, 所所以以6)1, 1( fz为为极极大大值值. 求求函函数数),(yxfz 极极值值的的一一般般步步骤骤： 第一步第一步 解方

7、程组解方程组, 0),( yxf x 0),( yxf y 求求出出实实数数解解，得得驻驻点点. 第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),( 00 yx， 求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值 A、B、C. 第第三三步步 定定出出 2 BAC 的的符符号号，再再判判定定是是否否是是极极值值. 关于最值的说明： 1 应用题要先给出函数，函数形式正确与否决定一切 要建造一个容积为32(m3)的有盖长方体容器. 已知底面单位造价是其余各面单位造价p(常数) 的二倍.求使长方体容器造价最省的尺寸. 设长、宽、高为x、y、h，32=xyh, h=32/xy 造价为C(x,y)= x p y ppx

8、y yhpxhppxypxy 1 64 1 643 222 实际问题都有最优值，所以可直接求驻点，驻点 就是最优值点。上述题目的最优值点为： 可以不用充分条件验证。但是最好验证一下。 3 3 92, 3 4 0 0 hyx y C x C 32 022 023 023 32 0 0 0 )32(),(),( 32 )223( 222),( xyh xyypxp xhhpxp yhhpyp xyh L L L xyhhyxChyxL syh yhxhxyp yhpxhppxypxyhyxC h y x 3 3 92, 3 4 hyx得到驻点： 第九章：重积分 重积分的定义、性质 直角坐标系、极坐

9、标系的计算 交换次序（二次积分也叫累次积分） 曲顶柱体体积、曲面面积的计算（注意 所求量的定义域） 在在D上上 222 0ayx , ,1 222 0ayx eee 由由性性质质 6 知知, 222 )(a D yx ede 解解 de D yx)( 22 ab. 2 a eab 区区域域 D的的面面积积 , ab 交换次序的方式 画出积分区域 区分区域的形态，X-型， Y-型 上下线的曲线方程要正确给出 极坐标的形式要重视 二重积分的计算依赖于二次积分的划分 交换积分次序在证明题中也有应用 xy 1 原原式式 y dxyxfdy 1 0 1 0 ),(. 解解积分区域如图积分区域如图 xy

10、2 2 2xxy 原原式式 1 0 2 11 2 ),( y y dxyxfdy. 解解积分区域如图积分区域如图 交换下列积分次序： .),( , 1 0 1 0 2 x x y y dyyxfdxdxyxfdy 2 00 2 ),( x dyyxfdx 4 0 2 ),( y dxyxfdy 设区域D由： 及x = 2围成,求 , 2 x yx y d x x D sin 2 1 ) 2 ( sin sinsin sin 2 0 2 0 2 dx x x x x dy x x dxdxdy x x d x x x x D D 解： 思考题 解解 曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图. , 1

11、0 yx,xyyx 所求体积所求体积 D dxyyxV )( 1 0 1 0 )( x dyxyyxdx 1 0 3 )1( 2 1 )1(dxxxx. 24 7 所所围围立立体体在在xoy面面上上的的投投影影是是 dxdyA xy D y z x z 22 )()(1 曲面面积的计算公式 ;1 22 dydzA yz D z x y x .1 22 dzdxA zx D x y z y 解解解方程组解方程组, 2 22 22 yxaz azyx 得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周, 222 az ayx 在在 平面上的投影域为平面上的投影域为xy,: 222 ayxDxy 得得由由)(

12、 1 22 yx a z , 2 a x zx , 2 a y z y azaz azaz azazaazz azyxza zayx 不合题意，故 或 4 ,4 0)(4( , 045 )2( ,2 2 222 22 22 1 yx zz 22 22 1 a y a x ,44 1 222 yxa a 知知由由 22 2yxaz 22 1 yx zz, 2 dxdyyxa a S xy D 222 44 1 故故dxdy xy D 2 rdrra a d a 0 22 2 0 4 1 2 2 a ).15526( 6 2 a 第十一章无穷级数 绝对收敛与条件收敛 级数的一般方法。把一个函数展开成泰勒 来计算和函数的方法。特别是用它的分析性质 般求法，求幂级数的和函数的一 括交错级数。正项级数收敛的判别包 判别。数项级数的敛散性及其 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 0 0 (ln3) 12. 2 ln3 2 ln3(ln3) 1, 22 12 ln3 2ln3 1 2 n n n n n n 例求级数的和。 解：其实是公比为的等比级数， 且所以 P220 参考题目：判断收敛性 教材：综合练习 1 1 1 1 2 0